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第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1命题pq，pq，綈p的真假判断pqpqpq綈p真真真真假假假真假真假假假2全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等3全称命题和存在性命题名称形式全称命题存在性命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x，使p(x)成立简记xM，p(x)xM，p(x)否定xM，綈p(x)xM，綈p(x)小题体验1(2019启东中学期末检测)在“綈p”，“pq”，“pq”形式的命题中，若“pq”为真，“pq”为假，“綈p”为真，则p，q的真假为p_，q_.解析：“pq”为真，p，q至少有一个为真“pq”为假，p，q至少有一个为假，而“綈p”为真，p为假，q为真答案：假真2(2019盱眙中学检测)命题“存在实数x，使x1”的否定是_答案：对于任意的实数x，使得x13已知命题p：对任意xR，总有2x0；q：“x1”是“x2”的充分不必要条件，则下列命题：pq；綈p綈q；綈pq；p綈q.其中为真命题的序号是_解析：由题设可知：p是真命题，q是假命题；所以綈p是假命题，綈q是真命题； 所以pq是真命题，綈p綈q是假命题，綈pq是假命题，p綈q是真命题，故正确答案：1注意命题所含的量词，对于量词有隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定2注意“或”“且”的否定：“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”小题纠偏1命题“若ab0，则a0或b0”，其否定为_答案：若ab0，则a0且b02命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是_解析：命题是省略量词的全称命题，所以其否定是：存在两个全等三角形的面积 不相等答案：存在两个全等三角形的面积不相等题组练透1已知命题p：xR，log2(3x1)0，则命题p的否定是“_”答案：xR，log2(3x1)02(2018淮安期末)若“x，使得2x2x10成立”是假命题，则实数的取值范围为_解析：若“x，使得2x2x10成立”是假命题，即“x，使得2x成立”是假命题，所以“x，都有2x成立”是真命题由x，得函数y2x2 2，当且仅当x时等号成立所以2，即实数的取值范围为(，2答案：(，23已知函数f(x)x，g(x)2xa，若x1，x22,3，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_解析：由题意知，f(x)ming(x)min(x2,3)，因为f(x)x，所以f(x)1，所以f(x)在上单调递减，所以f(x)minf(1)5，又因为g(x)在2,3上的最小值为g(2)4a，所以54a，即a1.答案：(，14(2019南通中学调研)已知命题p：“x0,1，aex”，命题q：“xR，x24xa0”，若命题“pq”是真命题，则实数a的取值范围是_解析：若命题p：“x0,1，aex”为真命题，则ae；若命题q：“xR，x24xa0”为真命题，则164a0，即a4，所以若命题“pq”是真命题，则实数a的取值范围是e,4答案：e,4谨记通法1全称命题与存在性命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写(2)否定结论：对原命题的结论进行否定提醒说明全称命题为假命题，只需给出一个反例；说明存在性命题为真命题，只需找出一个正例2由真假求参要转化含量词的命题的真假求参数取值问题，关键是根据量词等价转化相应的命题，一般要将其转化为恒成立或有解问题，进而根据相关知识确定对应条件 典例引领(2019泰州模拟)已知命题p1：函数y2x2x在R上为增函数，p2：函数y2x2x在R上为减函数，则在命题p1p2；p1p2；(綈p1)p2；p1(綈p2)中，真命题的序号是_解析：因为y2x在R上为增函数，y2xx在R上为减函数，所以y2xx在R上为增函数，所以y2x2x在R上为增函数，故p1是真命题y2x2x在R上为减函数是错误的，故p2是假命题，所以p1p2是真命题；p1p2是假命题；(綈p1)p2是假命题；p1(綈p2)是真命题答案：由题悟法判断含有逻辑联结词命题真假的2个步骤(1)先判断简单命题p，q的真假(2)再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假即时应用1(2018启东期末)命题p：0N*，命题q：1Q，则“p或q”是_命题(填“真”“假”)解析：命题p：0N*，为假命题；命题q：1Q，为真命题，则命题“p或q”为真命题答案：真2已知命题p：若xy，则xy；命题q：若xy，则x2y2.