专题突破练(1) 函数的综合问题
一、选择题
1．函数f(x)＝的零点个数为( )
A．3 B．2 C．7 D．0
答案 B
解析 解法一：由f(x)＝0得
或
解得x＝－2或x＝e．
因此函数f(x)共有2个零点．
解法二：函数f(x)的图象如图所示，
由图象知函数f(x)共有2个零点．故选B．
2．已知A(2，5)，B(4，1)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值为( )
A． B．1 C． D．
答案 C
解析 由题意，得线段AB：y－1＝(x－4)⇒y＝－2x＋9(2≤x≤4)，所以＝＝－1＋≤，当x＝2时等号成立，即的最大值为．故选C．
3．若变量x，y满足|x|－ln ＝0，则y关于x的函数图象大致是( )
答案 B
解析 由|x|－ln ＝0得y＝＝画出图象可知选B．
4．(2018贵阳模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(2＋x)－1，则f(－6)＝( )
A．2 B．4 C．－2 D．－4
答案 C
解析 因为f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．而在x≥0时，f(x)＝log2(2＋x)－1，所以f(－6)＝－f(6)＝－[log2(2＋6)－1]＝－(log28－1)＝－2．故选C．
5．(2018唐山模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(－2)＝0，则满足xf(x)＞0的x的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(0，2) B．(－2，0)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2，0)∪(0，2)
答案 A
解析 因为f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，又f(－2)＝0，所以f(2)＝0，即在区间(－∞，－2)和(2，＋∞)上，f(x)＜0；在区间(－2，2)上，f(x)＞0，所以xf(x)＞0等价于和即得x<－2或0
f(3x－6)成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(2，3)
C．(－∞，2) D．(3，＋∞)
答案 A
解析 易得函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝＝1－为单调增函数，故函数f(x)在R上为增函数，依题意得x2－2x>3x－6，解得x<2或x>3．故选A．
7．(2018佛山质检一)已知函数f(x)＝
则下列函数为奇函数的是( )
A．f(sinx) B．f(cosx)
C．xf(sinx) D．x2f(cosx)
答案 C
解析 易知f(x)为偶函数，即满足∀x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立．研究g(x)＝xf(sinx)，g(－x)＝－xf[sin(－x)]＝－xf(－sinx)＝－xf(sinx)＝－g(x)，故g(x)＝xf(sinx)为奇函数．故选C．
8．(2019青岛质检)已知a＞b＞1，则下列结论正确的是( )
A．aa＜bb B．aln b＞bln a
C．aln a＞bln b D．ab＜ba
答案 C
解析 取a＝e，b＝，则B项明显错误；对于D项，若ab＜ba成立，则ln ab＜ln ba，则bln a＜aln b，由B项错误得D项错误；因为a＞b＞1，所以ln a＞ln b＞0，由同向不等式相乘得aln a＞bln b，进一步得ln aa＞ln bb，所以aa＞bb，所以A项错误，C项正确．故选C．
9．若x，y∈R，且满足则x＋y＝( )
A．－4 B．－3 C．3 D．4
答案 B
解析 函数f(t)＝t3＋2018t(t∈R)是奇函数，且在R上是增函数，故若f(u)＋f(v)＝0，则必有u＋v＝0，本题中，u＝x＋4，v＝y－1，∴x＋4＋y－1＝0⇒x＋y＝－3．故选B．
10．(2018长沙统考)函数f(x)＝2x＋的图象大致为( )
答案 A
解析 f(x)＝2x＋＝2x－＋1，其定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．令u(x)＝2x，v(x)＝－．由于u(x)和v(x)都在(－∞，－1)和(－1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，－1)上和(－1，＋∞)上单调递增，排除C，D；又当x趋向负无穷时，2x趋近于0，－趋近于0，所以f(x)接近于1，所以选A．
