2018-2019学年高中数学 第三章 数学归纳法与贝努利不等式 3.2 用数学归纳法证明不等式贝努利不等式导学案 新人教B版选修4-5.docx

3.2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1用数学归纳法证明不等式3.2.2用数学归纳法证明贝努利不等式1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式，特别是绝对值不等式、平均值不等式和柯西不等式.2.了解贝努利不等式，学会贝努利不等式的简单应用.3.会用数学归纳法证明贝努利不等式.自学导引1.贝努利不等式：设x1，且x0，n为大于1的自然数，则(1x)n1nx.2.设为有理数，x1，如果01，则(1x)1x；如果1，则(1x)1x，当且仅当x0时等号成立.基础自测1.若不等式对于一切nN*恒成立，则自然数m的最小值为()A.8 B.9C.10 D.12解析显然n1时，左边最大为n2成立的条件是()A.nN B.n4C.n4 D.n1或n4解析n4，244216，n1时，21，n5，2532，5225，当n4时，2nn2成立，故选D.答案D3.已知a，b，cR，abc0，abc0，T，则T与0的关系是_.解析abc0，(abc)2a2b2c22ab2bc2ac0，即2ab2bc2ac(a2b2c2)0，上述不等式两边同时除以2abc，得T0.答案T0，若a1an，则a1a2an，此时原不等式中等号成立.设ana1 (n2).(1)n2时，由基本不等式，所以命题对n2成立.(2)设nk时，不等式成立，即.记Ak，所以有：(Ak)ka1a2ak.当nk1时，因为ak1a1，ak1a2，ak1a3，ak1ak，所以ak1Ak0，则有ak1Ak.根据二项式定理及归纳假设得：(Ak)k1(k1)(Ak)k(Ak)k1(Ak)k(ak1Ak)(Ak)k1(Ak)kak1(Ak)k1(Ak)kak1a1a2akak1.即.由(1)(2)知，对任意的nN*命题都成立.反思感悟：用数学归纳法证明不等式的第二步，设nk时命题成立，证nk1时命题也成立时，往往要通过放缩法来实现nk1时命题所需要的形式.2.证明：如果n(n为正整数)个正数a1，a2，an的乘积a1a2an1，那么它们的和a1a2ann.证明(1)当n1时，a11，命题成立.(2)假设当nk时，命题成立.即若k个正数的乘积a1a2ak1，则a1a2akk.当nk1时，已知k1个正数a1，a2，ak，ak1满足条件a1a2ak11.若这k1个正数a1，a2，ak，ak1都相等，则它们都是1，其和为k1，命题得证.若这k1个正数a1，a2，ak，ak1不全相等，则其中必有大于1的数也有小于1的数(否则与a1a2ak11矛盾).不妨设a11，a21，a20a1a2akak1k10，即a1a2akak1k1，当nk1时命题成立由(1)(2)可知，对一切正整数n，如果n个正数a1，a2，an的乘积a1a2an1，那么它们的和a1a2ann成立.知识点3用数学归纳法证明柯西不等式【例3】 证明：|a1b1a2b2anbn| .证明(1)当n2时，因为|a1b1a2b2|2(aa)(bb)(a1b1a2b2)2(aa)(bb)ab2a1b1a2b2ab(abababab)(ab2a1b1a2b2ab)(a1b2a2b1)20.所以|a1b1a2b2|2(aa)(bb).即|a1b1a2b2|.也即n2时，柯西不等式成立.(2)设nk (k2)时，|a1b1a2b2akbk|.则当nk1时，由三角不等式及归纳假设，得：|a1b1a2b2ak1bk1|a1b1a2b2akbk|ak1bk1|ak1bk1|.由(1)(2)知柯西不等式得证.反思感悟：用数学归纳法证明不等式，难点不在于数学归纳法的原理，而在于如何变形.放缩以便于用上假设，再经过变形运算使命题得证.3.已知a，b为正数，求证：当n为正整数时，.证明(1)当n1时，命题成立.(2)设nk (k1)时，命题成立，即，当nk1时，要证，只须证即可，由0.