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天津市部分区2018-2019学年高二上学期期末考试数学试卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.双曲线y21的焦点坐标为（ ）A. （3，0），（3，0） B. （0，3），（0，3）C. （，0），（，0） D. （0，），（0，）【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的标准方程直接计算。【详解】由双曲线y21可得：，则所以双曲线y21的焦点坐标为：（，0），（，0）故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，属于基础题。2.命题“x0（0，+），使得”的否定是（ ）A. x0（0，+），使得ex0 x0B. x0（0，+），使得ex0 x0C. x（0，+），均有exxD. x（0，+），均有exx【答案】D【解析】【分析】由特称命题的否定直接写出结果即可判断。【详解】命题“x0（0，+），使得ex0x0”的否定是：“x（0，+），使得ex x”故选：D【点睛】本题主要考查了特称命题的否定，属于基础题。3.若复数z=1ii（为虚数单位），则的共轭复数z=（ ）A. 1+i B. 1+i C. 1i D. 1i【答案】B【解析】因为z=1ii=i+1i2=1i，所以z=1+i，应选答案B。4.设x R，则“x1”是“x21”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：由x1可得x21成立，反之不成立，所以“x1”是“x21”的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件5.设公比为2的等比数列an的前n项和为Sn，若S5112，则a4等于（ ）A. 8 B. 4 C. 4 D. 8【答案】C【解析】【分析】由S5112求出a1，再由等比数列通项公式求出a4即可。【详解】由S5112得：a11q51q=112，又q=2解得：a1=12，所以a4=a1q3=4故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式及等比数列通项公式，考查计算能力，属于基础题。6.已知函数f（x）lnx12x2，则f（x）（ ）A. 有极小值，无极大值B. 无极小值有极大值C. 既有极小值，又有极大值D. 既无极小值，又无极大值【答案】B【解析】【分析】求出fx，对fx的正负分析，即可判断函数的极值情况。【详解】由题可得：fx=1xx=1x2xx0，当x1时，fx0当0x0所以f（x）在x=1处取得极大值，无极小值。故选：B【点睛】本题主要考查了利用导数判断极值的方法，属于基础题。7.在数列an中，a13，an+12an1（nN*），则数列an的通项公式为（ ）A. an2n+1 B. an4n1 C. an2n+1 D. an2n1+2【答案】C【解析】【分析】构造新的等比数列an1，求出an1，从而求出an【详解】由an+12an1得：an+11=2an1，所以数列an1是以a11=2为首项，公比为2的等比数列。所以an1=22n1=2n，所以an=2n+1故选：C【点睛】本题主要考查了转化思想，等比数列的通项公式，考查了构造法，属于基础题。8.在空间四边形ABCD中，向量AB（0，2，1），AC（1，2，0），AD（02，0），则直线AD与平面ABC所成角的正弦值为（ ）A. 13 B. 223 C. 13 D. 223【答案】A【解析】【分析】求出平面ABC的一个法向量n，再求出AD与n夹角的余弦即可。【详解】设n=x,y,z是平面ABC的一个法向量，则nAB=0且nAC=0，即：0x+2y+1z=01x+2y+0z=0，不妨令y=1，解得：x=2,z=2所以n=2,1,2AD与n夹角的余弦为：ADnADn=02+21+0202+22+0222+12+22=13所以直线AD与平面ABC所成角的正弦值为13。故选：A【点睛】本题主要考查了平面向量法向量的求法及利用向量求直线与平面所成角，考查了转化思想及计算能力，属于基础题。9.已知双曲线x2a2-y2b21（a0，b0）的两条渐近线与抛物线y28x的准线分别交于M，N两点，A为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为2，且AMN为正三角形，则双曲线的方程为（ ）A. x28-y224=1 B. x216-y248=1C. x224-y272=1 D. x264-y2192=1【答案】B【解析】【分析】由双曲线的离心率为2求得其渐近线方程，再由抛物线的准线与渐近线方程求得交点M,N坐标，利用AMN为正三角形列方程即可求得，从而求得双曲线的方程。【详解】由双曲线的离心率为2可得：e=ca=2，所以ba=c2-a2a2=3所以双曲线x2a2-y2b21（a0，b0）的渐近线方程为：y=bax=3x，又抛物线y28x的准线方程为：x=-2，由y=3xx=-2得：y=23x=-2或y=-23x=-2，所以M-2,23,N-2,-23A为双曲线的右顶点，且AMN为正三角形，则：2+a=323，解得：a=4所以b=43，所以双曲线的方程为x216-y248=1。故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质及抛物线的简单性质，考查了转化思想及计算能力，属于中档题。10.