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13.2函数的极值与导数预习课本P2629，思考并完成下列问题(1)函数极值点、极值的定义是什么？(2)函数取得极值的必要条件是什么？(3)求可导函数极值的步骤有哪些？1函数极值的概念(1)函数的极大值一般地，设函数yf(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数yf(x)的一个极大值，记作y极大值f(x0)，x0是极大值点(2)函数的极小值一般地，设函数yf(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数yf(x)的一个极小值，记作y极小值f(x0)，x0是极小值点极大值与极小值统称为极值点睛如何理解函数极值的概念(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点(5)单调函数一定没有极值2求函数yf(x)极值的方法一般地，求函数yf(x)的极值的方法是：解方程f(x)0. 当f(x0)0时：(1)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值点睛一般来说，“f(x0)0”是“函数yf(x)在点x0处取得极值”的必要不充分条件若可导函数yf(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，那么f(x0)0；反之，若f(x0)0，则点x0不一定是函数yf(x)的极值点1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f(x)x3ax2x1必有2个极值()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合()(3)函数f(x)有极值()答案：(1)(2)(3)2下列四个函数：yx3；yx21；y|x|；y2x，其中在x0处取得极小值的是()ABCD答案：B3已知函数y|x21|，则()Ay无极小值，且无极大值By有极小值1，但无极大值Cy有极小值0，极大值1Dy有极小值0，极大值1答案：C4. 函数f(x)x2cos x在上的极大值点为()A0B.C. D.答案：B运用导数解决函数的极值问题题点一：知图判断函数的极值1已知函数yf(x)，其导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)()A在(，0)上为减函数B在x0处取极小值C在(4，)上为减函数 D在x2处取极大值解析：选C由导函数的图象可知：x(，0)(2,4)时，f(x)0，x(0,2)(4，)时，f(x)0，因此f(x)在(，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，)上为减函数，所以x0取得极大值，x2取得极小值，x4取得极大值，因此选C.题点二：已知函数求极值2求函数f(x)x2ex的极值解：函数的定义域为R，f(x)2xexx2ex(x)2xexx2exx(2x)ex.令f(x)0，得x(2x)ex0，解得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极小值0极大值4e2因此当x0时，f(x)有极小值，并且极小值为f(0)0；当x2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)4e2.题点三已知函数的极值求参数3已知函数f(x)的导数f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa处取到极大值，则a的取值范围是()A(，1)B(0，)C(0,1) D(1,0)解析：选D若a1，f(x)a(x1)(xa)，f(x)在(，a)上单调递减，在(a，1)上单调递增，f(x)在xa处取得极小值，与题意不符；若1a0，则f(x)在(1，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，与题意矛盾，选D.4已知f(x)ax5bx3c在x1处的极大值为4，极小值为0，试确定a，b，c的值解：f(x)5ax43bx2x2(5ax23b)由题意，f(x)0应有根x1，故5a3b，于是f(x)5ax2(x21)(1)当a0，x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,0)0(0,1)1(1，)f(x)000f(x)极大值无极值极小值由表可知：又5a3b，解之得：a3，b5，c2.(2)当a0时，同理可得a3，b5，c2.1求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域(2)求导数f(x)(3)解方程f(x)0得方程的根(4)利用方程f(x)0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号(5)确定函数的极值，如果f(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值2已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性 函数极值的综合应用典例已知函数f(x)x33ax1(a0)若函数f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围解因为f(x)在x1处取得极值且f(x)3x23a，所以f(1)3(1)23a0，所以a1.所以f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0，解得x11，x21.当x0；当1x1时，f(x)1时，f(x)0.所以由f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.作出f(x)的大致图象如图所示：因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(3,1)一题多变1变条件若本例中条件改为“已知函数f(x)x3ax24”在x处取得极值，其他条件不变，求m的取值范围解：由题意可得f(x)3x22ax，由f0，可得a2，所以f(x)x32x24，则f(x)3x24x.令f(x)0，得x0或x，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)4作出函数f(x)的大致图象如图所示：因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，所以m的取值范围是.2变条件若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？解：由例题解析可知：当m3或m1时，直线ym与yf(x)的图象有两个不同的交点；当m1时，直线ym与yf(x)的图象只有一个交点(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便 层级一学业水平达标1当函数yx2x取极小值时，x()A.BCln 2 Dln 2解析：选B由y2xx2xln 20，得x.2设函数f(x)ln x，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点解析：选D由f(x)0可得x2.