2019年高考数学一轮复习 第十六单元 空间向量在立体几何中的应用单元B卷 理.doc

第 十 六 单 元 空 间 向 量 在 立 体 几 何 中 的 应 用 注 意 事 项 1 答 题 前 先 将 自 己 的 姓 名 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 2 选 择 题 的 作 答 每 小 题 选 出 答 案 后 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 写 在 试 题 卷 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 3 非 选 择 题 的 作 答 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 写 在 试 题 卷 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 4 考 试 结 束 后 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 1 已知 0A 10B 1C 则平面 ABC的一个法向量可以是 A B C 1 D 1 2 已知正三棱柱 1A 12 则异面直线 1与 A所成角的余弦值为 A 0 B 4 C 4D 2 3 如图所示 在平行六面体 1DAB 中 M为 1C与 1B的交点 若 AB a D b 1 c 则下列向量中与 M 相等的向量是 A 12 abcB 12 abc C D 4 如图所示 四棱锥 PABC 中 底面 A为菱形 2A 60BD 侧面 PA为等 边三角形且垂直于底面 D E F分别为 P C的中点 则异面直线 E与 F所成角的余 弦值为 A 13B 34C 14D 710 5 结晶体的基本单位称为晶胞 如图是食盐晶胞的示意图 可看成是八个棱长为 2的小正方体堆 积成的正方体 其中白点 代表钠原子 黑点 代表氯原子 建立空间直角坐标系 Oxyz 后 图 中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是 A 1 2 B 01 C 1 2 D 1 2 6 如图 在四面体 OAC中 M N分别在棱 OA B上 且满足 OMA BNC 点G 是线段 MN的中点 用向量 B 表示向量 G 应为 A 1134OGBOC B 1134OGABOC C D 7 如图 点 分别在空间直角坐标系 xyz 的三条坐标轴上 02 平面 的法向量为 21 n 设二面角 CABO的大小为 则 cos A 43B 53C 23D 23 8 点 P是棱长为 1 的正方体 1ADB 的底面 AB上一点 则 1PAC 的取值范围是 A 4 B 24 C 1 0 D 02 9 已知四边形 ACD A 2B 现将 AB 沿 折起 使二面角B 的大小在 56 内 则直线 与 D所成角的余弦值取值范围是 A 5208 B 208 C 25018 D 258 10 如图 平面 平面 A B A与平面 所成的角分别为 4 和 6 过 A B 两点分别作两平面交线的垂线 垂足为 若 12 则 BA的长为 A 4 B 6 C 8 D 9 11 正四棱锥 ACDS 的侧棱长为 2 底面边长为 3 E为 SA的中点 则异面直线 BE与C 所成的角是 A 30 B 45 C 60 D 90 12 如图 在三棱柱 1AC 中 侧棱垂直于底面 底面边长为 2的正三角形 侧棱长为 3 则 1B与平面 1所成的角为 A 6 B 4 C 3 D 2 二 填空题 本大题有 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 请把答案填在题中横线上 13 已知 2 3 a 1 2 b 1 c 若向量 a b c共面 则实数 14 PA B C是从 P点出发的三条射线 每两条射线的夹角为 60 那么直线 PA与平面 所成角的余弦值是 15 已知正方形 ABCD的边长为 4 G平面 ABCD 2 G E F分别是 AB D的 中点 则点 到平面 EF的距离为 16 如图所示 在正三棱柱 1 中 是 的中点 1A 则异面直线1AB 与 所成的角为 三 解答题 本大题有 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 10 分 如图 在四棱锥 PABCD 中 PA 是等边三角形 ABC DB 2ADBC 1 求证 2 若平面 P平面 AB 60 求二面角 APD 的余弦值 18 12 分 如图 已知斜三棱柱 1CBA 的底面是正三角形 侧面 1AB是菱形 且 160AB M是 1BA的中点 1 求证 平面 2 求二面角 C 1的余弦值 19 12 分 如图 四边形 ABCD为菱形 120ABC E F是平面 ABCD同一侧的两点 BE 平面 F平面 1 证明 平面 E平面 2 求直线 与直线 所成角的余弦值 20 12 分 如图 在四棱锥 ABCDP 中 底面 ABCD 是直角梯形 ADB C 22 E是 P的中点 1 求证 平面 E平面 2 若二面角 的余弦值为 36 求直线 与平面 所成角的正弦值 21 12 分 如图所示 在底面是菱形的四棱锥 ABCDP 中 60 aACP