已知f（x）是定义在R上的函数，f（x）是f（x）的导函数，且满足f（x）+f（x）0，设g（x）exf（x），若不等式g（1+t2）g（mt）对于任意的实数t恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A. （，0）（4，+） B. （0，1）C. （，2）（2，+） D. （2，2）【答案】D【解析】【分析】由f（x）+f（x）0确定函数g（x）exf（x）为单调递减函数，转化不等式g（1+t2）g（mt）为：1+t2mt对于任意的实数t恒成立，变形成：t2mt+10对于任意的实数t恒成立，利用0即可求得实数m的取值范围。【详解】由g（x）exf（x）得：gx=exfx+exfx=exfx+fx，又f（x）+f（x）0，所以gxmt对于任意的实数t恒成立，即：t2mt+10对于任意的实数t恒成立，所以=m240，解得：2m2故选：D【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及利用单调性解决抽象不等式问题，考查了转化思想及一元二次不等式恒成立问题，属于中档题。二、填空题11.曲线f（x）2x+1x在点（1，3）处的切线方程为_【答案】xy+2=0【解析】【分析】求出fx，从而求得切线斜率k=f1，由直线方程的点斜式即可求得切线方程。【详解】由题可得：fx=2-x-2，所以切线斜率k=f1=1，所求切线方程为：y-3=x-1，整理得：x-y+2=0【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及直线方程的点斜式，考查计算能力，属于基础题。12.已知向量（2，1，3）与b（3，92）平行，则实数的值为_【答案】32【解析】【分析】利用向量（2，1，3）与b（3，92）平行列方程即可求解。【详解】因为向量（2，1，3）与b（3，92）平行，所以：23=1=392，解得：=32【点睛】本题主要考查了空间向量平行的坐标表示及方程思想，属于基础题13.已知a，b均为正数，4是2a和b的等比中项，则a+b的最小值为_【答案】42【解析】【分析】由4是2a和b的等比中项列方程，再利用基本不等式即可求解。【详解】因为4是2a和b的等比中项，所以2ab=16，又a+b2ab=42，当且仅当a=b=22时，等号成立。所以a+b的最小值为42。【点睛】本题主要考查了等比中项概念及基本不等式应用，属于基础题。14.设Sn是等差数列an的前n项和，已知a12，S96a8，则数列1anan+1的前10项的和为_【答案】512【解析】【分析】利用a12，S96a8求得d，从而求得an，对1an+1an裂项得：1an+1an=1n+11n+2，从而求得数列1anan+1的前10项的和。【详解】由S96a8得：9a1+36d=6a1+7d，又a12所以：d=1，所以an=a1+n1d=n+1所以1an+1an=1n+2n+1=1n+11n+2，所以数列1anan+1的前10项的和为：1a1a2+1a2a3+1a10a11=1213+1314+111112=12112=512【点睛】本题主要考查了等差数列前n项和公式及通项公式，考查了裂项求和方法及计算能力，属于中档题。15.已知离心率为63的椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1PF20，且PF1F2的面积为4，则椭圆的方程为_【答案】x212+y24=1【解析】【分析】由椭圆离心率为63得：a2=3b2，由PF1PF20得PF1F2为直角三角形，再由椭圆定义及三角形面积公式、勾股定理列方程组即可求得a,b，从而得解。【详解】由椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）离心率为63可得：ca=63，又a2=b2+c2，代入上式整理得：a2=3b2，由PF1PF20得PF1F2为直角三角形，又PF1F2的面积为4，设PF1=m，PF2=n，则m2+n2=2c2m+n=2a12mn=4a2=3b2a2=b2+c2解得：a2=12,b2=4，所以椭圆的方程为：x212+y24=1。【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及简单性质，向量垂直的数量积关系，考查计算能力，属于中档题。三、解答题：解答应写出文宇说明、证明过程成演算步骤16.已知复数z（m2+2m）+（m22m3）i，mR（i为虚数单位）（）当m1时，求复数z1+i的值；（）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围【答案】（）z1+i=1272i（）(2,1)【解析】【分析】（）将m=1代入，利用复数运算公式计算即可。（）由复数z在复平面内对应的点位于第二象限列不等式组求解即可。【详解】（）当m=1时，z=3-4i,z1+i=3-4i1+i=-12-72i. （）复数在复平面内对应的点位于第二象限,m2+2m0 解得-2m0，q=2，bn=2n-1 （）由（1）可知，cn=(3n-2)2n-1， Tn=c1+c2+cn=1+42+722+(3n-5)2n-2+(3n-2)2n-1 ， 2Tn=12+422+(3n-5)2n-1+(3n-2)2n由得，-Tn=1+3(2+22+2n-1)-(3n-2)2n=1+32-2n-121-2-(3n-2)2nTn=5+(3n-5)2n.【点睛】（1）本题主要考查了赋值法及Sn法求通项公式，即an=S1(n=1)Sn-Sn-1(n2),还考查了等比数列的通项公式。（2）利用错位相减法求和，注意相减时项的符号，求和时项数的确定，最后不要忘记除1-q，在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式。