当0x2时，f(x)0，f(x)单调递减；当x2时，f(x)0，f(x)单调递增故x2为f(x)的极小值点3已知函数f(x)2x3ax236x24在x2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A(2,3) B(3，)C(2，) D(，3)解析：选B因为函数f(x)2x3ax236x24在x2处有极值，又f(x)6x22ax36，所以f(2)0解得a15.令f(x)0，解得x3或x2，所以函数的一个递增区间是(3，)4设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()解析：选C由题意可得f(2)0，而且当x(，2)时，f(x)0，此时xf(x)0；排除B、D，当x(2，)时，f(x)0，此时若x(2,0)，xf(x)0，若x(0，)，xf(x)0，所以函数yxf(x)的图象可能是C.5已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A.，0 B0，C，0 D0，解析：选Af(x)3x22pxq，由f(1)0，f(1)0得，解得f(x)x32x2x.由f(x)3x24x10得x或x1，易得当x时f(x)取极大值.当x1时f(x)取极小值0.6函数y的极大值为_，极小值为_解析：y，令y0得1x1，令y0得x1或x1，当x1时，取极小值1，当x1时，取极大值1.答案：117已知函数f(x)x33x的图象与直线ya有相异三个公共点，则a的取值范围是_解析：令f(x)3x230，得x1，可得极大值为f(1)2，极小值为f(1)2，yf(x)的大致图象如图，观察图象得2a2时恰有三个不同的公共点答案：(2,2)8.已知函数f(x)ax3bx2cx，其导函数yf(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)如图，则下列说法中不正确的是_(填序号)当x时，函数f(x)取得最小值；f(x)有两个极值点；当x2时函数值取得极小值；当x1时函数取得极大值解析：由图象可知，x1,2是函数的两极值点，正确；又x(，1)(2，)时，y0；x(1,2)时，y0，x1是极大值点，x2是极小值点，故正确答案：9设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR，求f(x)的单调区间与极值解：由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)单调递减2(1ln 2a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)；且f(x)在xln 2处取得极小值极小值为f(ln 2)2(1ln 2a)，无极大值10已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1时取得极值，且f(1)1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由解：(1)由已知，f(x)3ax22bxc，且f(1)f(1)0，得3a2bc0,3a2bc0.又f(1)1，abc1.a，b0，c.(2)由(1)知f(x)x3x，f(x)x2(x1)(x1)当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0，a6.3对于函数f(x)x33x2，给出命题：f(x)是增函数，无极值；f(x)是减函数，无极值；f(x)的递增区间为(，0)，(2，)，递减区间为(0,2)；f(0)0是极大值，f(2)4是极小值其中正确的命题有()A1个 B2个C3个 D4个解析：选Bf(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x2或x0，令f(x)0，得0x2，所以f(x)的极大值为f(0)0，极小值为f(2)4，故错误，正确4已知函数f(x)ex(sin xcos x)，x(0,2 017)，则函数f(x)的极大值之和为()A. B.C. D.解析：选Bf(x)2exsin x，令f(x)0得sin x0，xk，kZ，当2kx0，f(x)单调递增，当(2k1)x2k时，f(x)0，f(x)单调递减，当x(2k1)时，f(x)取到极大值，x(0,2 017)，0(2k1)2 017，0k1 008，kZ. f(x)的极大值之和为Sf()f(3)f(5)f(2 015)ee3e5e2 015，故选B.5若函数yx36x2m的极大值为13，则实数m等于_解析：y3x212x3x(x4)由y0，得x0或4.且x(，0)(4，)时，y0；x(0,4)时，y0，x4时取到极大值故6496m13，解得m19.答案：196若函数f(x)x3x2ax4在区间(1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为_解析：由题意，f(x)3x22xa，则f(1)f(1)0，即(1a)(5a)0，解得1a5，另外，当a1时，函数f(x)x3x2x4在区间(1，1)上恰有一个极值点，当a5时，函数f(x)x3x25x4在区间(1,1)没有极值点故实数a的范围为1,5)答案：1,5)7设函数f(x)x3bx2cxd(a0)，且方程f(x)9x0的两个根分别为1,4.(1)当a3且曲线yf(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(，)内无极值点，求a的取值范围解：由f(x)x3bx2cxd得f(x)ax22bxc，f(x)9xax22bxc9x0的两根为1,4.则(*)(1)当a3时，由(*)式得解得b3，c12.又曲线yf(x)过原点，d0.故f(x)x33x212x.(2)由于a0，所以“f(x)x3bx2cxd在(，)内无极值点”等价于“f(x)ax22bxc0在(，)内恒成立”由(*)式得2b95a，c4a.又(2b)24ac9(a1)(a9)，解得1a9.即a的取值范围是1,98已知f(x)2ln(xa)x2x在x0处取得极值(1)求实数a的值(2)若关于x的方程f(x)b0的区间1,1上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围解：(1)f(x)2x1，当x0时，f(x)取得极值，所以f(0)0，解得a2，检验知a2符合题意(2)令g(x)f(x)b2ln(x2)x2xb，则g(x)2x1(x2)g(x)，g(x)在(2，)上的变化状态如下表：x(2,0)0(0，)g(x)0g(x)2ln 2b由上表可知函数在x0处取得极大值，极大值为2ln 2b.要使f(x)b0在区间1,1上恰有两个不同的实数根，只需即所以2ln 2b22ln 3.故实数b的取值范围是(2ln 2,22ln 3
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