山东省临沂市2017届高三数学三模试题 理（含解析）.doc

2017年山东省临沂市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求1己知i是虚数单位，是z的共轭复数，则z的虚部为（）A1B1CiDi2已知集合M=，集合N=x|y=log2（3x），则R（MN）=（）A（3，+）CBCD7已知边长为的正方形ABCD的四个顶点都在球心为O的球面上，若球O的体积为36，则直线OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（）ABCD8若等边三角形ABC的边长为12，平面内一点M满足，则=（）A26B27C28D299已知函数f（x）=sinx+，当f（x1）=f（x2）=2时，|x1x2|的最小值为2，给出下列结论，其中所有正确结论的个数为（）f（0）=； 当x（0，1）时，函数f（x）的最大值为2； 函数的图象关于y轴对称； 函数f（x）在（1，0）上是增函数A1B2C3D410斜率为2的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）ABCD二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填写在答题卡给定的横线上11阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出k的值为 12若命题“xR，|x+1|+|xa|4”是真命题，则实数a的取值范围是 13我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前56世纪，祖冲之之子）提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”，这个原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体，如图，将底面直径都为2b，高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离d处的平面截这两个几何体，可横截得到S圆及S环两截面，可以证明S圆=S环总成立据此，短轴长为，长轴为5的椭球体的体积是 14若直线l：x+2y=0与圆C：（xa）2+（yb）2=10相切，且圆心C在直线l的上方，则ab的最大值为 15若函数f（x）=x+ln在区间的值域为，则实数t的取值范围是 三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且（I）求B；（II）若b=2，a+c=4，求ABC的面积17如图，点E是菱形ABCD所在平面外一点，EA平面ABCD，EAFBGD，ABC=60，EA=AB=2BF=2GD（I）求证：平面EAC平面ECG；（II）求二面角BECF的余弦值18某中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校1400名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得一组样本的身高（单位：cm）频数分布表如表1、表2表1：男生身高频数分布表 身高（cm）160，165）165，170）170，175）175，180）180，185）185，190） 频数2511453表2：女生身高频数分布表 身高（cm）150，155）155，160）160，165）165，170）170，175）175，180） 频数28151221（I）估计该校高一女生的人数：（II）估计该校学生身高在上的最小值；（II）若f（1）=0，且函数f（x）在区间（0，1）内有零点，证明：1a2e21已知双曲线C1：的渐近线方程为y=x，且过点，其离心率为e，抛物线C2的顶点为坐标原点，焦点为（I）求抛物线C2的方程；（II）O为坐标原点，设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且=12（i）求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标； （ii）过点P作AB的垂线与抛物线交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值2017年山东省临沂市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求1己知i是虚数单位，是z的共轭复数，则z的虚部为（）A1B1CiDi【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得，进一步得到z得答案【解答】解：由，得，z=2+i则z的虚部为1故选：A2已知集合M=，集合N=x|y=log2（3x），则R（MN）=（）A（3，+）CBCD【考点】7C：简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论【解答】解：变量x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：x0，y2，z=3|x|+|y2|