考点测试28 平面向量的数量积及应用
高考概览
考纲研读
1．理解平面向量数量积的含义及其几何意义
2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
一、基础小题
1．已知向量a＝(－2，－1)，b＝(m，1)，m∈R，若a⊥b，则m的值为( )
A．－ B． C．2 D．－2
答案 A
解析 由a⊥b，得ab＝0，即－2m－1＝0，则m＝－．故选A．
2．在边长为1的等边三角形ABC中，设＝a，＝b，＝c，则ab＋bc＋ca＝( )
A．－ B．0 C． D．3
答案 A
解析 依题意有ab＋bc＋ca＝11－＋11－＋11－＝－．故选A．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝4，则等于( )
A．－16 B．－8 C．8 D．16
答案 D
解析 因为cosA＝，故＝||||cosA＝||2＝16．故选D．
4．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，则ab为( )
A．12 B．8 C．－8 D．2
答案 A
解析 ∵|a|cos〈a，b〉＝4，|b|＝3，
∴ab＝|a||b|cos〈a，b〉＝34＝12．故选A．
5．平面四边形ABCD中，＋＝0，(－)＝0，则四边形ABCD是( )
A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．梯形
答案 C
解析 因为＋＝0，所以＝－＝，所以四边形ABCD是平行四边形．又(－)＝＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．故选C．
6．已知向量a＝(2，7)，b＝(x，－3)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围为( )
A．x< B．－
0，∴|a＋b|＝2cosx．
(2)f(x)＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1
＝22－．
∵x∈，∴≤cosx≤1，
∴当cosx＝时，f(x)取得最小值－；
当cosx＝1时，f(x)取得最大值－1．
单元质量测试(三)
时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．函数f(x)＝1－2sin2的最小正周期为( )
A．2π B．π C． D．4π
答案 A
解析 f(x)＝1－2sin2＝cosx，最小正周期T＝2π，故选A．
2．已知sinθ<0，tanθ>0，则化简的结果为( )
A．cosθ B．－cosθ
C．cosθ D．以上都不对
答案 B
解析 由已知可判断出θ是第三象限角，所以＝|cosθ|＝－cosθ．故选B．
3．(2018福建4月质检)已知向量＝(1，1)，＝(2，3)，则下列向量与垂直的是( )
A．a＝(3，6) B．b＝(8，－6)
C．c＝(6，8) D．d＝(－6，3)
答案 D
解析 ＝－＝(1，2)，因为(1，2)(－6，3)＝1(－6)＋23＝0．故选D．
4．(2018长沙统考)已知a，b为单位向量，且a⊥(a＋2b)，则向量a与b的夹角为( )
A．30 B．60 C．120 D．150
答案 C
解析 由题意，a(a＋2b)＝a2＋2ab＝|a|2＋2|a||b|cos〈a，b〉＝1＋2cos〈a，b〉＝0，所以cos〈a，b〉＝－，又0≤〈a，b〉≤180，所以〈a，b〉＝120．故选C．
5．(2018长春调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC－2ccosB＝a，且B＝2C，则△ABC的形状是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
答案 B
解析 ∵2bcosC－2ccosB＝a，∴2sinBcosC－2sinCcosB＝sinA＝sin(B＋C)，即sinBcosC＝3cosBsinC，∴tanB＝3tanC，又B＝2C，∴＝3tanC，得tanC＝，C＝，B＝2C＝，A＝，故△ABC为直角三角形．故选B．
6．(2018广东广州调研)如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为( )
A． B．
C． D．
答案 B
解析 因为N，P，B三点共线，所以＝m＋＝m＋，从而m＋＝1⇒m＝．故选B．
7．(2018湖南长郡中学调研)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin2A＝asinB，且c＝2b，则等于( )
A．2 B．3 C． D．
答案 A
解析 由2bsin2A＝asinB，得4bsinAcosA＝asinB，由正弦定理得4sinBsinAcosA＝sinAsinB，∵sinA≠0，且sinB≠0，∴cosA＝，由余弦定理，得a2＝b2＋4b2－b2，
∴a2＝4b2，∴＝2．故选A．
8．(2018江西九校联考)已知5sin2α＝6cosα，α∈，则tan＝( )
