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第五讲离散型随机变量及其分布年份卷别考查角度及命题位置命题分析及学科素养2018卷二项分布、期望及应用T20命题分析概率、统计的解答题多在第18或19题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点主要有两种(频率分布直方图与茎叶图)择一与随机变量的分布列、数学期望、方差相交汇来考查；(频率分布直方图与茎叶图)择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中等学科素养主要通过离散型随机变量及其分布考查学生数学抽象、数学建模及数学运算核心素养.卷二项分布及方差的计算T82017卷正态分布、二项分布的性质及概率、方差T19卷二项分布的方差计算T13卷频数分布表、概率分布列的求解、数学期望的应用T182016卷柱状图、相互独立事件与互斥事件的概率、分布列和数学期望T19卷互斥事件的概率、条件概率、随机变量的分布列和数学期望T18 条件概率、相互独立事件概率、独立重复试验授课提示：对应学生用书第71页悟通方法结论1条件概率的两种求法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，利用公式P(B|A)，这是常用的方法(2)求出事件A包含的基本事件数n(A)，再求出事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，利用P(B|A)可求得2相互独立事件概率、独立重复试验类型特点概率求法相互独立事件同时发生事件互相独立P(AB)P(A)P(B) (A，B相互独立)独立重复试验一次试验重复n次P(Xk)Cpk(1p)nk(p为发生的概率)全练快速解答1(2018武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A“4个人去的景点不相同”，事件B“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)()A.B.C.D.解析：小赵独自去一个景点共有4333108种可能性，4个人去的景点不同的可能性有A432124种，P(A|B).答案：A2(2018南昌模拟)为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是()A.B.C.D.解析：记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai，Bi，Ci，i1,2,3.由题意，事件Ai，Bi，Ci(i1,2,3)相互独立，则P(Ai)，P(Bi)，P(Ci)，i1,2,3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是PAP(AiBiCi)6.答案：D3某批花生种子，如果每1粒发芽的概率均为，那么播下4粒种子恰好有2粒发芽的概率是()A.B.C.D.解析：所求概率PC22.答案：C公式法求两类事件的概率(1)求条件概率的关键是分清条件概率中的各个事件，利用公式时应注意两个方面的问题：一是注意区分B|A与A|B，前者是在事件A发生的前提下事件B发生，而后者是在事件B发生的前提下事件A发生，避免两者混淆(2)求相互独立事件与独立重复试验的概率时要注意两点：一是准确利用公式，如利用相互独立事件的概率公式时，对应事件必须是相互独立的；二是注意两者的区别，不能乱用公式二项分布与正态分布授课提示：对应学生用书第71页悟通方法结论1判断二项分布的常用方法：(1)若所考虑的试验可以看作是一个结果只有两种状态A与，则n次独立重复试验中A发生的次数X就服从二项分布(2)凡是服从二项分布的随机变量一定只取有限个实数为其值，否则随机变量不服从二项分布2正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(，2)(2)正态总体三个基本概率值P(X)0.682 6；P(2X2)0.954 4；P(3X3)0.997 4.全练快速解答1(2018高考全国卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX2.4，P(X4)P(X6)，则p()A0.7B0.6C0.4D0.3解析：由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即XB(10，p)，所以DX10p(1p)2.4，所以p0.4或0.6.又因为P(X4)P(X6)，所以Cp4(1p)6Cp6(1p)4，所以p0.5，所以p0.6.故选B.答案：B2(2017高考全国卷)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX_.解析：依题意，XB(100,0.02)，所以DX1000.02(10.02)1.96.答案：1.963某班有50名学生，期中考试的数学成绩XN(110,102)，若P(100X110)0.2，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为_解析：由题意，知正态曲线的对称轴为X110，故P(110X120)P(100X110)0.2，所以P(X120)P(X110)P(110X120)0.50.20.3.所以该班学生数学成绩在120分以上的人数为0.35015.答案：154已知某厂生产的电子产品的使用寿命X(单位：小时)服从正态分布N(1 000，2)，且P(X800)0.2，P(X1 300)0.02.(1)现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在1 200,1 300)的概率；(2)现从该厂随机抽取三件产品，记抽到的三件产品的使用寿命在800,1 200)的件数为Y，求Y的分布列和数学期望E(Y)解析：(1)因为XN(1 000，2)，P(X800)0.2，P(X1 300)0.02，所以P(1 200X1 300)P(X1 300)P(X1 200)P(X800)0.2.所以P(1 200X1 300)0.20.020.18.故抽取的产品的使用寿命在1 200,1 300)的概率为0.18.