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专题突破练16空间中的垂直与几何体的体积1.(2018江苏卷,15)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1B1C1.求证:(1)AB平面A1B1C;(2)平面ABB1A1平面A1BC.2.如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:ACBD;(2)已知ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.3.(2018江西南昌三模,文18)如图,多面体ABCDEF中,四边形ABCD为正方形,AB=2,AE=3,DE=,EF=,cosCDE=,且EFBD.(1)证明:平面ABCD平面EDC;(2)求三棱锥A-EFC的体积.4.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.(1)证明:ACHD;(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD=2,求五棱锥D-ABCFE的体积.5.(2018河南郑州三模,文19)如图,四棱锥E-ABCD中,ADBC,AD=AB=AE=BC=1,且BC底面ABE,M为棱CE的中点,(1)求证:直线DM平面CBE;(2)当四面体D-ABE的体积最大时,求四棱锥E-ABCD的体积.6.如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证:BF平面ACFD;(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.7.(2018全国卷3,文19)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD平面BMC;(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC平面PBD?说明理由.8.如图(1),在直角梯形ABCD中,ADBC,ABC=90,AB=BC=2,AD=6,CEAD于点E,把DEC沿CE折到DEC的位置,使DA=2,如图(2).若G,H分别为DB,DE的中点.(1)求证:GHDA;(2)求三棱锥C-DBE的体积.参考答案专题突破练16空间中的垂直与几何体的体积1.证明 (1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,ABA1B1.因为AB平面A1B1C,A1B1平面A1B1C,所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1A1B.又因为AB1B1C1,BCB1C1,所以AB1BC.又因为A1BBC=B,A1B平面A1BC,BC平面A1BC,所以AB1平面A1BC.因为AB1平面ABB1A1,所以平面ABB1A1平面A1BC.2.(1)证明 取AC的中点O,连接DO,BO.因为AD=CD,所以ACDO.又由于ABC是正三角形,所以ACBO.从而AC平面DOB,故ACBD.(2)解 连接EO.由(1)及题设知ADC=90,所以DO=AO.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.由题设知AEC为直角三角形,所以EO=AC.又ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO=BD.故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为11.3.(1)证明 AB=2,AE=3,DE=,由勾股定理得ADDE.又正方形ABCD中ADDC,且DEDC=D,AD平面EDC.AD面ABCD,平面ABCD平面EDC.(2)解 由已知cosCDE=,连接AC交BD于G.作OECD于O,则OD=DEcosCDE=1,OE=2.又由(1)知,平面ABCD平面EDC,平面ABCD平面EDC=CD,OE平面EDC,得OE面ABCD.由EFBD,EF=,知四边形DEFG为平行四边形,即DEFG,而VA-EFC=VE-AFC,进而VA-EFC=VE-AFC=VD-AFC=VF-ADC.又由EFBD,VF-ADC=VE-ADC=222=,所以,三棱锥A-EFC的体积为.4.(1)证明 由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得,故ACEF.由此得EFHD,EFHD,所以ACHD.(2)解 由EFAC得.由AB=5,AC=6得DO=BO=4.所以OH=1,DH=DH=3.于是OD2+OH2=(2)2+12=9=DH2,故ODOH.由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以AC平面BHD,于是ACOD.又由ODOH,ACOH=O,所以,OD平面ABC.又由得EF=.五边形ABCFE的面积S=68-3=.所以五棱锥D-ABCFE的体积V=2.5.解 (1)AE=AB,设N为EB的中点,ANEB.又BC平面AEB,AN平面AEB,BCAN.又BCBE=B,AN平面BCE.MNBC,MN=BC,ADMN.四边形ANMD为平行四边形,DMAN,DM平面CBE.(2)设EAB=,AD=AB=AE=1,且AD底面ABE,则四面体D-ABE的体积V=AEABsin AD=sin ,当=90,即AEAB时体积最大.又BC平面AEB,AE平面AEB,AEBC,BCAB=B,AE平面ABC,VE-ABCD=(1+2)11=.6.(1)证明 延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.因为平面BCFE平面ABC,且ACBC,所以AC平面BCK,因此BFAC.又因为EFBC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BFCK.所以BF平面ACFD.(2)解 因为BF平面ACK,所以BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.在RtBFD中,BF=,DF=,得cosBDF=,所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为.7.解 (1)由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)当P为AM的中点时,MC平面PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC中点.连接OP,因为P为AM中点,所以MCOP.MC平面PBD,OP平面PBD,所以MC平面PBD.8.(1)证明 连接BE,GH,AC,在AED中,ED2=AE2+AD2,可得ADAE.又DC=2,AC=2,可得AC2+AD2=CD2,可得ADAC.因为AEAC=A,所以AD平面ABCE,所以ADBE.又G,H分别为DB,DE的中点,所以GHBE,所以GHDA.(2)解 设三棱锥C-DBE的体积为V,则V=SBCEAD=222.
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