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4.3三角恒等变换挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点两角和与差的三角函数1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2018浙江,18两角和的正弦和余弦计算任意角的三角函数的定义、诱导公式2017浙江,14二倍角公式余弦定理2016浙江文,11降幂公式、辅助角公式2015浙江,16,7,文16两角和的正弦正弦定理2014浙江文,18两角和的余弦余弦定理、三角形的面积简单的三角恒等变换能利用和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行简单的三角函数恒等变换.2017浙江,18降幂公式、辅助角公式最小正周期、单调区间2016浙江,10,文16两角和的正弦、余弦正弦定理2015浙江,16三角恒等变换正弦定理、三角形的面积分析解读1.对本节内容的考查仍以容易题和中等难度题为主.2.主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,以及运用上述公式进行简单的恒等变换(例:2016浙江,10).3.对三角恒等变换的考查往往与解三角形、向量知识综合在一起.4.预计2020年高考试题中,三角恒等变换仍是考查的重点,复习时应高度重视.破考点【考点集训】考点一两角和与差的三角函数1.(2018浙江金华十校第一学期期末调研,3)sin 5cos 55-cos 175sin 55的结果是() A.-B.C.-32D.32答案D2.(2018浙江9+1高中联盟期中,12)设sin 2=sin ,(0,),则cos =,tan 2=.答案;-3解析(1)由(b+c)2-a2=(2+2)bc得b2+c2-a2=2bc,cos A=b2+c2-a22bc=22,A=.由sin Asin B=cos2,得22sin B=1+cosC2,2sin B=1+cos34-B,即22sin B+22cos B=sin4+B=1,且B+C=,故B=.(2)f(x)=sin x(cos x+asin x)=sin2x-acos2x2+=1+a22sin(2x-)+1+a22+= (其中tan =a),解得a=.2.(2018浙江高考模拟卷,18)函数f(x)=acos x+bsin x(0)的最小正周期为,当x=时,有最大值4.(1)求a,b,的值;(2)若x34,且fx+6=,求fx2+6的值.解析(1) f(x)=acos x+bsin x=a2+b2sin(x+),其中sin =aa2+b2,cos =ba2+b2.由条件得2=,=4,f(x)=acos 4x+bsin 4x,又x=时,有最大值4,-a+32b=a2+b2=4,解得a=-2,b=23.(2)由(1)得f(x)=23sin 4x-2cos 4x=4sin4x-6,则fx+6=4sin4x+2=,cos 4x=,x34,cos 2x=-1+cos4x2=-63,fx2+6=4sin2x+2=4cos 2x=-463.炼技法【方法集训】方法1三角函数式的化简方法1.已知tan =2 018tan2 018,则sin+2 0172 018sin+2 018=() A.-1B.1C.-2 0172 019D.2 0172 019答案C2.(人教A必4,一,2,B2,变式)已知为第二象限角,则cos 1-sin1+sin+sin 1-cos1+cos=.答案sin -cos 方法2三角函数式的求值方法1.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,14)已知sin+3+sin =335,且3,56,则sin+6=,cos =.答案;3-43102.已知,均为锐角,且cos =255,tan =.(1)比较,的大小;(2)设,均为锐角,且sin(+)sin(+)=1,求+的值.解析(1)cos =255,0,2,sin =1-cos2=55,tan =.tan =.(2)由(1)得tan(+)=tan+tan1-tantan=1,又+(0,),+=.,0,2,+,+(0,),0sin(+)1,0sin(+)1.sin(+)sin(+)=1,sin(+)=sin(+)=1,+=+=.+=,+=-(+)=34.方法3利用辅助角公式解决问题的方法1.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,18)已知f(x)=23cos2x+sin 2x-3+1(xR).(1)求f(x)的单调增区间;(2)当x-4,4时,求f(x)的值域.解析由题可知f(x)=sin 2x+3(2cos2x-1)+1=sin 2x+3cos 2x+1=2sin2x+3+1.(1)令2k-2x+2k+,kZ,即2k-562x2k+,kZ,k-512xk+12(kZ),函数f(x)的单调增区间为k-512,k+12(kZ).(2)x-4,4,2x+-6,56,sin2x+3-12,1,f(x)0,3.2.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,20)已知a=(2cos ,2sin ),b=(cos ,sin ),其中00),则A=,b=.答案2;1B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一两角和与差的三角函数1.(2018课标全国理,4,5分)若sin =,则cos 2=() A.B.C.-D.-答案B2.(2016课标全国,9,5分)若cos4-=,则sin 2=() A.725B.C.-D.-725答案D3.(2018课标全国理,15,5分)已知sin +cos =1,cos +sin =0,则sin(+)=.答案-4.(2017课标全国文,15,5分)已知0,2,tan =2,则cos-4=.答案31010考点二简单的三角恒等变换1.(2017课标全国文,4,5分)已知sin -cos =,则sin 2=()A.-B.-C.D.答案A2.(2014课标,8,5分)设0,2,0,2,且tan =1+sincos,则()A.3-=B.3+=C.2-=D.2+=答案C3.(2016四川,11,5分)cos2-sin2=.答案224.(2014福建,16,13分)已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-.(1)若0,且sin =22,求f()的值;(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析解法一:(1)因为0,sin =22,所以cos =22.所以f()=2222+22-=.(2)因为f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+1+cos2x2-=sin 2x+12cos 2x=22sin2x+4,所以T=22=.由2k-2x+2k+,kZ,得k-38xk+,kZ.所以f(x)的单调递增区间为k-38,k+8,kZ.解法二: f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+1+cos2x2-=sin 2x+cos 2x=22sin2x+4.(1)因为00)的最小正周期为.(1)求的值;(2)求函数f(x)在区间0,2上的取值范围.解析(1)f(x)=cos2x+3sin xcos x-=1+cos2x2+3sin2x2-=cos2x-3.由22=,得=1.(2)由(1)知f(x)=cos2x-3,因为x0,2,所以2x-3,23,所以f(x)-12,1.9.(2018浙江新高考调研卷二(镇海中学),18)已知函数f(x)=sin x+acos x(0)满足f(0)=3,且f(x)图象的相邻两条对称轴间的距离为.(1)求a与的值;(2)若f()=,-2,2,求cos-512的值.解析(1)f(0)=3,a=3,f(x)=2sinx+3,T=2,=1.(2)f()=,sin+3=,-,-+56.sin+3=1,0+,cos+3=223,cos-512=cos+3-34=223-22+22=2-46.
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