资源描述
第六讲导数的应用(二)年份卷别考查内容命题分析及学科素养2018卷利用导数研究函数的单调性、零点问题T21命题分析(1)利用导数证明不等式或探讨方程根；(2)利用导数求解参数的范围或值学科素养导数的综合应用主要是考查学生的数学建模、数学运算及逻辑推理的学科素养，考查分析问题与解决问题的能力.卷利用导数证明不等式T212017卷利用导数研究函数的单调性T21卷利用导数研究函数的单调性T21卷利用导数研究函数的单调性、最值T212016卷利用导数研究函数的单调性、零点T21卷利用导数研究函数的单调性、最值T20卷利用导数研究函数的性质、不等式的证明T21利用导数研究函数的零点问题授课提示：对应学生用书第14页悟通方法结论研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现(2018武汉调研)(12分)已知函数 (aR)(e2.718 28是自然对数的底数)(1)求f(x)的单调区间；(2) 的个数 学审题已知条件想到什么注意什么看到函数f(x)中含参数要对参数进行分类讨论分类时要注意利用函数性质，恰当分类，标准统一看到讨论零点个数先想到令g(x)0，然后再转化构造求解时注意参数影响f(x)在0,1上的单调性规范解答(1)f(x)exax1，f(x)exa，当a0时，f(x)0恒成立，f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间；当a0时，令f(x)0，得x0，得xln a，f(x)的单调递减区间为(，ln a)，单调递增区间为(ln a，) (5分)(2)令g(x)0，得f(x)0或x， (6分)先考虑f(x)在区间0,1上的零点个数，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增且f(0)0，f(x)在0,1上有一个零点； (8分)当ae时，f(x)在(，1)上单调递减，f(x)在0,1上有一个零点； (9分)当1ae时，f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a,1)上单调递增，而f(1)ea1，当ea10，即1ae1时，f(x)在0,1上有两个零点 ，当ea10，即e1ae1或a2(1)时，g(x)在0,1上有两个零点；当1ae1且a2(1)时，g(x)在0,1上有三个零点 (12分)【类题通法】1.对于函数的零点问题，往往通过利用导数来研究函数的单调性，从而研究函数在不同区间上的函数取值，利用数形结合来求解函数的零点个数或参数的取值范围在求解的过程中要注意函数零点的存在性定理及分类讨论思想的应用2.此类问题充分考查了学生数学建模和逻辑推理素养及能力.练通即学即用(2018重庆模拟)设函数f(x)x2axln x(aR)(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；(2)设函数f(x)在，3上有两个零点，求实数a的取值范围解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)2x1，令f(x)0，得x(负值舍去)，当0x0，当x时，f(x)0，f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，)(2)令f(x)x2axln x0，得ax，令g(x)x，其中x，3，则g(x)1，令g(x)0，得x1，当x1时，g(x)0，当10，g(x)的单调递减区间为，1)，单调递增区间为(1,3，g(x)ming(1)1，由于函数f(x)在，3上有两个零点，g()3ln 3，g(3)3，3ln 33，实数a的取值范围是(1,3.利用导数研究函数与不等式问题授课提示：对应学生用书第15页悟通方法结论函数、导数、不等式的交汇命题是课标卷命题的热点，也是每年高考必考内容，常考的角度主要有不等式成立问题及证明不等式，综合性能有较大的区分度探究1利用导数研究不等式成立问题(2018齐鲁名校联考)(12分)已知函数且mn.(1)求实数a的取值范围；(2)若成立，求实数t的取值范围 学审题条件信息想到方法注意什么由f(x)有两个极值点想到f(x)0在定义域内有两个解注意函数定义域x|x1，转化求解时易漏此点由存在成立使得f(x0) f(x)min转化求f(x)最小值时注意构造f(n)求最小值规范解答(1)函数f(x)的定义域为(1，)，f(x)x2. (1分)因为函数f(x)有两个极值点m，n，所以f(x)0有两个大于1的不同的解，即x23xa20有两个不同的解m，n，且nm1.记h(x)x23xa2，则h(x)图象的对称轴为x，故，解得0a，故a的取值范围为(0，) (5分)(2)因为存在x0n，使得f(x0)f(x)min(xn)由(1)知，函数f(x)在n，)上单调递增，所以f(x)在该区间上的最小值为f(n)因为h(1)a0, 所以1m，n2.由xn为函数f(x)的极值点可得h(n)n23na20，所以an23n2. (8分)所以f(n)n22naln(n1)n22n(n23n2)ln(n1)，其中n2.记p(x)x22x(x23x2)ln(x1)，则p(x)x2(2x3)ln(x1)x2(2x3)ln(x1)(2x3)ln(x1)显然当x0，ln(x1)0，所以函数p(x)在区间(，2)上单调递增， (10分)故当xp()()22()232ln .