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2.3数学归纳法学习目标1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题知识点数学归纳法对于一个与正整数有关的等式n(n1)(n2)(n50)0.思考1验证当n1，n2，n50时等式成立吗？答案成立思考2能否通过以上等式归纳出当n51时等式也成立？为什么？答案不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立梳理(1)数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(归纳递推)假设当nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立这种证明方法叫做数学归纳法(2)数学归纳法的框图表示1与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法()2数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.()3数学归纳法的两个步骤缺一不可()类型一用数学归纳法证明等式例1用数学归纳法证明：1427310n(3n1)n(n1)2，其中nN*.考点用数学归纳法证明等式题点利用数学归纳法证明等式证明(1)当n1时，左边144，右边1224，左边右边，等式成立(2)假设当nk(k1，kN*)时等式成立，即1427310k(3k1)k(k1)2，那么当nk1时，1427310k(3k1)(k1)3(k1)1k(k1)2(k1)3(k1)1(k1)(k24k4)(k1)(k1)12，即当nk1时等式也成立根据(1)和(2)可知等式对任何nN*都成立反思与感悟用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从nk到nk1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明nk1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝nk1证明目标的表达式变形跟踪训练1求证：1(nN*)考点用数学归纳法证明等式题点利用数学归纳法证明等式证明(1)当n1时，左边1，右边，左边右边(2)假设当nk(k1，kN*)时等式成立，即1，则当nk1时，.即当nk1时，等式也成立综合(1)，(2)可知，对一切nN*，等式成立类型二用数学归纳法证明不等式例2求证：(n2，nN*)考点用数学归纳法证明不等式题点利用数学归纳法证明不等式证明(1)当n2时，左边，故左边右边，不等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时，命题成立，即，则当nk1时，.(*)方法一(分析法)下面证(*)式，即0，只需证(3k2)(3k3)(3k1)(3k3)(3k1)(3k2)3(3k1)(3k2)0，只需证(9k215k6)(9k212k3)(9k29k2)(27k227k6)0，只需证9k50，显然成立所以当nk1时，不等式也成立方法二(放缩法)(*)式，所以当nk1时，不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式对一切n2，nN*均成立引申探究把本例改为求证：(nN*)证明(1)当n1时，左边，不等式成立(2)假设当nk(k1，kN*)时，不等式成立，即，则当nk1时，0，当nk1时，不等式成立由(1)(2)知对于任意正整数n，不等式成立反思与感悟用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若nk(k为正整数)，则n0k1.(2)证明不等式的第二步中，从nk到nk1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立得nk1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等跟踪训练2在数列an中，已知a1a(a2)，an1(nN*)，用数学归纳法证明：an2(nN*)考点用数学归纳法证明不等式题点利用数学归纳法证明不等式证明当n1时，a1a2，命题成立；假设当nk(k1，kN*)时，命题成立，即ak2，则当nk1时，ak1220，当nk1时，命题也成立由得，对任意正整数n，都有an2.类型三归纳猜想证明例3已知数列an满足关系式a1a(a0)，an(n2，nN*)，(1)用a表示a2，a3，a4；(2)猜想an的表达式(用a和n表示)，并用数学归纳法证明考点数学归纳法证明数列问题题点利用数学归纳法证明数列通项问题解(1)a2，a3，a4.(2)因为a1a，a2，猜想an.下面用数学归纳法证明当n1时，因为a1a，所以当n1时猜想成立假设当nk(k1，kN*)时猜想成立，即ak，所以当nk1时，ak1，所以当nk1时猜想也成立根据与可知猜想对一切nN*都成立反思与感悟“归纳猜想证明”的一般步骤跟踪训练3考察下列各式2213441345681355678161357你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？考点用数学归纳法证明等式题点等式中的归纳，猜想、证明解由题意得，221,34413,4568135,5678161357，猜想：(n1)(n2)(n3)2n2n135(2n1)，下面利用数学归纳法进行证明(1)当n1时，猜想显然成立；(2)假设当nk(k1，kN*)时，猜想成立，即(k1)(k2)(k3)2k2k135(2k1)，那么当nk1时，(k11)(k12)(k13)2(k1)(k1)(k2)2k(2k1)22k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)2k11352(k1)1所以当nk1时猜想成立根据(1)(2)可知对任意正整数猜想均成立.1已知f(n)1(nN*)，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，由此推算：当n2时，有()Af(2n)(nN*)Bf(2n)(nN*)Cf(2n)(nN*)Df(2n)(nN*)考点利用数学归纳法证明不等式题点不等式中的归纳、猜想、证明答案D解析f(4)2改写成f(22)；f(8)改写成f(23)；f(16)3改写成f(24)；f(32)改写成f(25)，由此可归纳得出：当n2时，f(2n)(nN*)2用数学归纳法证明“1aa2a2n1(a1)”在验证n1时，左端计算所得项为()A1a B1aa2C1aa2a3 D1aa2a3a4考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第一步：归纳奠基答案C解析将n1代入a2n1得a3，故选C.3若命题A(n)(nN*)在nk(kN*)时成立，则有nk1时命题成立现知命题对nn0(n0N*)时成立，则有()A命题对所有正整数都成立B命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D以上说法都不正确考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第二步：归纳递推答案C解析由已知，得nn0(n0N*)时命题成立，则nn01时命题成立，在nn01时命题成立的前提下，又可推得，n(n01)1时命题也成立，依此类推，可知选C.4用数学归纳法证明12222n12n1(nN*)的过程如下：(1)当n1时，左边1，右边2111，等式成立(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即12222k12k1，则当nk1时，12222k12k2k11.