在命题pq； pq；p(綈q)；(綈p)q中，是真命题的序号是_解析：由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故pq为假命题；pq为真命题；綈q为真命题，则p(綈q)为真命题；綈p为假命题，则(綈p)q为假命题答案： 典例引领(2019无锡天一中学月考)已知命题p：m1，1，使不等式a25a5m2成立；命题q：x2ax20有两个负数根，若pq为真，pq为假，求实数a的取值范围解：因为pq为真，pq为假，所以p，q一真一假由题设知，对于命题p，因为m1,1，所以m21,3，所以不等式a25a51成立，所以a25a40，解得a1或a4.对于命题q，因为x2ax20有两个负数根，所以所以a2.若p真q假，则a1；若p假q真，则2a4，所以实数a的取值范围为(，12，4)由题悟法根据命题真假求参数范围的步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围即时应用1(2018江苏百校联盟联考)已知命题：“x1,2，使x22xa0”为真命题，则实数a的取值范围是_解析：当x1,2时，x22x(x1)21是增函数，所以3x22x8，由题意得a80，所以a8.答案：8，)2(2019海门中学检测)已知命题p：xR，x210，命题q：xR，sin xcos xa，且pq为假命题，则实数a的取值范围为_解析：由已知可得：命题p为真命题，pq为假命题，q为假命题若q为真，则asin xcos x对xR恒成立，sin xcos x2sin且正弦函数ysin x的值域为1,1，sin xcos x2sin的最大值为2，a2.q为假命题，a2，实数a的取值范围为(，2答案：(，2一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019南通中学高三检测)命题“x(0，)，ln xx1”的否定是“_”答案：x(0，)，ln xx12(2018镇江模拟)已知命题p：函数yax11(a0且a1)的图象恒过点(1,2)；命题q：已知平面平面，则直线m是直线m的充要条件，则有下列命题：pq；(綈p)(綈q)；(綈p)q；p(綈q)其中为真命题的序号是_解析：由指数函数恒过点(0,1)知，函数yax11是由yax先向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到所以函数yax11恒过点(1,2)，故命题p为真命题；命题q：m与的位置关系也可能是m，故q是假命题所以p(綈q)为真命题答案：3若“x2,5或x(，1)(4，)”是假命题，则x的取值范围是_解析：根据题意得“x2,5且x(，1)(4，)”是真命题，所以解得1x2，故x1,2)答案：1,2)4已知函数f(x)x2mx1，若命题“x0，f(x)0”为真，则m的取值范围是_解析：因为函数f(x)x2mx1的图象过点(0,1)，若命题“x0，f(x)0”为真，则函数f(x)x2mx1的图象的对称轴必在y轴的右侧，且与x轴有两个不同交点，所以解得m2，所以m的取值范围是(，2)答案：(，2)5(2018南京外国语学校模拟)已知命题p：xR，使tan x1，命题q：x23x20的解集是x|1x2，给出下列结论：命题“pq”是真命题；命题“p綈q”是假命题；命题“綈pq”是真命题；命题“綈p綈q”是假命题其中正确的是_解析：命题p：xR，使tan x1是真命题，命题q：x23x20的解集是x|1x2也是真命题，所以，命题“pq”是真命题；命题“p綈q”是假命题；命题“綈pq”是真命题；命题“綈p綈q”是假命题故均正确答案：6(2019海门实验中学检测)命题p：x1,1，使得2xa成立；命题q：x(0，)，不等式axx21恒成立若命题pq为真，则实数a的取值范围为_解析：由x1,1可知，当x1时，2x取得最小值，若命题p：x1,1，使得2xa成立为真，则a.若命题q：x(0，)，不等式axx21恒成立为真，即x(0，)，ax恒成立为真，当x1时，x取最小值2，故a2.因为命题pq为真，所以a.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1命题“nN*，f(n)N*且f(n)n”的否定形式是_解析：全称命题的否定为存在性命题，因此命题“nN*，f(n)N*且f(n)n”的否定形式是“nN*，f(n)N*或f(n)n”答案：nN*，f(n)N*或f(n)n2(2019海安中学测试)若命题“x1,2，x24ax3a20”是真命题，则实数a的取值范围是_解析：令f(x)x24ax3a2，根据题意可得解得a1，所以实数a的取值范围是.答案：3(2018南通大学附中月考)已知命题p：“任意x1,2，x2a0”，命题q：“存在xR，使x22ax2a0”若命题“pq”是真命题，则实数a的取值范围是_解析：由题意知，p：a1，q：a2或a1.因为“pq”为真命题，所以p，q均为真命题，所以a2或a1.答案：(，214(2018沙市区校级期中)函数f(x)x312x3，g(x)3xm，若对x11,5，x20,2，f(x1)g(x2)，则实数m的最小值是_解析：由f(x)3x212，可得f(x)在区间1,2上单调递减，在区间2,5上单调递增，f(x)minf(2)13，g(x)3xm是增函数，g(x)min1m，要满足题意，只需f(x)ming(x)min即可，解得m14，故实数m的最小值是14.