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专题03利用导数研究函数的性质第一季1对于定义域为的函数，若满足 ； 当，且时，都有； 当，且时，都有，则称为“偏对称函数”现给出四个函数：；则其中是“偏对称函数”的函数个数为A0 B1 C2 D3【答案】C【解析】因为条件，所以与同号，不符合， 不是“偏对称函数”；对于；，满足，构造函数，在 上递增，当，且时，都有，满足条件 ，是“偏对称函数”；对于， ，满足条件，画出函数的图象以及在原点处的切线， 关于 轴对称直线，如图，由图可知满足条件，所以知是“偏对称函数”；函数为偶函数，不符合，函数不是，“偏对称函数”，故选C.2已知有两个零点，下列说法正确的是A BC D有极小值且【答案】B【解析】当时，函数为单调递增函数，至多一个零点，所以 令 ，则为极小值点，且，不选A.所以 令，则因为所以 ，不选D令,不选C.因此选B.3已知是函数与图象的两个不同的交点，则的取值范围是( )A B C D【答案】D【解析】由得，设，则，当时函数单调递减，当时函数单调递增，故由题意得（令）是函数图象与直线的两个交点的横坐标，即，结合图象可得设，则，在上单调递增，故，且在上单调递减，即由，得，故在上单调递增设，可得函数在上单调递减，即，又，即，综上可得，即所求范围为选D4已知在点处的切线方程为， ， 的前项和为，则下列选项正确的是（ ）A B C D 【答案】A令，则，故设，则，在上单调递增，即，令，则，故综上选A5对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D 【答案】A【解析】由题设有.令，.，当时， ，在为单调增函数，所以的值域为.，当时， ，当时， ，当时， ，所以当时， 是减函数，当时， 是增函数，当时， 是减函数，所以的图像如图所示.因为关于的方程，对任意的总有三个不同的实数根，所以，也就是，选A.6已知函数，则下面对函数的描述正确的是（ ）A， B，C， D【答案】B【解析】根据题意，可以求得函数的定义域为，可以确定恒成立，所以在上是增函数，又，所以，满足，所以函数在上是减函数，在上是增函数，是最小值，满足， 在上是增函数，从而有，结合该值的大小，可知最小值是负数，可排除A,D，且，从而排除C项，从而求得结果，故选B.7已知函数=x2lnx-a(x2-1)(aR),若0在x(0,1 时恒成立,则实数a的取值范围是A,+ ） B,+) C2,+) D1,+)【答案】B【解析】根据题意，有恒成立，当时，将其变形为恒成立，即，令，利用求得法则及求导公式可求得，令，可得，可得，因为，所以时，时，所以函数在时单调减，在时单调增，即，而，所以在上是减函数，且，所以函数在区间上满足恒成立，同理也可以确定在上也成立，即在上恒成立，即在上单调增，且，故所求的实数的取值范围是，故选B.8已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，则不等式的解集是（ ）A B C D【答案】C9已知函数，若对区间内的任意实数，都有 则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】根据题意，题中条件可以转化为，当时，恒成立，所以在区间上是增函数，即，即，解得，当时，恒成立，所以在区间上是减函数，即，即，解得，当时，函数在上单调增，在上单调减，所以有，即，解得，综上，故选C.10已知函数,在区间(0,1)内任取两个实数,且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是( )A B C D【答案】D【解析】由已知可得 令，则有因为 所以又因为所以在上为单调递增函数在上恒成立即恒成立，令 在上为单调递增函数，所以所以 ，即 的取值范围为所以选D11若直线：与曲线：没有公共点，则实数的最大值为（ ）A B C D【答案】D令，得当时， 单调递增当时， 单调递减当时， 单调递减且，当 时， 所以 因为方程无解，所以 所以k最大值为1所以选D12已知函数，若成立，则的最小值是（ ）A B C D【答案】A【解析】设，则，令，则，是上的增函数，又，当时，当时，即在上单调递减，在上单调递增，是极小值也是最小值，的最小值是 故选A13已知函数在区间上是单调递增函数，则的取值范围为（ ）A B C D【答案】A【解析】因为 在区间上是单调递增函数所以，而在区间上 所以 ，即 令，则分子分母同时除以 ，得令，则在区间上为增函数所以所以 在区间上恒成立即在区间上恒成立所以函数在区间上为单调递减函数所以所以选A14设在的导函数为，且当时，有，若，则在区间内，方程的解的个数为A0 B1 C0或1 D4【答案】B【解析】利用微分中值定理可得，使得，因为当时，故，从而，又因为，且在上连续，故利用连续函数的零点存在定理可得，使得，下面证明的唯一性.如果存在，使得，利用罗尔中值定理可得，使得，这与矛盾，故方程在区间内有且仅有一个根，故选B.15设函数，函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是（ ）A BC D【答案】D【解析】对函数求导，得 令，得 且当 时，；当 时，所以 在 处取得最小值 ，且 所以的值域为 因为对任意的，总存在，使得所以 当时，为单调递增函数所以，代入得 所以选D16已知函数，若函数的图象上存在点，使得在点处的切线与的图象也相切，则的取值范围是A B C D【答案】B【解析】的公共切点为，设切线与的图象相切与点由题意可得，解得 所以 令 则令，解得 当 时， 当 时， ，函数在上单调递增当 时， ，函数在上单调递减当t从右侧趋近于0时， 趋近于0 当t趋近于 时， 趋近于0所以 所以选B17已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为A B C D【答案】D【解析】因为所以即，即当时，恒成立，所以在内是一个增函数，设，则有即 ，设则有，当时，即，当时，即所以当时，最小，即 ，故选D。18设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是( )A BC D【答案】B解得代入方程得解得，因为有两个不等的实数根所以t的取值范围为所以选B19已知函数有两个零点，则的取值范围为（ ）A B C D【答案】B先增后减，即从负无穷增大到，然后递减到，而函数是时由正无穷递减到0，然后又逐渐增大，所以，即所以选B20已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（ ）A B C D【答案】A【解析】依题意，圆心为，设点的坐标为，由两点间距离公式得，设，令解得，由于，可知当时，递增，时，递减，故当时取得极大值也是最大值为，故，故时，且，所以，函数单调递减.当时，当时，即单调递增，且，即，单调递增，而，故当时，函数单调递增，故函数在处取得极小值也是最小值为，故的最小值为，此时.故选A.
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