=3xy+2，由z=3xy+2得y=3xz+2，平移直线y=3xz+2，由图象可知当直线y=3xz+3经过点A时，直线y=3xz+3的截距最大，此时z最小，由，解得A（0，1），此时zmin=301+2=1，当直线y=3xz+2经过点B（2，0）时，直线y=3xz+2的截距最小，此时z最大，此时zmax=320+2=8，故1z8，故选：A7已知边长为的正方形ABCD的四个顶点都在球心为O的球面上，若球O的体积为36，则直线OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（）ABCD【考点】MI：直线与平面所成的角【分析】设ABCD的中心为M，则OAM为所求角，求出球的半径和正方形的对角线长，在RtOAM中求出cosOAM【解答】解：设正方形ABCD的中心为M，连结OM，OA，则OM平面ABCD，OAM为OA与平面ABCD所成的角设球的半径为r，则=36，解得r=3，即OA=3，正方形ABCD边长为2，AM=2，cosOAM=故选：B8若等边三角形ABC的边长为12，平面内一点M满足，则=（）A26B27C28D29【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】由已知建立平面直角坐标系，求出点A，B，C的坐标，利用向量的坐标运算求解【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，则A（6，0），B（6，0），C（0，），则=（），=（）则=故选：D9已知函数f（x）=sinx+，当f（x1）=f（x2）=2时，|x1x2|的最小值为2，给出下列结论，其中所有正确结论的个数为（）f（0）=； 当x（0，1）时，函数f（x）的最大值为2； 函数的图象关于y轴对称； 函数f（x）在（1，0）上是增函数A1B2C3D4【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用【分析】将f（x）化简，根据f（x1）=f（x2）=2时，|x1x2|的最小值为2，可得周期T=2可得f（x）的解析式，依次判断下列各选项即可【解答】解：函数f（x）=sinx+=2sin（x）f（x1）=f（x2）=2时，|x1x2|的最小值为2，周期T=2，即2=f（x）=2sin（x）对于：当x=0时，可得f（0）=2sin=不对对于：当x（0，1）时，则x（，），当x=，f（x）取得最大值2，对对于：函数=2sin=2cosx，图象关于y轴对称，对对于：令x是单调递增，可得：，函数f（x）在（1，0）上不是增函数，不对故选：B10斜率为2的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）ABCD【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】由椭圆的焦点坐标，则两个交点分别为（c，2c），（c，2c），代入椭圆方程，根据椭圆的性质及离心率公式，即可求得椭圆的离心率【解答】解：椭圆的焦点在x轴上，F1（c，0），F2（c，0），则两个交点分别为（c，2c），（c，2c），代入椭圆，整理得：c2（b2+4a2）=a2b2b2=a2c2，整理得：c46a2c2+a4=0，由e=，整理得：e46e2+1=0，解得：e2=32，0e1，则e2=32=（1）2，e=1，故选B二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填写在答题卡给定的横线上11阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出k的值为99【考点】EF：程序框图【分析】模拟程序框图的运行过程，得出程序运行后是计算S的值，并判断S2时输出k的值，总结规律即可得出结论【解答】解：模拟程序框图运行过程，如下；第1次运行：k=1，S=0+lg3=lg3，判断S2？，否；第2次运行：k=3，S=lg3+lg=lg5，判断S2？，否；第3次运行：k=5，S=lg5+lg=lg7，判断S2？，否；，第n次运行：k=2n1，S=lg（2n+1），判断S2？，是；即lg（2n+1）2，解得2n99，即2n198，取2n1=99，即输出k=2n1=99故答案为：9912若命题“xR，|x+1|+|xa|4”是真命题，则实数a的取值范围是（5，3）【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】命题“xR，|x+1|+|xa|4”是真命题|x+1|+|xa|4由解（|x+1|+|xa|）min4|1+a|4解得实数a的取值范围【解答】解：命题“xR，|x+1|+|xa|4”是真命题|x+1|+|xa|4有解（|x+1|+|xa|）min4|1+a|4，解得5a3，实数a的取值范围 （5，3）故答案为：（5，3）13我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前56世纪，祖冲之之子）提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”，这个原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体，如图，将底面直径都为2b，高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离d处的平面截这两个几何体，可横截得到S圆及S环两截面，可以证明S圆=S环总成立据此，短轴长为，长轴为5的椭球体的体积是10【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】由S圆=S环总成立，求出椭球的体积V=，由此能求出该椭球体的体积【解答】解：S圆=S环总成立，半椭球的体积为： =，椭球的体积V=，椭球体短轴长为，长轴为5，b=，a=，该椭球体的体积V=10故答案为：1014若直线l：x+2y=0与圆C：（xa）2+（yb）2=10相切，且圆心C在直线l的上方，则ab的最大值为【考点】JE：直线和圆的方程的应用【分析】根据直线和圆相切求出a，b的关系式，结合基本不等式进行求解即可【解答】解：圆C：（xa）2+（yb）2=10的圆心（a，b）半径为：，直线和圆相切，圆心C在直线l的上方，a+2b0，从而a+2b=5，ab=a（2b）=，当且仅当a=2b，即a=，b=时取等号，故ab的最大值为，故答案为：15若函数f（x）=x+ln在区间的值域为，则实数t的取值范围是（1，1+）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】由复合函数的单调性可得f（x）在定义域上为单调增函数，结合函数f（x）=x+ln在区间的值域为，可得ln+a=ta，ln+b=tb，即a，b为方程ln+x=tx的两个不同根即t=1+有两个不同根，令g（x）=1+，利用导数研究其单调性并求得极值，数形结合可得t的取值范围【解答】解：f（x）=x+ln的定义域为x|x0，f（x）在定义域上为单调增函数，又函数f（x）=x+ln在区间的值域为，f（a）=ta，f（b）=tb，即：ln+a=ta，ln+b=tb，即a，b为方程ln+x=tx的两个不同根t=1+有两个不同根，令g（x）=1+，则g（x）=，由g（x）=0，得，得x=e当x（0，e）时，g（x）0，当x（e，+）时，g（x）0，g（x）在（0，e）上为增函数，在（e，+）上为减函数可得极大值点x=e，故g（x）的极大值为：g（e）=1+，又当x0+时，g（x），当x时，g（x）1，因此当1t1+时，直线y=t与曲线y=g（x）的图象有两个交点，方程 t=1+有两个解故所求的t的取值范围为（1，1+），故答案为：（1，1+）三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且（I）求B；（II）若b=2，a+c=4，求ABC的面积【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】（）根据正弦定理和三角函数的化简可得cosB=，即可求出答案，（）由余弦定理可得ac的值，再根据三角形的面积公式即可求出【解答】解：（）在ABC中，由正弦定理以及且得：=，=，C为ABC的内角，sinC0，=，2sinAcosB+sinCcosB=cosCsinB，2sinAcosB=（cosCsinB+sinCcosB）=sin（B+C）A+B+C=，sin（B+C）=sinA，2sinAcosB=sinA，sinA0，cosB=，B为三角形的内角，B=；（）由余弦定理b2=a2+c22accosB得b2=（a+c）22ac2accosB，将b=2，a+c=4，B=代入上式可得12=162ac（1），ac=4，SABC=acsinB=4=17如图，点E是菱形ABCD所在平面外一点，EA平面ABCD，EAFBGD，ABC=60，EA=AB=2BF=2GD（I）求证：平面EAC平面ECG；（II）求二面角BECF的余弦值【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定【分析】（I）连结BD交AC于O，取EC的中点M，连结OM，GM，建立空间坐标系，利用向量证明GMAE，GMAC可得GM平面EAC，于是平面平面EAC平面ECG；（II）求出平面EBC和平面BCF的法向量，计算两法向量的夹角即可得出二面角的大小【解答】（I）证明：连结BD交AC于O，取EC的中点M，连结OM，GM，O，M分别是AC，EC的中点，OMEA，又EA平面ABCD，OM平面ABCD，以O为原点，以OB，OC，OM为坐标轴建立空间坐标系如图所示：设BF=1，则A（0，1，0），C（0，1，0），E（0，1，2），D（，0，0），G（，0，1），M（0，0，1），=（0，2，0），=（0，0，2），=（，0，0），=0， =0，GMAC，GMAE，又AEAC=A，GM平面EAC，又GM平面ECG，平面EAC平面ECG（II）解：B（，0，0），F（，0，1），=（0，2，2），=（，1，2），=（，1，1），设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），平面FEC的法向量为=（x2，y2，z2），则，令x1=得=（，3，3），令y2=1得=（0，1，1）cos=二面角BPCF的余弦值为18某中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校1400名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得一组样本的身高（单位：cm）频数分布表如表1、表2表1：男生身高频数分布表 