所以当nk1时，等式也成立由此可知对于任何nN*，等式都成立上述证明，错误是_考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第二步：归纳递推答案未用归纳假设解析本题在由nk成立证明nk1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符5用数学归纳法证明：(nN*)考点用数学归纳法证明等式题点利用数学归纳法证明等式证明当n1时，左边，右边，左边右边，等式成立假设当nk(k1，kN*)时，等式成立即，当nk1时，左边，右边，左边右边，等式成立即对所有nN*，原式都成立在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键：正确分析由nk到nk1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、选择题1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步应验证n等于()A1 B2C3 D4考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第一步：归纳奠基答案C解析由凸多边形的性质，应先验证三角形，故选C.2某个命题与正整数有关，如果当nk(kN*)时，该命题成立，那么可推得当nk1时，该命题也成立现在已知当n5时，该命题成立，那么可推导出()A当n6时命题不成立B当n6时命题成立C当n4时命题不成立D当n4时命题成立考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳第二步：归纳递推答案B3设Sk，则Sk1为()ASk BSkCSk DSk考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第二步：归纳递推答案C解析因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk，得Sk1.由，得Sk1Sk.故Sk1Sk.4一个与正整数n有关的命题中，当n2时命题成立，且由nk时命题成立，可以推得nk2时命题也成立，则()A该命题对于n2的自然数n都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与k取值无关D以上答案都不对考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第二步：归纳递推答案B解析由nk时命题成立，可以推出nk2时命题也成立，且使命题成立的第一个正偶数n02.故对所有的正偶数都成立5设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()A若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，则当k5时，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，则当k8时，均有f(k)n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是_考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第一步：归纳奠基答案109证明：假设当nk(kN*)时等式成立，即242kk2k，那么242k2(k1)k2k2(k1)(k1)2(k1)，即当nk1时等式也成立因此对于任何nN*等式都成立以上用数学归纳法证明“242nn2n(nN*)”的过程中的错误为_考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第二步：归纳递推答案缺少步骤归纳奠基10已知f(n)1，nN*，用数学归纳法证明f(2n)时，f(2n1)f(2n)_.考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第二步：归纳递推答案三、解答题11用数学归纳法证明(n2，nN*)考点用数学归纳法证明等式题点利用数学归纳法证明等式证明(1)当n2时，左边1，右边，所以左边右边，所以当n2时等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时等式成立，即，那么当nk1时，即当nk1时，等式成立综合(1)(2)知，对任意n2，nN*，等式恒成立12用数学归纳法证明：1(n2，nN*)考点用数学归纳法证明不等式题点利用数学归纳法证明不等式证明(1)当n2时，左式，右式1.因为，所以不等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时，不等式成立，即1，则当nk1时，11111，所以当nk1时，不等式也成立综上所述，对任意n2的正整数，不等式都成立四、探究与拓展13用数学归纳法证明“34n152n2(nN*)能被14整除”时，当nk1时，34(k1)152(k1)2应变形为_考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第二步：归纳递推答案34(34k152k2)52k2144解析34(k1)152(k1)23434k15252k23434k13452k25252k23452k234(34k152k2)52k2(3452)34(34k152k2)52k2144.14已知数列an的前n项和Sn1nan(nN*)(1)计算a1，a2，a3，a4；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论考点数学归纳法证明数列问题题点利用数学归纳法证明数列通项问题解(1)计算得a1；a2；a3；a4.(2)猜想：an.下面用数学归纳法证明当n1时，猜想显然成立假设当nk(k1，kN*)时，猜想成立，即ak，那么，当nk1时，Sk11(k1)ak1，即Skak11(k1)ak1.又Sk1kak，所以ak11(k1)ak1，从而ak1，即nk1时，猜想也成立故由和可知猜想成立
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