18.如图，已知多面体ABCA1B1C1中，AA1，BB1，CC1均垂直于平面ABC，ABAC，AA14，CC11，ABACBB12（）求证：A1C平面ABC1；（）求二面角BA1B1C1的余弦值【答案】（）见证明；（）31717【解析】【分析】（）建立空间直角坐标系，求出BC1，A1C，AB的坐标，利用数量积来确定BC1A1C,ABA1C，从而得证。（）求得平面ABB1的一个法向量AC坐标，再利用数量积求得平面A1B1C1的一个法向量n坐标，利用向量夹角公式即可求得二面角BA1B1C1的余弦值【详解】以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C0,2,0，A10,0,4，B12,0,2，C10,2,1. （）证明：BC1=(-2,2,1)，A1C=(0,2,-4)，AB=(2,0,0)BC1A1C =0+4-4=0，ABA1C =0+0+0=0，所以BC1A1C,ABA1C.ABBC1=B,A1C平面ABC1. （）由题意可知，AA1平面ABC，AC平面ABC，AA1 AC又ABAC，ABAA1=A,AC平面ABB1.平面ABB1的一个法向量为AC=(0,2,0).A1B1=(2,0,-2)，A1C1=(0,2,-3),设平面A1B1C1的一个法向量为n =(x,y,z)，则A1B1n=2x-2z=0A1C1n=2y-3z=0，取x=2,所以平面A1B1C1的一个法向量为n =(2,3,2) cosAC,n=ACnACn=31717.显然二面角B-A1B1-C1为锐二面角,二面角B-A1B1-C1的余弦值为31717【点睛】（1）本题主要考查了线面垂直的判定及向量数量积的应用，向量的坐标运算及向量数量积的坐标运算。（2）本小题主要考查了转化思想及向量夹角公式，还考查了平面法向量的求法，考查计算能力，属于基础题。19.已知椭圆C：x22+y21（）求C的离心率；（）若直线l：yx+m（m为常数）与C交于不同的两点A和B，且OAOB=23，其中O为坐标原点，求线段AB的长【答案】（）e=22（）43【解析】【分析】（）由题可得：a,b，求出即可求得离心率。（）联立直线与椭圆方程，整理，利用OAOB=23可求得m，再利用弦长公式求得线段AB的长【详解】（）由题意可知：a2=2，b2=1,c2=a2-b2=1,e=ca=22. （）设A(x1,y1) B(x2,y2)，由y=x+mx22+y2=1,消去y得3x2+4mx+2m2-2=0=16m2-122m2-2=24-8m20.-3m3. 则x1+x2=-4m3，x1x2=2m2-23,y1y2=x1+mx2+m=x1x2+mx1+x2+m2=m2-23. 又OAOB=23.因为：y1y2+x1x2=m2-43,所以m2-43=23.m=2满足式,AB=2(x1+x2)2-4x1x2=216m29-8m2-83=43.线段AB的长为43.【点睛】（1）本小题主要考查了椭圆的简单性质，属于基础题。（2）考查了直线与椭圆相交知识及方程思想，考查了韦达定理及数量积的坐标表示，弦长公式，还考查了计算能力，属于中档题。20.已知函数f（x）23x3a+22x2+x，aR（）当a1时，求f（x）在1，1上的最大值和最小值；（）若f（x）在区间12，2上单调递增，求a的取值范围；（）当m0时，试判断函数g（x）fx+a+2x-1xlnx-mx2x-1其中f（x）是f（x）的导函数）是否存在零点，并说明理由【答案】（）f(x)min=196,f(x)max=524 （）a222（）见解析【解析】【分析】（）求出fx，对fx的正负判断，从而确定函数的单调性，即可求得函数的最值。（）转化成fx0在区间12，2恒成立，再参变分离，转化成函数最值问题，利用基本不等式求最值即可。（）将所求问题化简转化成方程mlnx-2(x-1)x=0在(0,1)(1,+)内是否有解，利用导数说明函数hx=mlnx-2(x-1)x的单调性，再由h1=0即可判断原函数不存在零点。【详解】（）当a=1时，f(x)=23x3-32x2+x,f(x)=2x2-3x+1, 令f(x)=0得x=12或x=1.当x变化时，fx，f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,12)12(12,1)1fx+0f(x)-196单调递增极大值524单调递减16f(x)min=f(-1)=-196,f(x)max=f(12)=524.（）f(x)=2x2-(a+2)x+1f(x)在12,2上是单调递增函数,f(x)=2x2-(a+2)x+10在x12,2上恒成立.即：a+2(2x+1x)min.x12,2，当且仅当x=22时，2x+1x22成立.a22-2 （）由题意可知，g(x)=2xlnx-mx2x-1=x(2lnx-mxx-1)， x(0,1)(1,+)要判断g(x)是否存在零点，只需判断方程2lnx-mxx-1=0在(0,1)(1,+)内是否有解，即要判断方程mlnx-2(x-1)x=0在(0,1)(1,+)内是否有解. 设h(x)=mlnx-2(x-1)x, h(x)=mx-2x2=mx-2x2 x(0,1)(1,+),可见，当m0时，h(x)0在(0,1)(1,+)上恒成立.在上单调递减，在上单调递减.,在和内均无零点。故函数g（x）-无零点【点睛】（1）主要考查了利用导数求函数的最值，还考查了转化思想。（2）考查了导数与函数单调性关系及转化思想，还考查了基本不等式的应用。（3）考查了导数计算及转化思想，考查了函数零点判断及利用导数判断函数的单调性知识、计算能力，属于中档题。
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