即nk1时，命题成立.由(1)，(2)可知，对任意的nN*命题都成立.知识点4用数学归纳法证明贝努利不等式【例4】 设x1，且x0，n为大于1的自然数，则(1x)n1nx.证明(1)当n2时，由x0，知(1x)212xx212x，因此n2时命题成立.(2)假设nk(k2为正整数)时命题成立，即(1x)k1kx，则当nk1时，(1x)k1(1x)k(1x)(1kx)(1x)1xkxkx21(k1)x.即nk1时，命题也成立.由(1)，(2)及数学归纳法知原命题成立.反思感悟：(1)在证明过程中适当放缩或采用多种方法去尝试.(2)要注意记忆这种形式.4.设x1，x0，证明：1，对一切不小于2的正整数n都成立.证明x1，(1)当x0时，01，10.(2)当1x0时，01x|x|，x01，因此，当x1，x0时，1，且0，由贝努利不等式得：1n1.课堂小结数学归纳法能证明与正整数n有关的不等式，但并不是所有与正整数n有关的不等式都能用数学归纳法证明.证明不等式的难点在于对命题的变形.在推证nk1命题成立时，往往利用放缩法通过增加一些项(或舍去一些项)或利用二项式定理后舍去一些项达到满足nk1时所需要的形式.有时也会利用比较法证明nk1时命题成立.随堂演练1.若an (nN*)，求证：an对于所有n都成立.证明(1)当n1时，a1，成立，即12成立，所以当n1时命题成立.(2)假设nk (k1)时，ak(k1)，又ak1ak ，对nk1，ak1.证明(1)当n2时，左边 ，右边 ，所以左边右边，故命题对n2成立.(2)设命题对nk (k2)成立，也就是：.当nk1时，.当nk1时，命题也成立.由(1)、(2)知命题对任何不小于2的正整数n都成立.基础达标1.利用数学归纳法证明不等式“n2成立时，起始值n0至少应取()A.7 B.8C.9 D.10解析1，n16，n7，故n08.答案B3.已知xR，不等式x2，x3，可推广为xn1，则a的值为()A.2n B.n2C.22(n1) D.nn答案D4.用数学归纳法证明：11)，第一步要证明的不等式是_.答案n2时，左边11 (n1，nN*).证明(1)当n2时，1，即n2时命题成立. (2)设nk (k2)时，命题成立，即1，当nk1时，左边1(2k1)1.k2，令f(k)k2k1，对称轴为k，(2，)为t的增区间，f(k)f(2)，即k2k122211，0，nk1时，命题也成立.由(1)(2)知，当n1时，nN*命题都成立.综合提高7.用数学归纳法证明不等式(n2)的过程中，由nk递推到nk1时不等式左边()A.增加了B.增加了C.增加了但减少了D.以上各种情况均不对解析由nk到nk1，左边多了，但却少了.故选C.答案C8.用数学归纳法证明“11)”时，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数是()A.2k1 B.2k1C.2k D.2k1解析由nk到nk1，应增加的项数为(2k11)(2k1)2k12k项.故选C.答案C9.用数学归纳法证明“对于任意x0和正整数n，都有xnxn2xn4”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n应为_.答案110.用数学归纳法证明“Sn1(nN)”时，S1等于_.答案11.用数学归纳法证明： (nN*).证明(1)当n1时，左边1右边，不等式成立.当n2时，左边，右边.由12，得，即n2时，不等式也成立.(2)假设nk (k2)时，不等式成立，即.当nk1时，两边同加，得只须证(1).由于k2，上式显然成立.即nk1时，不等式成立.由(1)、(2)知，不等式对nN*都成立. 12.已知等差数列an，等比数列bn，若a1b1，a2b2，a1a2，且对所有的自然数n恒有an0，求证：当n2时，an0，故an是递增数列，an公差da2a1，bn公比q.当n2时，an0.故原不等式成立.(2)假设nk (k3)时，不等式成立，即akakak(a2a1)0.即bk1ak1.即nk1时，命题也成立，由(1)(2)可知，当n2时，anbn均成立.