aPDB2 点 E在 上 且 2 1E 1 证明 平面 AC 2 求二面角 E 的大小 3 棱 上是否存在一点 F 使 B 平面 A 证明你的结论 22 12 分 如图 1 在 RtABC 中 90 3BC 6 A D E分别是 AC AB 上的点 且 DE 2 将 DE 沿 折起到 1 的位置 使 1C 如图 2 1 求证 1 平面 2 若 M是 的中点 求 CM与平面 BA1所成角的大小 3 线段 B上是否存在点 P 使平面 D与平面 E1垂直 说明理由 单元训练金卷 高三 数学卷答案 B 第 十 六 单 元 空 间 向 量 在 立 体 几 何 中 的 应 用 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 1 答案 D 解析 1 0A 10B 1C 1B 0A 1C 0 设平面 ABC 的一个单位法向量为 yznx 则 n xyz 易知 1 符合题意 故选 D 2 答案 C 解析 以 A为原点 在平面 ABC内过 作 的垂线为 x轴 以 AC为 y轴 以 1A为 z轴 建立空间直角坐标系 设正三棱柱 1BC 的各条棱长为 2 则 0A 32 0A 0C 132AB 1 02AC 设异面直线 1和 所成的角的余弦值为 则 121cos48 BCA 异面直线 1AB和 所成的角的余弦值大小为 14 故选 C 3 答案 A 解析 平行六面体的性质可得 112AMC ab 则 1BMA acbc 故选 A 4 答案 B 解析 如图 取 D的中点 O 连 P B 由题意可得 PO 平面 BCD 在 AOB 中 1OA 2B 60OA 则由余弦定理得 3OB 所以 BAD 因此可建立如图所示 的空间直角坐标系 xyz 则 10A 1302E 0B 302F 3 2F 934cosAEB 异面直线 与 F所成角的余弦值为 故选 B 5 答案 A 解析 设图中最上层中间的钠原子所在位置为 点 以 O 为相对顶点 作出长方体BCDOEFG 如图所示 平面 BFGD经过点 与 x轴垂直 点 在 x轴上的射影为 点 结合 1 02G 得 B的横坐标为 12 同理可得 点 在 y轴上的射影为 E点 结合 得 的纵坐标为 点 B在 z轴上的射影为 D点 结合 0 1得 的竖坐标为 1 点 的坐标为 1 2G 故选 A 6 答案 A 解析 213OMNOBC 化简得到 1134OGABOC 故选 A 7 答案 C 解析 由题意可知 平面 的一个法向量为 02OC 由空间向量的结论可得 42cos3OC n 本题选择 C 选项 8 答案 D 解析 以点 为原点 以 DA所在的直线为 x轴 以 D所在的直线为 y轴 以 1D所在的直线 为 z轴 建立空间直角坐标系 可得点 1 0A 1 C 设点 P的坐标为 xyz 则 01x y 1z Pxy 10 xy 2221 11Ayxy 由二次函数的性质可得 当 1xy 时 1PAC 取得最大值为 2 当 0 x 或 1时 且当 0或 时 取得最大值为 0 由此 PAC 的取值范围是 1 2 故选 D 9 答案 A 解析 BDA 2BC COB AD 且 1CO 3A OC 是二面角 的平面角 以 为原点 为 x轴 O为 y轴 过点 作平面 的垂线为 z轴 建立空间直角坐标系 0 1B 01 设二面角 AD的平面角为 则 56 连 O 则 C 3cos0inA 3cos1inB 1 设 AB CD的夹角为 则 13coscos2ABCD 56 3s2 故 13cos0 5cos08 本题选择 A 选项 10 答案 B 解析 连接 A和 B 设 a AB与平面 成的角 4BA 在 Rt 中 2 与平面 所成的角 6 在 Rt 中 aA21 因此在 RtAB 中 21 aa 故选 B 11 答案 C 解析 取 的中点 F 连接 E F 则 ESC 异面直线 E与 SC所成的角为 BEF 因为 21 SE 6B 2 A 又在 AB 中 由余弦定理可得46cos AB 则在 E 中 可得 在 EF 中 由余弦定理得 21cos BEF 所以 0EF 故选 C 12 答案 A 解析 记点 B到平面 1A的距离为 d 1B与平面 1CA所成的角为 连接 1BC 11CAV 即 32233 2d 则 1sindB2 所以 6 故选 A 二 填空题 本大题有 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 请把答案填在题中横线上 13 答案 1 解析 a b c共面 存在实数 x y 使 y a xbc 即 2 31 42 xy 243xy 解得 1 14 答案 3 解析 过点 A向平面 PBC作垂线 AO 垂足为 连接 PO 易知 为 BPC 的角平分线 过点 O向 作垂线 垂足为 连接 B 易知 B 设 2Aa 在 RtP 中 60 a 在 B 中 3 23P 在 tAO 中 cosOA 15 答案 61 解析 建立如图所示的空间直角坐标系 xyzC 则 2 0 OG 由题意得平面 GEF的一个 法向量为 1 3 n 所以点 到平面 EF的距离为 61d C n 16 答案 60 解析 在平面 ABC内 过 作 DB的平行线 AE 过 B作 AEH 于 连接 HB1 则在1RtH 中 1 为 1与 所成的角 设 1 则 21 3 23 11cos2 60 