答案：145已知p：|xa|4，q：(x2)(3x)0，若綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_解析：由题意知p：a4xa4，q：2x3，因为“綈p”是“綈q”的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件所以或解得1a6.答案：1,66(2019杨大附中月考)给出下列命题：xN，x3x2；所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；xR，x2x10；存在一个四边形，它的对角线互相垂直则上述命题的否定中，真命题的序号为_解析：命题与命题的否定一真一假当x0或1时，不等式不成立，所以是假命题，的否定是真命题；可以被5整除的整数，末位数字是0或5，所以是假命题， 的否定是真命题；x2x120恒成立，所以是假命题，的否定是真命题；是真命题，所以的否定为假命题答案：7命题p的否定是“对所有正数x，x1”，则命题p可写为_解析：因为p是綈p的否定，所以只需将全称命题变为存在性命题，再对结论 否定即可答案：x(0，)，x18若“x，mtan x1”为真命题，则实数m的最大值为_解析：由x，可得1tan x1，所以0tan x12，因为x，mtan x1，所以m0，所以实数m的最大值为0.答案：09(2018南京期末)已知mR，设命题p：xR，mx2mx10；命题q：函数f(x)x33x2m1只有一个零点，则使“pq”为假命题的实数m的取值范围为_解析：若p为真，当m0时，符合题意；当m0时，则0m4，命题p为真时，0m4.若q为真，由f(x)x33x2m1，得f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或x2.当x(，0)(2，)时，f(x)0；当x(0,2)时，f(x)0，f(x)的单调递增区间为(，0)，(2，)，单调递减区间为(0,2)f(x)的极大值为f(0)m1，极小值为f(2)m5.要使函数f(x)x33x2m1只有一个零点，则m10或m50，解得m1或m5.“pq”为假命题，p为假，q为假，即解得4m5，故实数m的取值范围为4,5答案：4,510(2018南京一中模拟)给出如下命题：“a3”是“x0,2，使x2a0成立”的充分不必要条件；命题“x(0，)，2x1”的否定是“x(0，)，2x1”；若“pq”为假命题，则p，q均为假命题其中正确的命题是_(填序号)解析：对于，由x0,2，使x2a0成立，可得a4，因此为充分不必要条件，正确；显然正确；对于，若“p且q”为假命题，则p，q中有一假命题即可，所以错误答案：11已知命题p：函数ylg(ax22xa)的定义域为R；命题q：函数f(x)2x2ax在(，1)上单调递减(1)若“p綈q”为真命题，求实数a的取值范围；(2)设关于x的不等式(xm)(xm2)0的解集为A，命题p为真命题时，a的取值集合为B.若ABA，求实数m的取值范围解：(1)若p为真命题，则ax22xa0的解集为R，则a0且44a20，解得a1.若q为真命题，则1，即a4.因为“p綈q”为真命题，所以p为真命题且q为假命题，所以实数a的取值范围是(1,4)(2)解不等式(xm)(xm2)0，得m2xm，即A(m2，m)由(1)知，B(1，)因为ABA，则AB，所以m21，即m3.故实数m的取值范围为3，). 12设p：实数x满足x25ax4a20(其中a0)，q：实数x满足2x5.(1)若a1，且pq为真，求实数x的取值范围；(2)若綈q是綈p的必要不充分条件，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，x25x40，解得1x4，即p为真时，实数x的取值范围是1x4.若pq为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是(2,4)(2)綈q是綈p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件，设Ax|p(x)，Bx|q(x)，则BA，由x25ax4a20得(x4a)(xa)0，因为a0，所以A(a,4a)，又B(2,5，则a2且4a5，解得a2.所以实数a的取值范围为.13(2019启东检测)已知p：x(0，)，x22eln xm；q：函数yx22mx1有两个零点(1)若pq为假命题，求实数m的取值范围；(2)若pq为真命题，pq为假命题，求实数m的取值范围解：若p为真，令f(x)x22eln x，问题转化为求函数f(x)的最小值f(x)2x，令f(x)0，解得x，函数f(x)x22eln x在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，故f(x)minf()0，故m0.若q为真，则4m240，解得m1或m1.(1)若pq为假命题，则p，q均为假命题，即m0且1m1，所以实数m的取值范围为1,0)(2)若pq为真命题，pq为假命题，则p，q一真一假若p真q假，则实数m满足即0m1；若p假q真，则实数m满足即m1.