身高（cm）160，165）165，170）170，175）175，180）180，185）185，190） 频数2511453表2：女生身高频数分布表 身高（cm）150，155）155，160）160，165）165，170）170，175）175，180） 频数28151221（I）估计该校高一女生的人数：（II）估计该校学生身高在上的最小值；（II）若f（1）=0，且函数f（x）在区间（0，1）内有零点，证明：1a2e【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数在闭区间的最小值即可；（）集合题意得到g（x）在区间（0，1）内至少有2个零点，求出g（ln（2a）=2aln（2a）3a+1e，令2a=t，则et1，令h（t）=tln（t）t+1e，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（）由f（x）=ex+ax2bx1，得g（x）=f（x）=ex+2axb，g（x）=ex+2a，x时，g（x），当a时，g（x）0，g（x）在递增，g（x）在上的最小值是g（0）=1b，a时，g（x）0，g（x）在递减，g（x）在上的最小值是g（1）=e+2ab，a时，令g（x）=0，解得：x=ln（2a）（0，1），g（x）在区间上递减，在区间（ln（2a），1上递增，故g（x）在上的最小值是g（ln（2a）=2aln（2a）2ab，综上，a时，g（x）在上的最小值是g（0）=1b，a时，g（x）在上的最小值是g（1）=e+2ab，a时，g（x）在上的最小值是g（ln（2a）=2aln（2a）2ab，（）证明：设x0是函数f（x）在区间（0，1）内的一个零点，则由f（0）=f（1）=f（x0）=0可知，f（x）在区间（0，x0）上不递增，也不递减，则g（x）不恒为正，也不恒为负，故g（x）在区间（0，x0）内存在零点x1，在区间（x0，1）内存在零点x2，故g（x）在区间（0，1）内至少有2个零点，由（）得，a时，g（x）在递增，故g（x）在（0，1）内至多1个零点，不合题意，a时，g（x）在递减，故g（x）在（0，1）内至多1个零点，不合题意，a时，g（x）在（0，ln（2a）递减，在（ln（2a），1）递增，故x1（0，ln（2a0），x2（ln（2a），1），故必有g（0）=1b0，g（1）=e+2ab0，g（ln（2a）0，由f（1）=0，即e+ab1=0，解得：b=e+a1，故g（ln（2a）=2aln（2a）3a+1e，令2a=t，则et1，令h（t）=tln（t）t+1e，则h（t）=ln（t）0，故h（t）在（e，1）递减，h（t）h（e）=10，a时，g（ln（2a）0恒成立，由g（0）=2ea0，g（1）=a+10，解得：1a2e，故函数f（x）在区间（0，1）内有零点时，1a2e21已知双曲线C1：的渐近线方程为y=x，且过点，其离心率为e，抛物线C2的顶点为坐标原点，焦点为（I）求抛物线C2的方程；（II）O为坐标原点，设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且=12（i）求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标； （ii）过点P作AB的垂线与抛物线交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】（I）根据双曲线的渐近线方程求得b=a，将M代入双曲线方程，即可求得a和b的值，求得双曲线方程，求得离心率，求得抛物线的焦点坐标，即可求得抛物线方程；（II）（i）将直线AB的方程代入双曲线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得t的值，即可求得直线AB过定点P（6，0）；（ii）由（i）及弦长公式求得丨AB丨及丨CD丨，根据四边形的面积公式及函数单调性，即可求得四边形ACBD面积的最小值【解答】解：（I）由双曲线的渐近线方程y=x，则=，即b=a，将代入椭圆方程：，解得：a=1，b=，c=2，双曲线的标准方程：，双曲线的离心率e=2，焦点为（1，0），抛物线C2的方程y2=4x；（II）（i）证明：设直线AB的方程x=my+t，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得：y24my4t=0，则y1+y2=4m，y1y2=4t，由=12则+y1y2=12，解得：y1y2=24或y1y2=8（舍去），即4t=24，解得：t=6，直线AB过定点P（6，0）；（ii）设C（x3，y3），D（x4，y4），由（i）可知：丨AB丨=，同理可得：丨CD丨=，则四边形ACBD面积S=丨AB丨丨CD丨=8，令m2+=，（2），则S=8，在2，+）上是增函数，故Smin=112，当且仅当m=1时取最小值为112四边形ACBD面积的最小值为112