2019版高考数学二轮复习 限时检测提速练4 小题考法——三角恒等变换与解三角形.doc

限时检测提速练(四)　小题考法——三角恒等变换与解三角形 1．(2018湖南联考)已知θ的始边与x轴非负半轴重合，终边上存在点P(－1，a)且sin θ＝，则a＝(　　) A．－1 B．1 C．－ D． 解析：选B　sin θ＝＝，解得a＝1． 2．(2018攀枝花一模)若cos＝，且－≤α≤，则sin 2α的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选A　由题意，根据诱导公式得cos＝－sin α＝⇒sin α＝－，又因为sin α＜0，所以－＜α＜0，所以cos α＝， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2＝－，故选A． 3．(2018邯郸一模)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知absin C＝20sin B，a2＋c2＝41，且8cos B＝1，则b＝(　　) A．6 B．4 C．3 D．7 解析：选A　因为absin C＝20sin B，所以abc＝20b，ac＝20， ∴b＝＝＝6.选A． 4．(2018济南一模)若sin＝，A∈，则sin A的值为(　　) A． B． C．或 D． 解析：选B　∵A∈，∴A＋∈， 所以cos＜0，且cos＝－＝－， 所以sin A＝sin＝sincos －cossin ＝，选B． 5. (2018湖北统考)已知α∈，cos＝， 则sin α的值等于(　　) A． B． C． D．－ 解析：选C　因为α∈，所以＋α∈， 由cos＝，得sin＝＝，则sin α＝sin＝sincos －cossin ＝－＝，故选C． 6．(2018潍坊二模)已知α∈，tan(α－π)＝－，则cos＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选B　∵α∈，tan(α－π)＝－， ∴tan α＝－，即＝－， ∵sin2 α＋cos2 α＝1，∴sin α＝，cos α＝－， ∴cos＝(cos α＋sin α)＝＝－，故选B． 7．(2018河南联考)已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 b2＝a(a＋c)，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：选C　∵b2＝a2＋c2－2accos B，b2＝a(a＋c) ∴ac＝c2－2accos B， ∴a＝c－2acos B， ∴sin A＝sin C－2sin Acos B＝sin(A＋B)－2sin Acos B＝sin(B－A)， ∵△ABC为锐角三角形， ∴A＝B－A，∴B＝2A． ∵0＜A＜，0＜B＝2A＜， 0＜π－A－B＝π－3A＜，∴＜A＜． ∴＝sin A∈． 8．(2018茂名联考)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且4S＝(a＋b)2－c2，则sin＝(　　) A．1 B．－ C． D． 解析：选C　∵S＝absin C，cos C＝， ∴2S＝absin C，a2＋b2－c2＝2abcos C， 代入已知等式得 4S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab， 即2absin C＝2abcos C＋2ab， ∵ab≠0，∴sin C＝cos C＋1， ∵sin2C＋cos2C＝1，∴(cos C＋1)2＋cos2C＝1． 解得：cos C＝－1(不合题意，舍去)，cos C＝0，∴sin C＝1， 则sin＝(sin C＋cos C)＝.故选C． 9．(2018豫南联考)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sin＝1，且a＝2，则△ABC的面积的最大值为(　　) A． B． C． D．2 解析：选B　sin＝，－＝，A＝，由于a＝2为定值，由余弦定理得4＝b2＋c2－2bccos ，即4＝b2＋c2＋bc.根据基本不等式得4＝b2＋c2＋bc≥2bc＋bc＝3bc，即bc≤，当且仅当b＝c时，等号成立． S△ABC＝bcsin A≤＝，故选B． 10．(2018湖北统考)锐角△ABC中，角A所对的边为a，△ABC的面积S＝，给出以下结论： ①sin A＝2sin Bsin C； ②tan B＋tan C＝2tan Btan C； ③tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C； ④tan Atan Btan C有最小值8． 其中正确结论的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D　由S＝＝absin C，得a＝2bsin C， 又＝，得sin A＝2sin Bsin C，故①正确； 由sin A＝2sin Bsin C，得 sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C， 两边同时除以cos Bcos C， 可得tan B＋tan C＝2tan Btan C，故②正确； 由tan(A＋B)＝ 且tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C， 所以＝－tan C，整理移项得tan A＋tan B＋tan C＝2tan Atan Btan C，故③正确； 由tan B＋tan C＝2tan Btan C， tan A＝－tan(B＋C)＝－， 且tan A，tan B，tan C都是正数，得 tan Atan Btan C＝tan Btan C ＝tan Btan C＝， 设m＝tan Btan C－1，则m＞0， tan Atan Btan C＝＝2＋4≥4＋2 2＝8，当且仅当m＝tan Btan C－1＝1， 即tan Btan C＝2时取“＝”，此时tan Btan C＝2，tan B＋tan C＝4，tan A＝4所以tan Atan Btan C的最小值是8，故④正确，故选D． 11．(2018六安模拟)若tan α＝3，α∈，则cos＝____． 解析：由tan α＝3，可得＝3. 又sin2α＋cos2α＝1， 结合α∈，可得sin α＝，cos α＝， ∴cos＝(cos α＋sin α)＝． 答案： 12．(2018K12联盟联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若＝2sin C，则∠C的大小为____． 解析：∵＝2sin C， ∴根据正弦定理可得＝2sin C， ∵cos C＝，∴cos C＝sin C， 即tan C＝，∵C∈(0，π)，∴C＝． 答案： 13．(2018广东联考)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，c＝，当ab取得最大值时，S△ABC＝____． 解析：因为(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，a2＋b2－c2＝－ab， 所以cos C＝－，所以sin C＝， 由余弦定理得()2＝a2＋b2＋ab≥3ab，即ab≤1，当且仅当a＝b＝1时等号成立．所以S△ABC＝． 答案： 14．(2018烟台二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin Ccos B＝2sin A＋sin B，c＝3ab，则ab的最小值为____． 解析：在△ABC中，由A＋B＋C＝π， 则sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)， ∴2sin Ccos B＝2sin A＋sin B＝2sin(B＋C)＋sin B， 化简得－2sin Bcos C＝sin B， ∵sin B＞0，∴cos C＝－， ∵c＝3ab，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C， 即9a2b2＝a2＋b2＋ab≥3ab，当且仅当a＝b时成立． ∴ab≥.则ab的最小值为． 答案：