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二用数学归纳法证明不等式学习目标1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式.2.了解贝努利不等式，并会证明贝努利不等式.3.体会归纳猜想证明的思想方法知识点用数学归纳法证明不等式思考1用数学归纳法证明问题必须注意的步骤是什么？答案(1)归纳奠基：验证初始值nn0.(2)归纳递推：在假设nk(kn0，kN)成立的前提下，证明nk1时问题成立思考2证明不等式与证明等式有什么不同？答案证明不等式需注意的是对式子进行“放缩”梳理(1)利用数学归纳法证明不等式在运用数学归纳法证明不等式时，由nk时命题成立，推导nk1命题成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行(2)贝努利(Bernoulli)不等式如果x是实数，且x1，x0，n为大于1的自然数，则有(1x)n1nx.(3)贝努利不等式的推广事实上，把贝努利不等式中的正整数n改为实数时，仍有类似不等式成立当是实数，并且满足1或者0时，有(1x)1x(x1)；当是实数，并且满足01时，有(1x)1x(x1)类型一数学归纳法与放缩法结合证明不等式例1证明：12(nN，n2)证明(1)当n2时，左边1，右边2，由于，因此命题成立(2)假设当nk(kN，k2)时，命题成立，即12.当nk1时，12222，即当nk1时，命题成立由(1)(2)可知，不等式对一切nN，n2都成立反思与感悟在归纳递推过程中常用到放缩法，这也是在用数学归纳法证明不等式问题时常用的方法之一跟踪训练1用数学归纳法证明：1n(nN，n1)证明(1)当n2时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立(2)假设当nk(k1，kN)时，不等式成立，即1k，则当nk1时，有1kkk1，所以当nk1时，不等式成立由(1)(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立类型二利用数学归纳法证明数列不等式例2已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1，an2SnSn10(n2)(1)判断是否为等差数列，并证明你的结论；(2)证明：SSS(n1且nN)(1)解是等差数列，证明如下：S1a1，所以2.当n2时，anSnSn1，即SnSn12SnSn1.所以2.故是以2为首项，2为公差的等差数列，且2n.(2)证明当n1时，S，不等式成立假设当nk(k1)时，不等式成立，即SSS成立，则当nk1时，SSSS.即当nk1时，不等式成立由可知，对任意nN不等式都成立反思与感悟(1)首先掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差、等比数列的基础知识，这是解决这类问题的基础(2)此类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的式子是直接给出，有时是根据条件从前几项入手，通过观察、猜想，归纳出一个式子，然后再用数学归纳法证明跟踪训练2设0a1，定义a11a，an1a，求证：对一切正整数n，有1an.证明(1)当n1时，a11，a11a，命题成立(2)假设当nk(kN)时，命题成立，即1ak.当nk1时，由递推公式知，ak1a(1a)a1.同时，ak1a1a，故当nk1时，命题也成立，即1ak1.综合(1)(2)可知，对一切正整数n，有1an.1用数学归纳法证明3nn3(n3，nN)，第一步验证()An1Bn2Cn3Dn4答案C解析由题意知，n的最小值为3，所以第一步验证n3是否成立2用数学归纳法证明“Sn1(nN)”时，S1等于()A.B.C.D.答案D解析S1.3用数学归纳法证明.假设当nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是_答案解析当nk1时，目标不等式为.4若不等式对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论解当n1时，即，a26.又aN，正整数a的最大值为25.下面用数学归纳法证明.(1)当n1时，不等式显然成立(2)假设当nk(k1)时，成立当nk1时，有.，0，即nk1时不等式也成立由(1)(2)知，对一切nN，都有.数学归纳法证明不等式的技巧(1)证明不等式时，由nk到nk1的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到nk时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程一、选择题1对于不等式n1(nN)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，nk1时，不等式成立则上述证法()A过程全部正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确答案D解析证明过程中，当nk1时，没有应用nk时的归纳假设，故选D.2用数学归纳法证明12(n2，nN)的第一步需证明()A12B12C12D12，f(8)，f(16)3，f(32).观察上述结果，可推测出一般结论()Af(2n)Bf(n2)Cf(2n)D以上都不正确答案C解析由f(2)，f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，可推测出f(2n).二、填空题7证明：1n1(n1)，当n2时，要证明的式子为_答案213解析当n2时，要证明的式子为213.8以下是用数学归纳法证明“nN时，2nn2”的过程，证明：(1)当n1时，2112，不等式显然成立(2)假设当nk(kN)时不等式成立，即2kk2.那么，当nk1时，2k122k2k2kk2k2k22k1(k1)2.即当nk1时不等式也成立根据(1)和(2)可知，对任何nN不等式都成立其中错误的步骤为_(填序号)答案(2)解析在2k122k2k2kk2k2k22k1中用了k22k1，这是一个不确定的结论如k2时，k22k1.9用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2nn3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是_答案1010用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取_答案5解析n取1,2,3,4时不等式不成立，起始值为5.三、解答题11用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式成立证明(1)当n2时，左边1，右边，左边右边，所以不等式成立(2)假设当nk(k2且kN)时，不等式成立，即，那么当nk1时，所以当nk1时，不等式也成立由(1)(2)知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立12已知Sn1(n1，且nN)，求证：1.证明(1)当n2时，11，即n2时命题成立(2)假设当nk(k2，kN)时，命题成立，即11.当nk1时，1共项1111，故当nk1时，命题也成立由(1)(2)知，对nN，n2，1成立13已知递增等差数列an满足：a11，且a1，a2，a4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)若不等式对任意nN恒成立，试猜想出实数m的最小值，并证明解(1)设数列an公差为d(d0)，由题意可知a1a4a，即1(13d)(1d)2，解得d1或d0(舍去)所以an1(n1)1n.(2)不等式等价于，当n1时，m；当n2时，m；而，所以猜想，m的最小值为.下面证不等式对任意nN恒成立证明：当n1时，命题成立假设当nk(k1，kN)时，不等式成立，当nk1时，只需证，只需证，只需证2k2，只需证4k28k34k28k4，即证34，显然成立所以，对任意nN，不等式恒成立四、探究与拓展14求证：(nN)证明(1)当n1时，左边，右边1，左边右边，所以不等式成立(2)假设当nk(k1，kN)时不等式成立，即成立，则当nk1时，只需证明即可，即证，即证，即证(1)，而当k1时上式显然成立，所以当nk1时，不等式也成立由(1)(2)可知，不等式对所有nN都成立
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