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第22练导数的概念及简单应用明晰考情1.命题角度：考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值和最值.2.题目难度：中低档难度考点一导数的几何意义要点重组(1)f(x0)表示函数f(x)在xx0处的瞬时变化率(2)f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，y0)处切线的斜率1已知函数f(x1)，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为()A1B1C2D2答案A解析由f(x1)，知f(x)2.f(x)，且f(1)1.由导数的几何意义，得所求切线的斜率k1.2设函数f(x)x3ax2，若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程为xy0，则点P的坐标为()A(0,0) B(1，1)C(1,1) D(1，1)或(1,1)答案D解析由题意可知f(x)3x22ax，则有f(x0)3x2ax01，又切点为(x0，x0)，可得xaxx0，两式联立解得或则点P的坐标为(1,1)或(1，1)故选D.3(2018全国)设函数f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay2xByxCy2xDyx答案D解析方法一f(x)x3(a1)x2ax，f(x)3x22(a1)xa.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立，a1，f(x)3x21，f(0)1，曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选D.方法二f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，f(x)3x22(a1)xa为偶函数，a1，即f(x)3x21，f(0)1，曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选D.4若直线ykxb是曲线ylnx2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.答案1ln2解析ylnx2的切线为yxlnx11(设切点横坐标为x1)yln(x1)的切线为yxln(x21)(设切点横坐标为x2)，解得x1，x2，blnx111ln2.考点二导数与函数的单调性方法技巧(1)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0.(2)若已知函数的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题来求解5已知函数f(x)lnxx，若af，bf()，cf(5)，则()AcbaBcabCbcaDacb答案A解析f(x)10恒成立，f(x)在(0，)上为减函数afln33f(3)3f()f(5)，abc.故选A.6定义在R上的可导函数f(x)，已知y2f(x)的图象如图所示，则yf(x)的单调递增区间是()A0,1B1,2C(，1 D(，2答案D解析根据函数y2f(x)的图象可知，当x2时，2f(x)1f(x)0，且使f(x)0的点为有限个，所以函数yf(x)在(，2上单调递增，故选D.7若函数f(x)2x33mx26x在区间(2，)上为增函数，则实数m的取值范围为()A(，2) B(，2C.D.答案D解析f(x)6x26mx6，当x(2，)时，f(x)0恒成立，即x2mx10恒成立，mx恒成立令g(x)x，g(x)1，当x2时，g(x)0，即g(x)在(2，)上单调递增，m2，故选D.8定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)恒成立，若x1f(x1)Bf(x2)0，所以g(x)单调递增，当x1x2时，g(x1)f(x1)考点三导数与函数的极值、最值方法技巧(1)函数零点问题，常利用数形结合与函数极值求解(2)含参恒成立或存在性问题，可转化为函数最值问题；若能分离参数，可先分离特别提醒(1)f(x0)0是函数yf(x)在xx0处取得极值的必要不充分条件(2)函数f(x)在a，b上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点9若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A1B2e3C5e3D1答案A解析函数f(x)(x2ax1)ex1，则f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex1x2(a2)xa1由x2是函数f(x)的极值点，得f(2)e3(42a4a1)(a1)e30，所以a1.所以f(x)(x2x1)ex1，f(x)ex1(x2x2)由ex10恒成立，得当x2或x1时，f(x)0，且当x2时，f(x)0；当2x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.所以x1是函数f(x)的极小值点所以函数f(x)的极小值为f(1)1.故选A.10已知函数f(x)axlnx，当x(0，e(e为自然对数的底数)时，函数f(x)的最小值为3，则a的值为()AeBe2C2eD2e2答案B解析函数f(x)的定义域为(0，)，函数f(x)的导数f(x).当a0时，f(x)0，f(x)在(0，e上单调递减，f(x)minf(e)0，与题意不符当a0时，f(x)0的根为.当0e时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，f(x)minf1ln3，解得ae2.当e时，f(x)0，f(x)在(0，e上单调递减，f(x)minf(e)0，与题意不符综上所述，ae2.