(2)因为P(800X1 200)12P(X800)120.20.6，所以YB(3,0.6)P(Y0)C0.60(10.6)30.064，P(Y1)C0.6(10.6)20.288，P(Y2)C0.62(10.6)0.432，P(Y3)C0.63(10.6)00.216.所以Y的分布列为Y0123P0.0640.2880.4320.216所以E(Y)30.61.8.在判断是否是二项分布时易忽视下列3个条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的；(2)各次试验中的事件是相互独立的；(3)每次试验中只有两种结果：事件要么发生，要么不发生离散型随机变量的期望与方差授课提示：对应学生用书第72页悟通方法结论1离散型随机变量的分布列和概率性质设离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2xixnPp1p2pipn则(1)pi0，i1,2，n；(2)p1p2pipn1；(3)E(X)x1p1x2p2xipixnpn；(4)D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xnE(X)2pn.2随机变量的数学期望与方差(1)如果E()和E()都存在，则E()E()E()(2)若ab，则E()E(ab)aE()b，D()D(ab)a2D()(3)期望与方差的转化：D()E(2)(E()2.(4)E(E)E()E(E)(因为E为一常数)E()E()0.(2017高考全国卷)(12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)求六月份(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，学审题条件信息想到方法注意什么信息中结合频数分布表想到表中最高气温与天数的关系及气温与酸奶需求量关系表示利润Y时注意根据气温区间进行分类表示信息酸奶一天需求量利用表格中关系求解信息中求EY的最值用进货量n表示EY建立函数关系可求解规范解答(1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500， (2分)由表格数据知P(X200)0.2，P(X300)0.4，P(X500)0.4. (5分)因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4 (6分)(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200n500.当300n500时，若最高气温不低于25，则Y6n4n2n；若最高气温位于区间20,25)，则Y63002(n300)4n1 2002n；若最高气温低于20，则Y62002(n200)4n8002n.因此EY2n0.4(1 2002n)0.4(8002n)0.26400.4n. (9分)当200n0)，则有如下结论：P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4.高三(1)班有48名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为()A32B24C16D8解析：因为数学成绩服从正态分布N(120,102)，则P(|x120|10)1P(|x120|10)0.317 4，由正态曲线的对称性知在130分以上的概率是P(|x120|10)的一半，所以人数约为0.317 4488，故选D.答案：D5(2018厦门模拟)某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A100B200C300D400解析：将“没有发芽的种子数”记为，则1,2,3，1 000，由题意可知B(1 000,0.1)，所以E()1 0000.1100，又因为X2，所以E(X)2E()200，故选B.答案：B6已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴在y轴的左侧其中a，b，c3，2，1,0,1,2,3，在这些抛物线中，若随机变量X|ab|，则X的数学期望E(X)()A.B.C.D.解析：对称轴在y轴的左侧(a与b同号)的抛物线有2CCC126条，X的可能取值有0,1,2.P(X0)，P(X1)，P(X2)，E(X)，故选A.答案：A二、填空题7在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为_附：若XN(，2)，则P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4.解析：由P(1X1)0.682 6，得P(0X1)0.341 3，则阴影部分的面积为0.341 3，故估计落入阴影部分的点的个数为10 0003 413.答案：3 4138从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是_解析：设事件A为“抽到的两张都是假钞”，事件B为“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率为P(A|B)，因为P(AB)P(A)，P(B)，所以P(A|B).答案：9同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在两次试验中成功次数X的均值是_解析：此试验满足二项分布，其中p，所以在两次试验中成功次数X的均值为E(X)np2.答案：三、解答题102018年某企业举办产品创新研发创意大赛，经评委会初评，有两个优秀方案入选，最后组委会决定请车间100名经验丰富的技工对这两个方案进行等级评价(等级从高到低依次为A，B，C，D，E)，评价结果对应的人数统计如下表：编号等级ABCDE1 号方案8412615102号方案733202020(1)若从对1号方案评价为D，E的技工中任选3人，求这3人中至少有1人对1号方案评价为D的概率；(2)在C级以上(包含C级)，可获得2万元的奖励，D级奖励0.5万元，E级无奖励若以此表格数据估计概率，随机请1名技工分别对两个方案进行独立评价，求两个方案获得的奖励总金额X(单位：万元)的分布列和数学期望解析：(1)由表格可知，对1号方案评价为D的技工有15人，评价为E的技工有10人记事件“这3人中至少有1人对1号方案评价为D”为事件M，则为“这3人对1号方案的评价都为E”所以P()，故P(M)1P()1.