江苏专用2019高考数学二轮复习解答题专项练1立体几何理.docx

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资源描述
1.立体几何1.(2018江苏省金陵中学月考)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,平面PAD平面ABCD,APAD,点M在棱PD上,AMPD,点N是棱PC的中点,求证:(1) MN平面PAB;(2) AM平面PCD.证明(1)因为在PAD中,APAD,AMPD,所以点M是棱PD的中点.又点N是棱PC的中点,所以MN是PDC的中位线,所以MNDC.因为底面ABCD是矩形,所以ABDC,所以MNAB.又AB平面PAB, MN平面PAB,所以MN平面PAB.(2)因为平面PAD平面ABCD, CD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,CDAD,所以CD平面PAD.又AM平面PAD,所以CDAM.因为PDAM,CDAM, CDPDD,CD平面PCD,PD平面PCD,所以AM平面PCD.2.已知在四棱锥PABCD中,底面ABCD是直角梯形,ABDC,ABC60,DC1,AD,PBPC,且M,N分别为BC,PA的中点. (1)求证:DN平面PBC;(2)求证:MNBC.证明(1)取PB的中点E,连结NE,CE,AC,因为ABCD是直角梯形,ABDC,ABC60,DC1,AD,易得ACCBAB2.又N为PA的中点,所以NECD且NECD,所以四边形CDNE是平行四边形,所以DNCE.又CE平面PBC,DN平面PBC,所以DN平面PBC.(2)连结AM,PM.因为PBPC,所以PMBC,因为ACAB,所以AMBC,又AMPMM,AM,PM平面PAM,所以BC平面PAM.因为MN平面APM,所以MNBC.3.(2018扬州市邗江区模拟)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EFAB,EFFB,AB2EF,BFC90,BFFC,H为BC的中点.(1)求证:FH平面EDB;(2)求证:AC平面EDB.证明(1)设AC与BD的交点为G,连结GE,GH,如图,以H为坐标原点,分别以,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,令BH1,则A(1,2,0),B(1,0,0),C(1,0,0),D(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),G(0,1,0),(0,0,1), 又(0,0,1),GE平面EDB,HF平面EDB,FH平面EDB.(2)(2,2,0),(0,0,1),0,ACGE.又ACBD,且GE平面EDB,BD平面EDB,GEBDG,AC平面EDB.4.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,M,N分别为棱A1C1和AB的中点.(1)求证:MN平面BCC1B1;(2)若平面ACC1A1平面A1B1C1,且A1B1B1C1,求证:平面B1MN平面ACC1A1.证明(1)方法一如图,设BC的中点为H,连结NH,HC1.在ABC中,因为N为AB的中点,所以NHAC,且NHAC,在三棱柱ABCA1B1C1中,因为ACA1C1,且ACA1C1,M为A1C1的中点,所以MC1AC,且MC1AC,所以NHMC1,且NHMC1,所以四边形MC1HN为平行四边形,所以MNC1H,又MN平面BCC1B1,C1H平面BCC1B1,所以MN平面BCC1B1.方法二如图2,在侧面ACC1A1中,连结AM并延长交直线CC1于点Q,连结BQ.在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1CC1,所以,因为M为A1C1的中点,所以M为AQ的中点.又因为N为AB中点,所以MNBQ,又MN平面BCC1B1,BQ平面BCC1B1,所以MN平面BCC1B1. 方法三如图3,取A1B1的中点O,连结OM,ON. 在A1B1C1中,因为O,M分别为A1B1,A1C1的中点,所以OMB1C1. 因为OM平面BCC1B1,B1C1平面BCC1B1,所以OM平面BCC1B1.在三棱柱ABCA1B1C1中,A1B1AB且A1B1AB,又因为O,N分别为A1B1,AB的中点,所以OB1NB,OB1NB,所以四边形OB1BN为平行四边形,所以ONB1B,又ON平面BCC1B1,B1B平面BCC1B1,所以ON平面BCC1B1.因为OM平面BCC1B1,ON平面BCC1B1,OMONO,OM平面OMN,ON平面OMN,所以平面OMN平面BCC1B1,又MN平面OMN,所以MN平面BCC1B1.(2)因为A1B1B1C1, M为A1C1的中点,所以B1MA1C1,因为平面ACC1A1平面A1B1C1,平面ACC1A1平面A1B1C1A1C1,B1M平面A1B1C1,所以B1M平面ACC1A1,又B1M平面B1MN,所以平面B1MN平面ACC1A1.5.如图,O是圆锥底面圆的圆心,圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形,C为底面圆周上一点.(1)若弧BC的中点为D,求证:AC平面POD;(2)如果PAB的面积是9,求此圆锥的表面积.(1)证明方法一设BCODE,D是弧BC的中点,E是BC的中点.又O是AB的中点,ACOE.又AC平面POD,OE平面POD,AC平面POD.方法二AB是底面圆的直径,ACBC.弧BC的中点为D,ODBC.又AC,OD共面,ACOD.又AC平面POD,OD平面POD,AC平面POD.(2)解设圆锥底面半径为r,高为h,母线长为l,圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形,hr,lr.由SPAB2rhr29,得r3,S表rlr2rrr29(1).6.已知四棱锥SABCD的底面ABCD为正方形,顶点S在底面ABCD上的射影为其中心O,高为,设E,F分别为AB,SC的中点,且SE2,M为CD边上的点. (1)求证:EF平面SAD;(2)试确定点M的位置,使得平面EFM底面ABCD.(1)证明取SB的中点P,连结PF,PE.F为SC的中点,PFBC,又底面ABCD为正方形,BCAD,即PFAD,又PESA,PEPFP,SAADA,平面PFE平面SAD.EF平面PFE,EF平面SAD.(2)解连结AC,AC的中点即为点O,连结SO,由题意知SO平面ABCD,取OC的中点H,连结FH,则FHSO,FH平面ABCD,平面EFH平面ABCD,连结EH并延长,则EH与DC的交点即为M点.连结OE,由题意知SO,SE2.OE1,AB2,AE1,MCAECD,即点M在CD边上靠近C点距离为的位置.
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