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第60讲抛物线1设抛物线y28x上一点P到y轴的距离为4，则点P到该抛物线的焦点的距离是(B)A4 B6C8 D12 因为y28x的焦点F(2,0)，准线x2，由P到y轴的距离为4知，P到准线的距离为6，由抛物线的定义知P到焦点F的距离为6.2(2013新课标卷)O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为(C)A2 B2C2 D4 设P(x0，y0)，则|PF|x04，所以x03，所以y4x04324，所以|y0|2，因为F(，0)，所以SPOF|OF|y0|22.3如果P1，P2，Pn是抛物线C：y24x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，xn，F是抛物线C的焦点，若x1x2xn10，则|P1F|P2F|PnF|(A)An10 Bn20C2n10 D2n20 由抛物线的定义可知|PiF|xixi1，所以|P1F|P2F|PnF|(x1x2xn)n10n.4(2016新课标卷)设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，则k(D)A. B1C. D2 因为y24x，所以F(1,0)又因为曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，所以P(1,2)将点P(1,2)的坐标代入y(k0)得k2.故选D.5(2018广东七校联考)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|3，则|BF|. 设A，B的横坐标分别为xA，xB，由抛物线的定义可知|AF|xAxA13，所以xA2，又AB是抛物线的焦点弦，xA，xB满足xAxB1，所以xB，所以|BF|xB1.6(2016湖南省六校联考)若以双曲线1(b0)的左、右焦点F1，F2和点M(1，)为顶点的三角形为直角三角形，则y24bx的焦点坐标为(1,0). 显然点M(1，)为直角顶点，所以|OM|F1F2|c，所以b1.故抛物线为y24x，其焦点为(1,0)7已知斜率为1的直线l过抛物线y22px(p0)的焦点F，且与抛物线交于A，B两点(1)求直线l的方程(用p表示)；(2)若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：|AB|x1x2p；(3)若|AB|4，求抛物线方程 (1)因为抛物线的焦点F的坐标为(，0)，又因为直线l的斜率为1，所以直线l的方程为：yx.(2)证明：过点A，B分别作准线的垂线AA，BB，交准线于A，B，则由抛物线的定义得：|AB|AF|BF|AA|BB|x1x2x1x2p.(3)由|AB|4，得x1x2p4，直线yx与抛物线方程联立，x23px0，由韦达定理，得x1x23p，代入x1x2p4，解得p1，故抛物线方程为y22x.8(2017新课标卷)过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MNl，则M到直线NF的距离为(C)A. B2C2 D3 抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y(x1)联立得方程组解得或因为点M在x轴的上方，所以M(3,2)因为MNl，所以N(1,2)所以|NF| 4，|MF|4，|MN| 4.所以MNF是边长为4的等边三角形所以点M到直线NF的距离为2.9已知以F为焦点的抛物线y24x上的两点A，B满足2，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为. 设AB的中点为C，AB的延长线与准线相交于D，设A，B，C，F在准线上的投影分别为A，B，C，F，设FBt，则AF2t，由抛物线的定义，知AA2t，BBt，所以BB为DAA的中位线，所以BD3t，由DFFDCC，得，所以，解得CC.10(2016江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy20，抛物线C：y22px(p0)(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为(2p，p)；求p的取值范围 (1)抛物线C：y22px(p0)的焦点为(，0)，由点(，0)在直线l：xy20上，得020，即p4.所以抛物线C的方程为y28x.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为1，则可设其方程为yxb.证明：由消去x得y22py2pb0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1y2，从而(2p)24(2pb)0，化简得p2b0.方程(*)的两根为y1,2p，从而y0p.因为M(x0，y0)在直线l上，所以x02p.因此，线段PQ的中点坐标为(2p，p)因为M(2p，p)在直线yxb上，所以p(2p)b，即b22p.由知p2b0，于是p2(22p)0，所以p.因此，p的取值范围是(0，)
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