A．－ B． C． D．
答案 B
解析 由题意知10sinαcosα＝6cosα，又α∈，
∴sinα＝，cosα＝，tan＝＝＝＝＝．
9．(2018东北三省四市二联)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)|φ|＜的图象向右平移个单位，所得到的图象关于y轴对称，则函数f(x)在0，上的最小值为( )
A． B． C．－ D．－
答案 D
解析 f(x)＝sin(2x＋φ)向右平移个单位得到函数g(x)＝sin2x－＋φ＝sin2x－＋φ，此函数图象关于y轴对称，即函数g(x)为偶函数，则－＋φ＝＋kπ，k∈Z，由|φ|＜，可得φ＝－，所以f(x)＝sin2x－，因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，所以f(x)的最小值为sin－＝－．故选D．
10．(2018湖北宜昌二模)已知△ABC中，∠A＝120，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为( )
A． B． C．6 D．
答案 A
解析 因为＝λ＋，且⊥，所以有＝(λ＋)(－)＝λ－λ2＋2－＝(λ－1)－λ2＋2＝0，整理可得(λ－1)34cos120－9λ＋16＝0，解得λ＝，故选A．
11．(2018湖南长沙长郡中学摸底)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)＝cosωx的图象，则函数f(x)的图象( )
A．关于直线x＝对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点，0对称 D．关于点，0对称
答案 C
解析 由题意T＝＝π，得ω＝2，把g(x)＝cos2x的图象向右平移个单位长度得f(x)＝cos2x－＝cos2x－＝sin－2x＋＝sin－2x＋＝sin2x－的图象，f＝0，f＝，因此函数f(x)的图象关于点，0对称．故选C．
12．(2017全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 B．2 C． D．2
答案 A
解析 分别以CB，CD所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(2，1)，B(2，0)，D(0，1)．
∵点P在以C为圆心且与BD相切的圆上，
∴可设Pcosθ，sinθ．
则＝(0，－1)，＝(－2，0)，
＝cosθ－2，sinθ－1．
又＝λ＋μ，
∴λ＝－sinθ＋1，μ＝－cosθ＋1，
∴λ＋μ＝2－sinθ－cosθ＝2－sin(θ＋φ)，
其中tanφ＝，∴(λ＋μ)max＝3．故选A．
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2018合肥质检一)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a在b方向上的投影等于________．
答案 －
解析 依题意，有|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝1＋212cos〈a，b〉＋4＝3，解得cos〈a，b〉＝－，则a在b方向上的投影等于|a|cos〈a，b〉＝－．
14．(2018全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知C＝60，b＝，c＝3，则A＝________．
答案 75
解析 由正弦定理得＝，∴sinB＝．
又∵c＞b，∴B＝45，∴A＝75．
15．(2018河北石家庄质检)已知与的夹角为90，||＝2，||＝1，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且＝0，则的值为________．
答案
解析
根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，所以＝(0，2)，＝(1，0)，＝(1，－2)．设M(x，y)，则＝(x，y)，所以＝(x，y)(1，－2)＝x－2y＝0，即x＝2y，又＝λ＋μ，即(x，y)＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，所以x＝μ，y＝2λ，所以＝＝．
16．(2018广州调研)如图所示，某炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面C处和D处，已知CD＝6000 m，∠ACD＝45，∠ADC＝75，目标出现于地面B处时测得∠BCD＝30，∠BDC＝15，则炮兵阵地到目标的距离是________ m．(结果保留根号)
答案 1000
解析 在△ACD中，∵∠ACD＝45，∠ADC＝75，
∴∠CAD＝60，
由正弦定理可得＝，
∴AD＝6000＝2000(m)．
在△BCD中，由正弦定理得＝，
∴BD＝＝3000(m)，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得AB2＝BD2＋AD2，