综上所述，实数m的取值范围为(，1)0,1三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2019姜堰中学检测)设p：函数f(x)x3mx1在区间1,1上单调递减；q：方程1表示焦点在y轴上的椭圆如果pq为真命题，pq为假命题，则实数m的取值范围是_解析：若p为真，由函数f(x)x3mx1在区间1,1上单调递减，得f(x)3x2m0在区间1,1上恒成立，即m3x2，当1x1时，3x23，则m3；若q为真，由方程1表示焦点在y轴上的椭圆，得解得1m5.如果pq为真命题，pq为假命题，则p，q一真一假，若p真q假，则得m5；若p假q真，则得1m3，综上，实数m的取值范围是(1,3)5，)答案：(1,3)5，)2(2018宿迁中学月考)已知命题p：xR，mx220，q：xR，x22mx10，若pq为假命题，则实数m的取值范围是_解析：因为pq为假命题，所以p，q都是假命题由p：xR，mx220为假命题，得綈p：xR，mx220为真命题，所以m0.由q：xR，x22mx10为假命题，得綈q：xR，x22mx10为真命题，所以(2m)240，解得m1或m1.综上，可得m1.答案：1，)命题点一集合及其运算1.(2017江苏高考)已知集合A1,2，Ba，a23若AB1，则实数a的值为_解析：因为a233，所以由AB1，得a1，即实数a的值为1.答案：12(2016江苏高考)已知集合A1,2,3,6，Bx|2x3，则AB_.解析：在集合A中满足集合B中条件的元素有1,2两个，故AB1,2答案：1,23(2015江苏高考)已知集合A1,2,3，B2,4,5，则集合AB中元素的个数为_解析：因为A1,2,3，B2,4,5，所以AB1,2,3,4,5，所以AB中元素个数为5.答案：54(2018浙江高考改编)已知全集U1,2,3,4,5，A1,3，则UA_.解析：U1,2,3,4,5，A1,3，UA2,4,5答案：2,4,55(2018北京高考改编)已知集合Ax|x|2，B2，0,1,2，则AB_.解析：Ax|x|2x|2x2，B2,0,1,2，AB0,1答案：0,16(2018全国卷改编)已知集合A0,2，B2，1,0,1,2，则AB_.解析：AB0,22，1,0,1,20,2答案：0,2命题点二充分条件与必要条件1(2017浙江高考改编)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4S62S5”的_条件解析：因为an为等差数列，所以S4S64a16d6a115d10a121d,2S510a120d，S4S62S5d，所以d0S4S62S5.答案：充要2(2018天津高考改编)设xR，则“x38”是“|x|2”的_条件解析：由x38x2|x|2，反之不成立，故“x38”是“|x|2”的充分不必要条件答案：充分不必要3(2018天津高考改编)设xR，则“”是“x31”的_条件解析：由，得0x1，则0x31，即“”“x31”；由x31，得x1，当x0时，即“x31” “”所以“”是“x31”的充分不必要条件答案：充分不必要4(2016上海高考)设aR，则“a1”是“a21”的_条件解析：由a1可得a21，由a21可得a1或a1.所以“a1”是“a21”的充分不必要条件答案：充分不必要5(2016天津高考改编)设an是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q0”是“对任意的正整数n，a2n1a2n0”的_条件解析：设数列an的首项为a1，则a2n1a2na1q2n2a1q2n1a1q2n2(1q)0，即q1，故q0是q1的必要不充分条件答案：必要不充分命题点三命题及其真假性1(2012全国卷)下面是关于复数z的四个命题：p1：|z|2，p2：z22i，p3：z的共轭复数为1i，p4：z的虚部为1.其中的真命题为_解析：因为复数z1i，所以|z|，z2(1i)2(1i)22i，z的共轭复数为1i，z的虚部为1，综上可知p2，p4是真命题答案：p2，p42(2015山东高考改编)设mR，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是_解析：根据逆否命题的定义，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是“若方程x2xm0没有实根，则m0”答案：若方程x2xm0没有实根，则m0命题点四全称量词和存在量词1(2015全国卷改编)设命题p：nN，n22n，则綈p为_解析：因为“xM，p(x)”的否定是“xM，綈p(x)”，所以命题“nN，n22n”的否定是“nN，n22n”答案：nN，n22n2(2016浙江高考改编)命题“xR，nN*，使得nx2”的否定形式是_解析：由于存在性命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是存在性命题，所以“xR，nN*，使得nx2”的否定形式为“xR，nN*，使得nx2”答案：xR，nN*，使得nx23(2015山东高考)若“x，tan xm”是真命题，则实数m的最小值为_解析：由题意，原命题等价于tan xm在区间上恒成立，即ytan x在上的最大值小于或等于m，又ytan x在上的最大值为1，所以m1，即m的最小值为1.答案：1
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