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一三角函数与解三角形(A)1.(2018华南师大附中模拟)在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,已知C=2A,cos A=34,BABC=272.(1)求cos B的值;(2)求b的值.2.(2018郑州二模)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ab,c=3,cos2A-cos2B=3sin Acos A-3sin Bcos B.(1)求角C的大小;(2)若sin A=45,求ABC的面积.3.(2018徐州一模)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos A=35,tan(B-A)=13.(1)求tan B的值;(2)若c=13,求ABC的面积.4.(2018玉溪模拟)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B+bsin A=c.(1)求角A的大小;(2)若a=2,ABC的面积为2-12,求b+c的值.1.解:(1)因为C=2A,cos A=34,所以cos C=cos 2A=2cos2A-1=2342-1=18.因为0A,0C,所以sin A=1-cos2A=74,sin C=1-cos2C=378.所以cos B=cos-(A+C)=-cos(A+C)=-(cos Acos C-sin Asin C)=916.(2)因为BABC=272,所以accos B=272,所以ac=24,因为asinA=csinC,所以a=23c.由a=23c,ac=24,解得a=4,c=6.所以b2=a2+c2-2accos B=42+62-224916=25.所以b=5.2.解:(1)由题意得1+cos2A2-1+cos2B2=32sin 2A-32sin 2B,即32sin 2A-12cos 2A=32sin 2B-12cos 2B,sin(2A-6)=sin(2B-6),由ab,得AB,又A+B(0,),得2A-6+2B-6=,即A+B=23,所以C=3.(2)由c=3,sin A=45,asinA=csinC,得a=85,由ac,得AC,从而cos A=35,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=4+3310.所以ABC的面积为S=12acsin B=83+1825.3.解:(1)在ABC中,由cos A=35,得A为锐角,所以sin A=45,所以tan A=sinAcosA=43,所以tan B=tan(B-A)+A=tan(B-A)+tanA1-tan(B-A)tanA=13+431-1343=3.(2)在三角形ABC中,由tan B=3,得sin B=31010,cos B=1010,由sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=131050,由正弦定理bsinB=csinC,得b=csinBsinC=1331010131050=15,所以ABC的面积S=12bcsin A=12151345=78.4.解:(1)在ABC中,acos B+bsin A=c,由正弦定理得sin Acos B+sin Bsin A=sin C,又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以sin Bsin A=cos Asin B,又sin B0,所以sin A=cos A,又A(0,),所以tan A=1,A=4.(2)由SABC=12bcsin A=24bc=2-12,解得bc=2-2,又a2=b2+c2-2bccos A,所以2=b2+c2-2bc=(b+c)2-(2+2)bc,所以(b+c)2=2+(2+2)bc=2+(2+2)(2-2)=4,所以b+c=2.
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