三 解答题 本大题有 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 答案 1 见解析 2 5 解析 1 取 AD的中点 O 连接 P C PAD 为等边三角形 POAD BC 2AD BCAO 且 又 BC 四边形 BC为矩形 O 平面 又 P 平面 AP 2 由 1 知 D 平面 A 平面 BC 平面 平面 ABCD PO 平面 AD PO 平面 ABCD 以 O为坐标原点 以 O D P 所在方向分别为 x轴 y轴 z轴的正方向 建立空间直角坐 标系 xyz 设 1OD 则 1ABC 60AD 3OC 又 2 得 3P 3 1 0 01 0 设平面 CD法向量 1xyz n 由 10P 得 30z 取 1 得 31 n 又知 OC 是平面 A的一个法向量 设 20OC 1212 3105cos n 二面角 APDC 的余弦值为 18 答案 1 见解析 2 5 解析 1 证明 侧面 1AB是菱形 且 160AB AB 为正三角形 点 M为 的中点 1M 1 由已知 C 平面 AC 2 如图建立空间直角坐标系 设菱形 1边长为 2 得 3 0 1 0 2 3 3 0 A 则 BA BA 1 B 0 1 B 设平面 1AB的法向量 11 xyz n 由 1BA n 1 得 1203yz 令 1x 得 1 0 n 设面 C的法向量 22 xyz 由 21B 2 得 230 令 3 y 得 2 1 n 所以 1125cos 又二面角 CBA 1的平面角为锐角 所以所求二面角的余弦值为 5 19 答案 1 见解析 2 3 解析 1 证明 连结 D 和 A交于 O点 连结 E F BE平面 AC BE C Rtt 是等腰直角三角形 且 A21 2cos1203ACBACB OE3 OD E2 ABEDF421 OBEFD RttOBFD FODEB 90E 又 AC 平面 AC 平面 平面 AC 2 分别以 OB C所在射线为 x轴 y轴 以过点 O平行于 BE的直线为 z轴 建立建立空间 直角坐标系 如图所示 设 20Aa 则 0 3 aA 2 aE 0 3 C 2 aF E 2 Fa 233cos 6ACE 所以直线 与直线 F所成角的余弦值为 3 20 答案 1 见解析 2 2 解析 1 证明 PC平面 ABD C平面 ABD AC 1 2 22B 又 平面 平面 E 平面 AC平面 PB 2 如图 以 为原点 D 分别为 x轴 y轴 z轴正向 建立空间直角坐标系 则 0 1 0 设 0 Pa 则 1 2aE 1 0CA 0Pa 1 2aCE 设平面 AC的法向量为 11 xyz n 则由 11 n得 120 xyz 令 1 x 则 y 0 所以平面 的法向量为 1 n 设平面 E的法向量为 22 xyz 则由 220CAE 得 021 2zayx 令 a 则 z 所以平面 EAC的法向量为 2 n 依题意 1226cos 34a 解得 a 于是 2 n 1 PA 设直线 PA与平面 EC所成角为 则 22sinco 3 n 即直线 PA与平面 E所成角的正弦值为 21 答案 1 见解析 2 6 3 当点 F为 PC中点时 有 BF 平面 AEC 解析 1 证明 四边形 ABCD是菱形 60AB 且 a aADB 又 aP2 22P 且 平面 2 连接 底面 BC是菱形 BA 设 ODC 以 O为原点 O分别为 x轴 y轴建立如图所示的空间直角坐标系 则各点坐标分别为 0 2aA 3 0aB 02aC 3 02aD 2aP 点 E在 PD上 且 2 1E 3DPE 即 3POED 3 6aO 即点 的坐标为 6a 又平面 AC的一个法向量为 1 0 n 设平面 E的一个法向量为 2 xyz 0 2aOC 3 6aE 由 20O n 得 306 yaxyz 可令 1x 得 2 0 n 1212cos n 126 n 所以二面角 DACE 的大小为 3 证明 假设在 P上存在点 F满足题设条件 设 01 F 得 12 0 OCPa 233 2aBO 依题意 F 平面 AE 则有 BF n 12 1 03a 即 032 a 解得 21 当点 为 PC中点时 有 BF 平面 AEC 22 答案 1 见解析 2 4 3 不存在 见解析 解析 1 证明 因为 DB 所以 AC 所以 DAE 所以 E平面 1 所以 DE1 又因为 1C 1 所以 1AC 平面 2 如图 以 为坐标原点 建立空间直角坐标系 xyz 则 32 0 1A 0 D 3 1 M 0 B 2 E 设平面 BE的法向量为 xyz n 则 1A n 又 1 2 所以 320 xzy 令 1 则 2x 3z 所以 13 n 设 CM与平面 BEA1所成的角为 因为 3 1 CM 所以 42sinco 8C n 所以 与平面 1所成角的大小为 4 3 线段 B上不存在点 P 使平面 DA1与平面 BE1垂直 理由如下 假设这样的点 存在 设其坐标为 0 t 其中 3 0 t 设平面 DA1的法向量为 xyz m 则 1 P m 又 32 0 2 tP 所以 20yztx 令 2 x 则 ty 3tz 所以 tm 平面 DPA1与平面 BE1垂直当且仅当 0 nm 即 4 t 解得 2 t 这与 3 0 t矛盾 所以线段 C上不存在点 使平面 DPA1与平面 BE1垂直