即所求概率为.(2)由表格知，1号方案评价在C级以上的概率为，评价为D的概率为，评价为E的概率为；2号方案评价在C级以上的概率为，评价为D的概率为，评价为E的概率为.随机变量X(单位：万元)的所有可能取值为4,2.5,2,1,0.5,0.P(X4)，P(X2.5)，P(X2)，P(X1)，P(X0.5)，P(X0).所以X的分布列为X42.5210.50P故E(X)42.5210.50.11(2018昆明模拟)某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份其中5天的日营业额y(单位：万元)与该地当日最低气温x(单位：)的数据，如下表：x258911y1.210.80.80.7(1)求y关于x的线性回归方程x；(2)判断y与x之间是正相关还是负相关，若该地1月份某天的最低气温为6，用所求回归方程预测该店当日的营业额；(3)设该地1月份的日最低气温XN(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2，求P(3.8X13.4)附：回归方程x中，.3.2，1.8.若XN(，2)，则P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5.解析：(1)(258911)7，(1.210.80.80.7)0.9.4256481121295，iyi2.456.47.27.728.7，0.056，0.9(0.056)71.292.线性回归方程为0.056x1.292.(2)0.0560，y与x之间是负相关当x6时，0.05661.2920.956.该店当日的营业额约为9 560元(3)样本方差s2(2541416)10，最低气温XN(7,3.22)，P(3.8X10.2)0.682 7，P(0.6X13.4)0.954 5，P(10.2X13.4)(0.954 50.682 7)0.135 9.P(3.8X13.4)P(3.8X10.2)P(10.2X13.4)0.682 70.135 90.818 6.12由腾讯游戏开发并运行的一款运营在Android，iOS平台上的MOBA类手游，受到越来越多人的喜欢某机构对不同年龄的人员对玩此手游的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对玩此手游赞成人数如下表.年龄/岁15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75频数41016956赞成人数2915622(1)若以“年龄”45岁为分界点，由以上统计数据完成下面22列联表，并判断是否有99.5%的把握认为玩此手游的态度与人的年龄有关；年龄低于45岁的人数年龄不低于45岁的人数合计赞成不赞成合计(2)若从年龄在25,35)和55,65)的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行跟踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，记3人中年龄在55,65)的人数为，求随机变量的分布列和数学期望附：P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2，其中nabcd.解析：(1)根据条件得如下22列联表：年龄低于45岁的人数年龄不低于45岁的人数合计赞成261036不赞成41014合计302050所以K2的观测值k8.0037.879，所以有99.5%的把握认为玩此手游的态度与人的年龄有关(2)由分层抽样的方法可知，从年龄在55,65)的被调查人中抽取的人数为62，从年龄在25,35)的被调查人中抽取的人数为64，所以的可能取值为0,1,2，由题意知，P(0)，P(1)，P(2)，故随机变量的分布列为012P所以E()0121.13(2018揭阳模拟)某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电如图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X(单位：万立方米)的频率分布直方图(不完整)，已知X0,120，历年中日泄流量在区间30,60)的年平均天数为156，一年按364天计(1)请把频率分布直方图补充完整；(2)该水电站希望安装的发电机尽可能都运行，但每30万立方米的日泄流量才够运行一台发电机，如60X90时才够运行两台发电机若运行一台发电机，每天可获利润为4 000元；若不运行，则该台发电机每天亏损500元以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据，问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？解析：(1)在区间30,60)的频率为，.设在区间0,30)上，a，则(a)301，解得a.补充完整的频率分布直方图如图所示(2)记水电站日利润为Y元由(1)知，无法运行发电机的概率为，恰好运行一台发电机的概率为，恰好运行两台发电机的概率为，恰好运行三台发电机的概率为.若安装一台发电机，则Y的所有可能取值为500,4 000，其分布列为Y5004 000PE(Y)5004 000.若安装两台发电机，则Y的所有可能取值为1 000,3 500,8 000，其分布列为Y1 0003 5008 000PE(Y)1 0003 5008 000.若安装三台发电机，则Y的所有可能取值为1 500,3 000,7 500,12 000，其分布列为Y1 5003 0007 50012 000PE(Y)1 5003 0007 50012 000.因为，所以要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装三台发电机
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