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5.2平面向量的数量积及平面向量的应用考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.向量数量积的定义及长度、角度问题1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2.掌握向量夹角概念及其范围,掌握向量长度的表示3.了解平面向量的数量积与向量投影的关系4.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算5.理解数量积的性质,并能运用2017课标全国,13;2017课标全国,13;2016课标全国,3;2016课标全国,13;2016北京,9;2015课标,4选择题、填空题2.向量数量积的综合应用1.能运用数量积解决两向量的夹角问题和长度问题2.会用数量积判断两个向量的平行、垂直关系3.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与一些实际问题2017天津,14;2017北京,12;2017江苏,12;2013课标,13分析解读高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,考查平面向量的数量积及其几何意义以及坐标表示,用以解决有关长度、角度、垂直、判断三角形形状等问题;考查形式除小题之外,还可能是与函数、解析几何、平面向量等知识综合在一起形成的解答题,主要考查学生的审题能力和知识迁移能力,难度适中.五年高考考点一向量数量积的定义及长度、角度问题1.(2016课标全国,3,5分)已知向量BA=12,32,BC=32,12,则ABC=()A.30B.45C.60D.120答案A2.(2015课标,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a=()A.-1B.0C.1D.2答案C3.(2015北京,6,5分)设a,b是非零向量.“ab=|a|b|”是“ab”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A4.(2015湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则|PA+PB+PC|的最大值为()A.6B.7C.8D.9答案B5.(2014课标,4,5分)设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则ab=()A.1B.2C.3D.5答案A6.(2017课标全国,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=.答案77.(2017课标全国,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,则m=.答案28.(2016北京,9,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,1),则a与b夹角的大小为.答案69.(2015湖北,11,5分)已知向量OAAB,|OA|=3,则OAOB=.答案910.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在ABC三边围成的区域(含边界)上,且OP=mAB+nAC(m,nR).(1)若m=n=23,求|OP|;(2)用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.解析(1)m=n=23,AB=(1,2),AC=(2,1),OP=23(1,2)+23(2,1)=(2,2),|OP|=22+22=22.(2)OP=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),x=m+2n,y=2m+n,两式相减,得m-n=y-x.令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.教师用书专用(1125)11.(2014大纲全国,6,5分)已知a、b为单位向量,其夹角为60,则(2a-b)b=()A.-1B.0C.1D.2答案B12.(2014湖南,10,5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,3),C(3,0),动点D满足|CD|=1,则|OA+OB+OD|的取值范围是()A.4,6 B.19-1,19+1C.23,27D.7-1,7+1答案D13.(2014山东,7,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,m).若向量a,b的夹角为6,则实数m=()A.23B.3C.0D.-3答案B14.(2014浙江,9,5分)设为两个非零向量a,b的夹角.已知对任意实数t,|b+ta|的最小值为1()A.若确定,则|a|唯一确定B.若确定,则|b|唯一确定C.若|a|确定,则唯一确定D.若|b|确定,则唯一确定答案B15.(2013湖北,7,5分)已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量AB在CD方向上的投影为()A.322B.3152C.-322D.-3152答案A16.(2013福建,10,5分)在四边形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为()A.5B.25C.5D.10答案C17.(2013湖南,8,5分)已知a,b是单位向量,ab=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为()A.2-1 B.2C.2+1D.2+2答案C18.(2017浙江,15,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.答案4;2519.(2016山东,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a(ta+b),则实数t的值为.答案-520.(2016课标全国,13,5分)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且ab,则x=.答案-2321.(2015浙江,13,4分)已知e1,e2是平面单位向量,且e1e2=12.若平面向量b满足be1=be2=1,则|b|=.答案23322.(2014湖北,12,5分)若向量OA=(1,-3),|OA|=|OB|,OAOB=0,则|AB|=.答案2523.(2014江西,12,5分)已知单位向量e1,e2的夹角为,且cos =13,若向量a=3e1-2e2,则|a|=.答案324.(2013重庆,14,5分)在OA为边,OB为对角线的矩形中,OA=(-3,1),OB=(-2,k),则实数k=.答案425.(2013安徽,13,5分)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为.