所以t. (12分)【类题通法】利用转化与化归思想解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：(2)函数思想法：练通即学即用(2018西安八校联考)已知函数f(x)x，g(x)f(x)sin x(R)在区间1,1上单调递减(1)求的最大值；(2)若g(x)sin 1恒成立，即(t1)t2sin 110(1)恒成立，令h()(t1)t2sin 11(1)，要使h()0恒成立，则需又t2tsin 10恒成立，t1，故t的取值范围为(，1探究2利用导数证明不等式(2018安庆二模)(12分)已知函数 ，aR.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2) 求证：(x1x2)f(x1x2). 学审题条件信息想到方法注意什么由条件中f(x)含有参数a对参数进行分类讨论注意定义域在这里起到对参数a分类讨论的作用由条件中f(x)有2个零点想到f(x1)f(x2)0.对f(x1)、f(x2)结合证明问题变形注意对要证的不等式变形构造，实际上条件e2是提示性的规范解答(1)函数f(x)ln xax，aR的定义域为(0，)， (1分)f(x)a. (2分)当a0时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增 (3分)当a0时，由f(x)0得x，当0x0；当x时，f(x)0.所以f(x)在上单调递增；在上单调递减 (4分)综上，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，当a0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减 (5分)(2)证明：若函数f(x)的两个零点为x1，x2，由(1)得a0，所以(t)在e2，)上单调递增，(t)(e2)11. (11分)故(x1x2)f(x1x2)得证 (12分)【类题通法】利用导数证明不等式问题，多数利用函数与方程思想结合不等式构造函数，转化为利用构造函数的性质来完成，其一般思路是：练通即学即用(2017高考全国卷)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a0，故f(x)在(0，)上单调递增若a0；当x时，f(x)0.故f(x)在 上单调递增，在上单调递减(2)证明：由(1)知，当a0；当x(1，)时，g(x)0时，g(x)0.从而当a0时，ln10， 即f(x)2.授课提示：对应学生用书第112页1(2018山西八校联考)已知函数f(x)x1aln x(aR)，g(x).(1)当a2时，求曲线yf(x)在x1处的切线方程；(2)若a0，且对任意x1，x2(0,1，都有|f(x1)f(x2)|4|g(x1)g(x2)|，求实数a的取值范围解析：(1)当a2时，f(x)x12ln x，f(x)1，f(1)0，切线的斜率kf(1)3，故曲线yf(x)在x1处的切线方程为3xy30.(2)对x(0,1，当a0，f(x)在(0,1上单调递增，易知g(x)在(0,1上单调递减，不妨设x1，x2(0,1，且x1x2，f(x1)g(x2)，f(x2)f(x1)f(x2).令h(x)f(x)，则当x1h(x2)，h(x)在(0,1上单调递减，h(x)10在(0,1上恒成立，x2ax40在(0,1上恒成立，等价于ax在(0,1上恒成立，只需a(x)max.yx在(0,1上单调递增，ymax3，3a0.(1)求a的取值范围；(2)若b0，试证明ln 0，所以ax10，即x，所以1，即a1.故a的取值范围为1，)(2)证明：因为b0，a1，所以1，又f(x)ln x在(1，)上是增函数，所以ff(l)，即ln 0，化简得ln ，ln 等价于ln ln 0，令g(x)ln(1x)x(x(0，)，则g(x)10，所以函数g(x)在(0，)上为减函数，所以gln ln g(0)0，即ln .综上，ln .3(2018石家庄模拟)已知函数f(x)x(ln xax)(aR) .(1)若a1，求函数f(x)的图象在点(1，f(1) 处的切线方程；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1.解析：(1)由已知得，f(x)x(ln xx)，当x1时，f(x)1， f(x)ln x12x，当x1时，f(x)1，所以所求切线方程为y1(x1)，即xy0.(2)证明：由已知条件可得f(x)ln x12ax有两个不同的零点，且两零点的左、右两侧附近的函数值符号相反，令f(x)h(x), 则h(x)2a(x0)，若a0，则h(x)0，h(x)单调递增，f(x)不可能有两个零点；若a0，令h(x)0得x，可知h(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减，令f()0，解得0a，此时，f()，f()2ln a10，所以当0a0，所以0x11f(1)a.4(2018南宁二中、柳州一中联考)已知函数f(x)ln xax2(2a)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设f(x)的两个零点分别是x1，x2，求证：f() 0，则f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，若x(0，)，则f(x)0，若x(，)，则f(x)0，且f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减，不妨设0x1x2，f()x1x2，故要证f()即可构造函数F(x)f(x)f(x)，x(0，)，F(x)f(x)f(x)f(x)f(x)，x(0，)，F(x)0，F(x)在(0，)上单调递增，F(x)F()f()f()0，即f(x)f(x)，x(0，)又x1，x2是函数f(x)的两个零点且0x1x2，f(x1)f(x2)x1，x1x2，得证
展开阅读全文