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考查角度2等比数列的基本量的运算分类透析一等比数列与数学文化例1 (2018柳州一模)九章算术第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(即百分比)为“衰分比”.今共有粮98石,按甲、乙、丙的顺序进行“衰分”,已知乙分得28石,则“衰分比”为().A.12B.2C.12或2D.-12或12解析 设“衰分比”为q,则28q+28+28q=98,解得q=2或q=12.0q1,q=12.答案 A方法技巧 此题考查等比数列的实际应用,解决本题的关键是能够判断进行“衰分”是成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种:(1)定义法,若an+1an=q(q0,nN*)或anan-1=q(q0,n2,nN*),则数列an是等比数列;(2)等比中项公式法,若在数列an中,an0且an-12=anan-2(n3,nN*),则数列an是等比数列. 分类透析二涉及等比数列的基本量命题点1首项与公比类例2 (2018呼和浩特二模)已知等比数列an满足a1+a2=6,a4+a5=48,则数列an的前8项和S8=().A.510B.126C.256D.512解析 由a1+a2=6,a4+a5=48得a1+a1q=6,a1q3+a1q4=48,解得a1=2,q=2,则数列an的前8项和S8=2(1-28)1-2=510.答案 A方法技巧 等比数列的通项公式以及前n项和公式共涉及五个量,已知其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).命题点2公比与前n项和类例3 (2018湘潭四模)已知等比数列an的公比为-2,且Sn为其前n项和,则S4S2=().A.-5B.-3C.5D.3解析 由题意可得S4S2=a11-(-2)41-(-2)a11-(-2)21-(-2)=1+(-2)2=5.答案 C方法技巧 在运用等比数列的前n项和公式时,注意牢记公式,有时候还要注意对公比q=1和q1分类讨论.命题点3首项与前n项和类例4 (2018贵阳一模)已知等比数列an的前n项和为Sn,且a1=12,a2a6=8(a4-2),则S2018=().A.22017-12B.1-122017C.22018-12D.1-122018解析 设等比数列an的公比为q,若a2a6=8(a4-2),则有(a4)2=8(a4-2),即a42-8a4+16=0,解得a4=4,则q3=a4a1=412=8,得q=2,故S2018=a1(1-22018)1-2=22017-12.答案 A方法技巧 在等比数列的基本运算问题中,一般是利用通项公式与前n项和公式,建立方程组求解,但如果灵活运用等比数列的性质“若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则有aman=apaq”,就可减少运算量.分类透析三等比数列的实际应用例5 如图,在平面直角坐标系中,分别在x轴与直线y=33(x+1)上从左向右依次取点Ak,Bk,k=1,2,3,其中A1是坐标原点,使AkBkAk+1都是等边三角形,则A10B10A11的边长是.解析 设直线y=33(x+1)与x轴的交点为P,则P(-1,0).由题意知A1B1=A1P=1;A2B2=A2P=1+1=2;A3B3=A3P=2+2=4.依此类推,得A10B10A11的边长为29=512.答案 512方法技巧 解与等比数列有关的实际问题时,关键是从实际问题中提取与数列有关的数据,再利用方程思想和公式列出关于首项与公比的方程,解出首项与公比,有时利用等比数列的性质可以简化计算.1.(2018年北京卷,文4改编)设a,b,c,d是非零实数,则“b2=ac,且c2=bd”是“a,b,c,d成等比数列”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 a,b,c,d是非零实数,若b2=ac,则ba=cb,又由c2=bd,可得cb=dc,所以ba=cb=dc,由等比数列的定义可知a,b,c,d成等比数列.若a,b,c,d成等比数列,则由等比数列的性质可知b2=ac,且c2=bd.所以“b2=ac,且c2=bd”是“a,b,c,d成等比数列”的充分必要条件.答案 C2.(2016年全国卷,理15改编)设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2a3a4的值为.解析 由等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,可得q(a1+a3)=5,解得q=12,又a1+q2a1=10,解得a1=8.则a2a3=a1a4=81=8,a1a2a3a4=64.答案 643.(2015年全国卷,理4改编)已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a7=().A.14B.30C.42D.56解析 a1=3,a1+a3+a5=21,3+3q2+3q4=21.1+q2+q4=7,解得q2=2或q2=-3(舍去).a3+a7=a1q2+a1q6=32+38=30.故选B.答案 B4.(2015年全国卷,文9改编)已知等比数列an满足a1=12,a3a5=16,则a5=().A.2B.1C.4D.8解析 设等比数列an的公比为q,a3a5=a42=16,a4=4.a1=12,当a4=4时,q=3a4a1=2,a5=a4q=8;当a4=-4时,q=3a4a1=-2,a5=a4q=8.故选D.答案 D1.