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专题04 估算法方法探究估算法一般包括范围估算，极端值估算和推理估算，是一种快速解决数学问题的方法，也是一种高效率得出正确结论的捷径.对于高考数学某些问题，当我们没有合适的解题思路或正面解析比较麻烦，特别又是针对选择题时，不必进行准确的计算，我们可以通过适当地放大或缩小部分数据估算出答案的大概范围或者近似值，也可以通过对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法当然，这有时也适合用在填空题中，比如比较大小时.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次，所以我们要学会灵活运用.而对于选择题，实在没思路时，又不需要解题过程，我们用这种方法还是能很大程度上提高我们的得分率的，比如，求某个图形的面积或体积，当选项差距比较大时，我们只需通过计算一部分比较好计算或自己熟练掌握的，就可以通过比较各选项得出正确结论.经典示例【例1】（范围估算）已知，则这三个数从大到小的顺序是_【答案】【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题时，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也可以两种方法综合应用.【备考警示】本题属于高考的常考题型，而这种用估算范围的方法进行比较，也是我们常用的快捷方法，需要大家熟练掌握.【例2】（极端值估算）函数的图象大致为A B C D 【答案】B【名师点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.【备考警示】当函数在某一点处没有定义或趋于无限时，可估算一下函数值的范围，从而得出函数图象的大致范围，此类问题属于常见题型，需要熟练掌握.【例3】（数值估算）已知实数满足条件，则目标函数从最小值连续变化到1时，所有满足条件的点构成的平面区域的面积为A BC D1【答案】A【解析】画出表示的可行域，如图，平移直线，从经过点，到与直线重合，目标函数从最小值连续变化到，满足条件的点构成的平面区域的面积为四边形.方法一：直接计算出面积为，故选A方法二：四边形的面积是OAD去掉一个小直角三角形，阴影部分面积比1大，比SOAD222小，故选C项【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.【备考警示】特别是像这种求面积需要求几部分的和的时候，如果某一部分不好求或求不出，可以大致估算一下选出正确答案.【例4】（推理估算）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2.则此棱锥的体积是A BC D【答案】A【解析】方法一：易得ABC的面积为，而三棱锥的高一定小于球的直径2，所以，观察选项可排除B，C，D，故选A.【备考警示】方法一明显要比方法二简单快捷的多.熟练掌握此类方法也是很有必要的.拓展变式1已知，则的大小关系为A BC D【答案】A【解析】因为，所以，故选A【名师点睛】该题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小的问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围，借助于中介值来完成任务.2如图，把周长为的圆的圆心放在轴上，点在圆上，一动点从开始逆时针绕圆运动一周，记弧，直线与轴交于点，则函数的图象大致为A B C D 【答案】D3如图，在多面体ABCDFE中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF=，EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为AB5C6D【答案】D【解析】依题意可计算，而6，观察各选项可知选D.【名师点睛】本题当然也可以通过分割或补形的方法转化成常规几何体进行计算可得，但远不如上述方法来的简单.终极押题一、选择题1设集合, ,则A BC D【答案】B 【解析】由题意，知即，解得，所以,又,所以.故选B.2已知复数满足，则在复平面内复数对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B 3在平面直角坐标系中，已知点，则向量与的夹角的余弦值为A BC D【答案】B 【解析】依题意，故的夹角的余弦值为，故选B4某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可以分析出和分别为A0.9，45 B0.9，35 C0.1，35 D0.1，45【答案】B 5在中，分别为内角，的对边，若，则ABCD【答案】D【解析】因为，所以由正弦定理得，又因为，所以，令，所以由余弦定理得，故选D.6执行下面的程序框图，输出的结果为 A9B18C27D36【答案】C 7古代数学名著张丘建算经中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”该问题实际描述的是：有一粮仓的三视图如图所示（单位：尺），问能储存多少粟米？已知1斛米的体积约为立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有（四舍五入取整数）A斛 B斛C斛 D斛【答案】D 【解析】由三视图得，粮仓的形状是一个如图所示的放倒的直四棱柱，其体积为立方尺），又，所以粮仓可以储存的粟米约为斛，故选D8已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若，则该双曲线的离心率为ABCD【答案】C 9已知函数()，若，且，则A BC D【答案】B 【解析】设f(x)的最小正周期为T，由f(x1)=1，f(x2)=0，|x1x2|min=，得,由f() =，得，即.又，则，故选B10某公园经常会在周末举办丰富多彩的娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）.某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到该公园，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”.游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是A甲B乙C丙D丁【答案】A 11已知正三棱锥的外接球的半径为1，若正三棱锥的高为，则该正三棱锥的侧面积为ABCD【答案】B 【解析】如图，是符合题意的正三棱锥，为在底面内的射影，为球心，设底面边长为，则，由可得，解得，设的中点为，由可得，解得，于是该三棱锥的侧面积为故选B 12已知，恒成立，则实数的取值范围为A B C D【答案】B 二、填空题13已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差为 .【答案】3 【解析】依题意，而，故数列的公差为14已知是定义在R上的偶函数，当时，则不等式的解集是 .【答案】【解析】由是定义在R上的偶函数得为奇函数，当时，所以，则令得，所以，所以等价于，又当时，为增函数，所以当时，为增函数，所以，解得，所以不等式的解集为.15已知实数满足约束条件则的取值范围为 .【答案】 【解析】依题意，.作出约束条件所表示的平面区域如下图阴影部分所示（含边界）.表示平面区域内的点与定点连线的斜率，观察可知，则，所以，所以，故的取值范围为.16已知第一象限内的点M与第四象限内的点N在焦点为F的抛物线上，若三点共线，且（为坐标原点），则抛物线的方程为_.【答案】 你用了几分钟？ 有哪些问题？
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