∴AB＝＝1000(m)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知α∈，sinα＝．
(1)求sin的值；
(2)求cos的值．
解 (1)因为α∈，sinα＝，
所以cosα＝－＝－．
故sin＝sincosα＋cossinα
＝＋＝－．
(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα
＝2＝－，
cos2α＝1－2sin2α＝1－22＝，
所以cos＝coscos2α＋sinsin2α
＝＋＝－．
18．(2018浙江温州统考)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)的最小正周期为π．
(1)求ω的值，并在下面提供的直角坐标系中画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象；
(2)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到？
解 (1)函数可化为f(x)＝sin，
因为T＝π，所以＝π，即ω＝2，
所以f(x)＝sin．
列表如下：
x
0
π
y
1
0
－1
0
画出图象如图所示：
(2)将函数y＝sinx(x∈R)图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin(x∈R)的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，可得函数f(x)＝sin(x∈R)的图象．
19．(2018河南洛阳二模)(本小题满分12分)如图，已知扇形的圆心角∠AOB＝，半径为4，若点C是上的一动点(不与点A，B重合)．
(1)若弦BC＝4(－1)，求的长；
(2)求四边形OACB面积的最大值．
解 (1)在△OBC中，BC＝4(－1)，OB＝OC＝4，
所以由余弦定理得cos∠BOC＝＝，
所以∠BOC＝，于是的长为4＝．
(2)设∠AOC＝θ，θ∈0，，则∠BOC＝－θ，
S四边形OACB＝S△AOC＋S△BOC
＝44sinθ＋44sin－θ＝24sinθ＋8cosθ＝16sinθ＋，
由于θ∈0，，所以θ＋∈，，
当θ＝时，四边形OACB的面积取得最大值16．
20．(2018河南濮阳三模)(本小题满分12分)△ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sinC，c＝3．
(1)求角A的大小；
(2)若AD是BC边上的中线，AD＝，求△ABC的面积．
解 (1)因为2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sinC，所以2RsinBsinB－2RsinAsinA＝(b－c)sinC，
所以bsinB－asinA＝bsinC－csinC，
即b2－a2＝bc－c2，即b2＋c2－a2＝bc，
所以cosA＝＝，A＝60．
(2)以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，
在△ABE中，∠ABE＝120，AE＝，
由余弦定理得AE2＝AB2＋BE2－2ABBEcos120，
即19＝9＋BE2－23BE－，
解得BE＝2(负值舍去)，所以AC＝2．
故S△ABC＝ABACsin∠BAC
＝32＝．
21．(2018荆门调研)(本小题满分12分)已知向量m＝(3sinx，cosx)，n＝(－cosx，cosx)，f(x)＝mn－．
(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值；
(2)若方程f(x)＝a在区间上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．
解 (1)f(x)＝mn－＝－3sinxcosx＋cos2x－＝－sin2x＋(1＋cos2x)－
＝－sin2x＋cos2x＝sin．
当2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z时，
函数f(x)取得最大值．
(2)由于x∈时，2x＋∈．
而函数g(x)＝sinx在区间上单调递减，在区间上单调递增．
又g＝－，g＝－，g＝．
结合图象(如图)，所以方程f(x)＝a在区间上有两个不同的实数根时，a∈．
22．(2018广东茂名二模)(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA＝2sinC，2b＝3c．
(1)求cosC；
(2)若∠ABC的平分线交AC于点D，且△ABC的面积为，求BD的长．
解 (1)∵sinA＝2sinC，∴a＝2c．
于是，cosC＝＝＝．
(2)由(1)知cosC＝，∴sinC＝．
∵S△ABC＝2cc＝，
∴c2＝4，c＝2，则a＝4，b＝3．
∵BD为∠ABC的平分线，
∴＝＝2，∴CD＝2AD．
又CD＋AD＝3，∴CD＝2，AD＝1．
在△BCD中，由余弦定理可得BD2＝42＋22－242＝6，
∴BD＝．