答案-13考点二向量数量积的综合应用1.(2017浙江,10,5分)如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=OAOB,I2=OBOC,I3=OCOD,则()A.I1I2I3B.I1I3I2C.I3I1I2D.I2I10),且ab=0,点P(m,n)在圆x2+y2=5上,则|2a+b|=()A.34B.4C.42D.32答案A12.(2016湖南十校联考,5)在平行四边形ABCD中,AC=(2,-1),BD=(1,3),则平行四边形ABCD的面积为()A.74B.7C.72D.6答案CB组20162018年模拟提升题组(满分:65分时间:45分钟)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018湖南师大附中12月月考,8)已知半径为4的圆O是ABC的外接圆,且满足OA+13AB+13AC=0,则CA在CB方向上的投影为()A.23B.-23C.43D.-43答案A2.(2018河北衡水中学四调,10)设向量a=(cos 25,sin 25),b=(sin 20,cos 20),若t是实数,且u=a+tb,则|u|的最小值为()A.2B.22C.1D.12答案B3.(2018江西南昌二中期中模拟,8)如图,O为ABC的外心,AB=4,AC=2,BAC为钝角,M是边BC的中点,则AMAO的值为()A.4B.5C.6D.7答案B4.(2018湖南五市十校12月联考,12)在ABC中,AB=3AC=9,ACAB=AC2,点P是ABC所在平面内一点,则当PA2+PB2+PC2取得最小值时,PABC=()A.-24B.62C.92D.24答案D5.(2017辽宁葫芦岛六校联考,3)同一平面内,非零向量a,b,c两两夹角相等,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则a+b+c=()A.3B.5C.5或6D.3或6答案D6.(2017湖南郴州质量监测,9)已知A,B是单位圆O上的两点(O为圆心),AOB=120,点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径,则CMCN的取值范围是()A.-34,0B.-1,1)C.-12,1D.-1,0)答案A7.(2016湖南衡阳模拟,9)在ABC中,C=90,且|CA|=|CB|=3,点M满足BM=2MA,则CMCB=()A.6B.4C.3D.2答案C二、填空题(共5分)8.(2017宁夏银川一中月考,15)设a=(4,3),a在b方向上的投影为522,b在x轴正方向上的投影为2,且b对应的点在第四象限,则b=.答案2,-27三、解答题(共25分)9.(2018河南中原名校联盟第四次测评,19)在ABC中,满足ABAC,M是BC的中点.(1)若|AB|=|AC|,求向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角的余弦值;(2)若O是线段AM上任意一点,且|AB|=|AC|=2,求OAOB+OCOA的最小值.解析(1)设向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角为,因为ABAC,所以ABAC=0,所以cos =(AB+2AC)(2AB+AC)|AB+2AC|2AB+AC|=2AB2+2AC2|AB+2AC|2AB+AC|,设|AB|=|AC|=a(a0),则cos =2a2+2a25a5a=45.(5分)(2)|AB|=|AC|=2,|AM|=1,设|OA|=x(0x1),则|OM|=1-x.(8分)因为OB+OC=2OM,所以OAOB+OCOA=OA(OB+OC)=2OAOM=2|OA|OM|cos =2x2-2x=2x-122-12.因为0x1,所以当且仅当x=12时,OAOB+OCOA取最小值-12.(12分)10.(2016江西四校联考,17)已知向量a=(1,2),b=(-2,x).(1)当ab时,求x的值;(2)若向量a与4a+b的夹角是锐角,求|b|的取值范围.解析(1)ab,ab=-2+2x=0,x=1.(2)由题意知,4a+b=(2,8+x).a与4a+b的夹角是锐角,a(4a+b)0且a与4a+b不能同向.由a(4a+b)0,得2x+180,解得x-9,若a与(4a+b)共线,则22=8+x,x=-4.此时4a+b=(2,4)=2a,x-4.由得x-9且x-4,x20.又|b|=4+x2,|b|2.即|b|的取值范围为2,+).C组20162018年模拟方法题组方法1求平面向量模长的方法1.(2018辽宁六校协作体期初联考,11)已知O为坐标原点,向量OA=(3,1),OB=(-1,3),OC=mOA-nOB(m0,n0),若m+n1,2,则|OC|的取值范围是()A.5,25B.5,210)C.(5,10)D.5,210答案B2.(2016辽宁抚顺一中月考,7)已知向量a=(-1,2),b=(3,-6),若向量c满足c与b的夹角为120,c(4a+b)=5,则|c|=()A.1B.5C.2D.25答案D3.(2017江西六校联考,17)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为3.(1)求|a+2b|;(2)若向量a+2b与ta+b垂直,求实数t的值.解析(1)向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为3,|a+2b|=(a+2b)2=a2+4ab+4b2=4+421cos 3+4=23.(2)向量a+2b与ta+b垂直,(a+2b)(ta+b)=0,ta2+(2t+1)ab+2b2=0,4t+(2t+1)21cos 3+2=0,解得t=-12.方法2求平面向量夹角的方法4.(2018湖南益阳、湘潭调研,15)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a+b=(1,3),记向量a,b的夹角为,则tan =.答案-155.(2017吉林九校联考,14)已知e1,e2是夹角为120的单位向量,a=e1+e2,b=2e1+xe2,且b在a方向上的投影为-1,向量a与b的夹角为,则cos =.答案-7146.(2016四川资阳第一次模拟,14)已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=233|a|,则向量a+b与a-b的夹角为.答案3方法3用向量法解决平面几何问题的方法7.(2017山东质检,8)在ABC中,已知向量AB=(cos 18,cos 72),BC=(2cos 63,2cos 27),则ABC的面积等于()A.22B.24C.32D.2答案A8.(2018豫东、豫北十校联考(三),15)如图,在等腰梯形ABCD中,AD=BC=AB=12DC=2,点E,F分别为线段AD,BC的三等分点,O为DC的中点,则FEOF=.答案-143
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