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规范练(六)(时间：45分钟满分：46分)1(12分)已知等差数列an的前n项和为Sn，a12，且5.(1)求an的通项公式；(2)若，求数列bn的前n项和Tn.规范解答及评分标准(1)解法一：设等差数列an的公差为d.5，5，(2分)a10a510，5d10，解得d2.(4分)ana1(n1)d2(n1)22n.(5分)解法二：设等差数列an的公差为d.5，5，(2分)5，解得d2.(4分)ana1(n1)d2(n1)22n.(5分)(2)由(1)知，an2n，Snn2n.(6分) (7分)Tn123224325n2n2，2Tn124225326(n1)2n2n2n3，(8分)，得Tn23242n2n2n3n2n32n38n2n3(1n)2n38.(11分)Tn(n1)2n38.(12分)2(12分)如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PCD，PDCD，底面ABCD是梯形，ABDC，ABADPD1，CD2AB，Q为棱PC上一点(1)若点Q是PC的中点，证明：BQ平面PAD；(2)，试确定的值使得二面角QBDP的大小为60.规范解答及评分标准(1)证明：如图，取PD的中点M，连接AM，MQ.点Q是PC的中点，MQCD，MQCD.(1分)又ABCD，ABCD，MQAB，MQAB，四边形ABQM是平行四边形BQAM.(3分)又AM平面PAD，BQ平面PAD，BQ平面PAD.(4分)(2)由AD平面PCD，PDCD，可得DA，DC，DP两两垂直，以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，P(0,0,1)，C(0,2,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)(5分)设Q(x0，y0，z0)，则(x0，y0，z01)，(0,2，1)，(x0，y0，z01)(0,2，1)，Q(0,2，1)(7分)又易证BC平面PBD，n(1,1,0)是平面PBD的一个法向量(8分)设平面QBD的法向量为m(x，y，z)，则即解得令y1，则m.(9分)二面角QBDP的大小为60，|cosm，n|，解得3.(11分)点Q在棱PC上，01，3.(12分)3(12分)从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为Z)，由测量的结果得到如下的频率分布直方图：(1)公司规定：当Z95时，产品为正品；当Z95时，产品为次品公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元记为生产一件这种产品的利润，求随机变量的分布列和数学期望；(2)由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)利用该正态分布，求P(87.8Z112.2)；某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)的产品件数，利用的结果，求E(X)附：12.2.若ZN(，2)，则P(Z)0.6826，P(2Z2)0.9544.规范解答及评分标准(1)由频率估计概率，产品为正品的概率为(0.0330.0240.0080.002)100.67.(2分)所以随机变量的分布列为9030P0.670.33(3分)所以E()900.67(30)0.3350.4.(4分)(2)由频率分布直方图知，抽取的产品的该项质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为700.02800.09900.221000.331100.241200.081300.02100.(5分)s2(30)20.02(20)20.09(10)20.22020.331020.242020.083020.02150.(6分)所以ZN(100,150)，所以P(87.8Z112.2)P(10012.2Zx2|x1|的解集；(2)当xR时，有f(2x)a3成立，求a的取值范围规范解答及评分标准(1)当a0时，原不等式等价于|x|x2，即或解得1x0或0x1.所以原不等式的解集为(1,0)(0,1)(4分)(2)因为当xR时，有f(2x)a3成立，所以当xR时，有|2xa|2x1|3a成立(6分)又因为|2xa|2x1|2xa(2x1)|a1|，(8分)所以|1a|3a，解得a1.故a的取值范围是1，)(10分)
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