11．(2018大庆质检一)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f′(x)<0．若a＝fln ，b＝fln －，c＝f(e0．1)，则a，b，c的大小关系为( )
A．bln >ln ＝－1，e0．1>0，知ln －fln >f(e0．1)，即c0在区间[1，4]内有解，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－2)
解析 不等式x2－4x－2－a>0在区间[1，4]内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈[1，4]，∴g(x)≤g(4)＝－2，∴a<－2．
14．若存在b∈[1，2]，使得2b(b＋a)≥4，则实数a的取值范围是________．
答案 [－1，＋∞)
解析 由题可得2b(a＋b)≥4⇒a＋b≥4b⇒a≥4b－b，即存在b∈[1，2]使得a≥4b－b，因为y＝4x－x在R是单调递减的，所以4b－b在区间[1，2]上的范围为[－1，1]，则a≥－1，故填[－1，＋∞)．
15．已知函数g(x)的图象与函数f(x)＝log3x(x>0)的图象关于直线y＝x对称，若g(a)g(b)＝3(其中a>0且b>0)，则＋的最小值为________．
答案 9
解析 依题意可知g(x)＝3x，∴g(a)g(b)＝3a3b＝3a＋b＝3即a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝5＋＋≥9当且仅当a＝，b＝取“＝”．
16．如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝logx，y＝x，y＝x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A的纵坐标是2，则点D的坐标是________．
答案 ，
解析 由2＝logx可得点A，2，由2＝x可得点B(4，2)，因为4＝，所以点C的坐标为4，，所以点D的坐标为，．
三、解答题
17．(2018湖北荆州摸底)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，满足f(mn)＝f(m)＋f(n)(m，n>0)，且当x>1时，有f(x)>0．
(1)求证：f＝f(m)－f(n)；
(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(3)比较f与的大小．
解 (1)证明：∵f(m)＝f＝f＋f(n)，
∴f＝f(m)－f(n)．
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x11，∴f>0，
∴f(x2)>f(x1)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)f－
＝f＋f－
＝＋
＝f＋f
＝f
∵≥1，∴f≥0，
故f≥．
18．(2018浙江宁波统考)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，g(x)＝x|x－a|．
(1)若g(x)为奇函数，求a的值并判断g(x)的单调性(单调性不需证明)；
(2)对任意x1∈[1，＋∞)，总存在唯一的x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，求正实数a的取值范围．
解 (1)∵g(x)为奇函数，
∴g(x)＋g(－x)＝x(|x－a|－|x＋a|)＝0恒成立．
∴a＝0．此时g(x)＝x|x|，在R上单调递增．
(2)x1∈[1，＋∞)，f(x)＝log2(x＋1)，
∴f(x1)∈[1，＋∞)，g(x)＝
①当a≤2时，g(x2)在[2，＋∞)上单调递增，
∴g(2)＝4－2a≤1，a≥，∴≤a≤2．
②当2c时，P＝，
∴T＝x2－x1＝0；
当1≤x≤c时，P＝，
∴T＝x2－x1＝．
综上，日盈利额T(万元)与日产量x(万件)的函数关系为T＝
(2)由(1)，当x>c时，每天的盈利额为0，∴1≤x≤c，
①当3≤c<6时，T＝＝15－2(6－x)＋≤15－12＝3(当且仅当x＝3时取等号)，Tmax＝3，此时x＝3；
②当1≤c<3时，由T′＝＝知函数T＝在[1，3]上递增，
∴当x＝c时，∴Tmax＝．
综上，若3≤c<6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润；
若1≤c<3，则当日产量为c万件时，可获得最大利润．
20．(2018天津模拟)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为y＝x3－x＋8(00，
故当x∈(0，80)时，函数h(x)为减函数，当x∈(80，120)时，函数h(x)为增函数，
所以当x＝80时，h(x)取得最小值，此时a取最大值为
＝200．
所以若油箱有22．5升油，则该型号汽车最多行驶200千米．