(2018保定二模)已知正项等比数列an满足a3=1,a5=12,则a1的值为().A.4B.2C.12D.14解析 (法一)正项等比数列an满足a3=1,a5=12,a3=a1q2=1,a5=a1q4=12,解得a1=2,q2=12,a1的值为2.(法二)数列an是等比数列,a32=a1a5,解得a1=2.答案 B2.(2018长春二模)已知等比数列an的各项均为正数,其前n项和为Sn,若a2=2,a5+a6=6a4,则a5=().A.4B.10C.16D.32解析 由a6+a5=6a4得q2+q-6=0,解得q=2,从而a5=a223=16.答案 C3.(2018泉州模拟)已知an是等比数列,a1=1,a3=2,则a5+a10a1+a6=().A.1B.2C.4D.8解析 设等比数列an的公比为q,a1=1,a3=2,q2=2.则a5+a10a1+a6=q4=4.答案 C4.(2018安庆二模)设等比数列an的公比q=3,前n项和为Sn,则S4a2=().A.3B.4C.152D.403解析 等比数列an的公比q=3,a2=a1q=3a1,S4=a1(1-q4)1-q=40a1,S4a2=40a13a1=403.答案 D5.(2018大连模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn(nN*),且S1,S2,S3成等差数列,则数列an的公比q的值为().A.1B.-1C.1 或-1D.2解析 由等比数列an的公比为q,S1,S2,S3成等差数列,可得2S2=S1+S3,即2(a1q+a1)=a1+a1+a1q+a1q2,化简得q2=q,解得q=1.答案 A6.(2018全国三模)已知等比数列an的前n项和为Sn,若a1=1,S10=3S5,则a6=().A.2B.2C.4D.1解析 设等比数列an的公比为q,则q1,a1=1,S10=3S5,q10-1q-1=3q5-1q-1,可得q5+1=3,解得q5=2.则a6=a1q5=2.答案 A7.(2018玉溪模拟)已知等比数列an的公比为q,其前n项和为Sn,若S3,S9,S6成等差数列,则q3等于().A.-12B.1C.-12或1D.-1或12解析 若S3,S9,S6成等差数列,则S3+S6=2S9.若q=1,则S3=3a1,S9=9a1,S6=6a1,即3a1+6a1=18a1,则方程不成立,故q1,a1(1-q3)1-q+a1(1-q6)1-q=2a1(1-q9)1-q,1-q3+1-q6=2-2q9,q3+q6=2q9,1+q3=2q6,2(q3)2-q3-1=0,解得q3=-12.答案 A8.(2018淄博一模)已知an是等比数列,若a1=1,a6=8a3,数列1an的前n项和为Tn,则T5=().A.3116B.31C.158D.7解析 设等比数列an的公比为q,a1=1,a6=8a3,q3=8,解得q=2.an=2n-1.1an=12n-1.数列1an为等比数列,其首项为1,公比为12,T5=1-1251-12=3116.答案 A9.(2018广西模拟)设数列(n2+n)an是等比数列,且a1=16,a2=154,则数列3nan的前15项和为().A.1415B.1516C.1617D.1718解析 数列(n2+n)an是等比数列,且a1=16,a2=154,公比q=(22+2)a2(12+1)a1=6154216=13.(n2+n)an=1313n-1=13n,3nan=1n+n2=1n-1n+1,则数列3nan的前15项和为1-12+12-13+115-116=1-116=1516.答案 B10.(2018宜宾模拟)在等比数列an中,若a2+a4=58,a3=14,且公比q1,则该数列的通项公式an=.解析 由题意可得a1q+a1q3=58,a1q2=14,q0,a5=4.又a6-2a4=4,a6-2a4=a5,q2-q-2=0,q0,解得q=2.答案 212.(2018海淀区校级三模)数列an满足an=2n+1,若a1,a4,am构成等比数列,则m=.解析 数列an满足an=2n+1,a1,a4,am构成等比数列,a42=a1am,即92=3(2m+1),m=13.答案 1313.(2018抚州一模)在等比数列an中,a2a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设bn=a2n-1-a2n,nN*,则数列bn的前2n项和为.解析 设等比数列an的公比为q,则a2a3=2a1,a4+2a7=34,整理得a1q3=2,a1q3+2a1q6=34,解得a1=14,q=2,则an=a1qn-1=2n-3,所以bn=a2n-1-a2n=22n-4-22n-3=-22n-4.设数列bn的前n项和为Tn,则T2n=-14(1-42n)1-4=1-42n12.答案 1-42n1214.(2017宁城县期末)设an是由正数组成的等比数列,且a4a7=9,则log3a1+log3a2+log3a10=.解析 在等比数列an中,a4a7=a1a10,a1a10=9,log3a1+log3a2+log3a10=log3(a1a2a10)=log3(a1a10)5=5log39=52=10.答案 1015.(2018静安区二模)已知等比数列an的前n项和为Sn,且S6S3=-198,a4-a2=-158,则a3的值为.解析 设等比数列an的公比为q,则q1.S6S3=-198,a1(1-q6)1-qa1(1-q3)1-q=1-q61-q3=1+q3=-198,q3=-278,解得q=-32.a4-a2=-158,a1q3-a1q=-278a1+32a1=-158,解得a1=1,a3=a1q2=1-322=94.答案 94
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