故选B.11设函数f(x)在R上存在导数f(x)，对任意xR，都有f(x)f(x)x2，在(0，)上f(x)x，若f(2m)f(m)m22m20，则实数m的取值范围为_答案1，)解析令g(x)f(x)，则g(x)g(x)0，g(x)是R上的奇函数又当x(0，)时，g(x)f(x)x0，所以g(x)在(0，)上单调递减，所以g(x)是R上的单调减函数原不等式等价于g(2m)g(m)0，g(2m)g(m)g(m)，所以2mm，m1.12(2018江苏)若函数f(x)2x3ax21(aR)在(0，)内有且只有一个零点，则f(x)在1,1上的最大值与最小值的和为_答案3解析f(x)6x22ax2x(3xa)(x0)当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，又f(0)1，f(x)在(0，)上无零点，不合题意当a0时，由f(x)0，解得x，由f(x)0，解得0x，f(x)在上单调递减，在上单调递增又f(x)只有一个零点，f10，a3.此时f(x)2x33x21，f(x)6x(x1)，当x1,1时，f(x)在1,0上单调递增，在(0,1上单调递减又f(1)0，f(1)4，f(0)1，f(x)maxf(x)minf(0)f(1)143.1已知f(x)lnx，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m等于()A1B3C4D2答案D解析f(x)，直线l的斜率为kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点坐标为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0(m0)，于是解得m2.故选D.2若函数f(x)xsin2xasinx在(，)上单调递增，则a的取值范围是()A1,1B.C.D.答案C解析方法一(特殊值法)不妨取a1，则f(x)xsin 2xsin x，f(x)1cos 2xcos x，但f(0)110，不具备在(，)上单调递增，排除A，B，D.故选C.方法二(综合法)函数f(x)xsin 2xasin x在(，)上单调递增，f(x)1cos 2xacos x1(2cos2x1)acos xcos2xacos x0，即acos xcos2x在(，)上恒成立当cos x0时，恒有0，得aR；当0cos x1时，得acos x，令tcos x，g(t)t在(0,1上为增函数，得ag(1)；当1cos x0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f(x)(x2)ex0，解得x2.3已知函数f(x)x3mx24x3在区间1,2上是增函数，则实数m的取值范围为()A4m5B2m4Cm2Dm4答案D解析函数f(x)x3mx24x3，可得f(x)x2mx4，函数f(x)x3mx24x3在区间1,2上是增函数，可得x2mx40在区间1,2上恒成立，可得mx，x24，当且仅当x2时取等号，可得m4.4若函数f(x)(x1)ex，则下列命题正确的是()A对任意m，都存在xR，使得f(x)，都存在xR，使得f(x)mC对任意m，方程f(x)m总有两个实根答案B解析f(x)(x2)ex，当x2时，f(x)0，f(x)为增函数；当x2时，f(x)0，方程6x22x10中的200恒成立，即f(x)在定义域上单调递增，无极值点7已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a等于()AB.C.D1答案C解析方法一f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令tx1，则g(t)f(t1)t2a(etet)1.g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函数g(t)为偶函数f(x)有唯一零点，g(t)也有唯一零点又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)0，2a10，解得a.故选C.方法二f(x)0a(ex1ex1)x22x.ex1ex122，当且仅当x1时取“”x22x(x1)211，当且仅当x1时取“”若a0，则a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a1，即a.若a0，则f(x)的零点不唯一故选C.8定义：如果函数f(x)在m，n上存在x1，x2(mx1x2n)满足f(x1)，f(x2)，则称函数f(x)是m，n上的“双中值函数”已知函数f(x)x3x2a是0，a上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.答案C解析因为f(x)x3x2a，所以由题意可知，f(x)3x22x在区间0，a上存在x1，x2(0x1x2a)，满足f(x1)f(x2)a2a，所以方程3x22xa2a在区间(0，a)上有两个不相等的实根令g(x)3x22xa2a(0xa)，则解得a1，所以实数a的取值范围是.9已知函数f(x)axlnx，aR，若f(e)3，则a的值为_答案解析因为f(x)a(1lnx)，aR，f(e)3，所以a(1lne)3，所以a.10已知函数f(x)x32ax21在x1处的切线的斜率为1，则实数a_，此时函数yf(x)在0,1上的最小值为_答案解析由题意得f(x)3x24ax，则有f(1)3124a11，解得a，所以f(x)x3x21，则f(x)3x22x，当x0,1时，由f(x)3x22x0，得x1；由f(x)3x22x0，得0x，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以函数f(x)在x处取得极小值，即为最小值，所以最小值为f321.11(2018全国)已知函数f(x)2sinxsin2x，则f(x)的最小值是_答案解析f(x)2cosx2cos2x2cosx2(2cos2x1)2(2cos2xcosx1)2(2cosx1)(cosx1)cosx10，当cosx时，f(x)0，f(x)单调递减；当cosx时，f(x)0，f(x)单调递增，当cosx时，f(x)有最小值又f(x)2sinxsin2x2sinx(1cosx)，当sinx时，f(x)有最小值，即f(x)min2.12已知函数f(x)exx，若f(x)0的解集中只有一个正整数，则实数k的取值范围为_答案解析由f(x)0，即exx0，即kx只有一个正整数解，设g(x)，所以g(x)，当x0，当x1时，g(x)0，所以g(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以g(x)maxg(1)，由图可知，kx的唯一一个正整数解只能是1，所以有解得k，所以实数k的取值范围为.
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