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第5讲概率与统计高考统计定方向热点题型真题统计命题规律题型1：抽样方法、统计图表的判读及用样本估计总体2018全国卷T3；2018全国卷T14；2017全国卷T192016全国卷T19；2014全国卷T181.高考对这部分内容的考查是“一小一大”或“一大”.2.统计中的“一小”，是高考创新的基地，与实际生活密切相关，令人耳目一新.3.解答题多出现在18或19题的位置，重点考查用频率估计概率、频率分布直方图、折线图、茎叶图、回归分析和独立性检验.题型2：变量的相关性(回归分析)、独立性检验2018全国卷T18；2018全国卷T18；2017全国卷T192016全国卷T18；2015全国卷T19题型3：概率与统计的综合问题2018全国卷T19；2017全国卷T18；2016全国卷T182015全国卷T18；2014全国卷T19题型1抽样方法、统计图表的判读及用样本估计总体核心知识储备1频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示，频率组距.2频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.3利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数，在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和均为0.5；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和4样本的数字特征(1)样本平均数(x1x2xn)(2)样本方差s2(x1)2(x2)2(xn)2(xxx)2.(3)样本标准差s.(4)若x1，x2，x3，xn的平均数为，方差为2，则ax1b；ax2b；ax3baxnb的平均数为ab，方差为a22.高考考法示例【例1】(1)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：)制成如图231所示的茎叶图考虑以下结论：图231甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为()ABCD(2)(2018全国卷)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是_(3)(2018合肥模拟)某电子商务公司对10 000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间0.3,0.9内，其频率分布直方图如图232所示图232直方图中的a_.在这些购物者中，消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为_(1)B(2)分层抽样(3)36 000(1)甲29，乙30，甲乙又s，s2，s甲s乙，故可判断结论正确(2)因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽样，才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价(3)由0.11.50.12.50.1a0.12.00.10.80.10.21，解得a3.区间0.3,0.5)内的频率为0.11.50.12.50.4，故0.5,0.9内的频率为10.40.6.因此，消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为0.610 0006 000.方法归纳与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据.可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可以求出其他数据.(2)已知频率分布直方图，求某个范围内的数据，可利用图形及结合某范围求解.对点即时训练1(2017全国卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图图233根据该折线图，下列结论错误的是()A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳A对于选项A，由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由图可知显然正确故选A.2空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数空气质量按照AQI大小分为六级：050为优；51100为良；101150为轻度污染；151200为中度污染；201300为重度污染；大于300为严重污染一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图234.利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI100)的天数(按这个月总共30天计算)为 ()图234A15 B18 C20 D24B从茎叶图中可以发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为，估计该地本月空气质量优良的频率为，从而估计该地本月空气质量优良的天数为3018.选B.3(2018昆明模拟)工厂生产的A、B、C三种不同型号的产品数量之比依次为235，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A、B、C三种产品中抽出样本容量为n的样本，若样本中A型产品有16件，则n的值为_80由已知得n16，解得n80.题型2变量的相关性(回归分析)、独立性检验核心知识储备1变量的相关性(1)正相关：在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域(2)负相关：在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域(3)相关系数r：当r0时，两变量正相关；当r6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异方法归纳求线性回归方程的步骤：对点即时训练1某品牌2019款汽车即将上市，为了对这款汽车进行合理定价，某公司在某市五家4S店分别进行了两天试销售，得到如下数据：(1)分别以五家4S店的平均单价与平均销量为散点，求出单价与销量的回归直线方程x；(2)在大量投入市场后，销量与单价仍服从(1)中的关系，且该款汽车的成本为12万元/辆，为使该款汽车获得最大利润，则该款汽车的单价约为多少万元(保留一位小数)?附： 解(1)五家4S店的平均单价和平均销量分别为(18.3,83)，(18.5,80)，(18.7,74)，(18.4,80)，(18.6,78)，18.5，79，20.79(20)18.579370449，20x449.(2)设该款汽车的单价应为x万元，则利润f(x)(x12)(20x449)20x2689x5 388，f(x)40x689，令40x6890，解得x17.2，故当x17.2时，f(x)取得最大值要使该款汽车获得最大利润，该款汽车的单价约为17.2万元2(2018郑州模拟)人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图如图237所示，将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”图237根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关？非围棋迷围棋迷合计男女1055合计附：K2，其中nabcd.P(K2k0)0.050.01k03.8416.635解由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，从而22列联表如下：非围棋迷围棋迷合计男301545女451055合计7525100将22列联表中的数据代入公式计算，得K23.030，因为3.0303.841，所以没有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关题型3概率与统计的综合问题概率考点是近几年高考的热点之一，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型等知识，近几年高考对概率的考查由单一型向知识交汇型转化，且多为古典概型与茎叶图、频率分布直方图、回归分析、独立性检验等交汇考查高考考法示例【例3】(2016全国卷)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：图238记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数(1)若n19，求y与x的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？思路点拨(1)根据题意写出分段函数的解析式(2)(3)解(1)当x19时，y3 800；当x19时，y3 800500(x19)500x5 700，所以y与x的函数解析式为y(xN)(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300,10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3 800704 300204 80010)4 000.若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(4 000904 50010)4 050. 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件方法归纳以实际问题为背景，以统计图表为载体考查抽样方法、数字特征、概率、分布列以及独立性检验等知识是高考常考点.处理关键是仔细阅读题目，准确获取信息，成功地将应用问题转化为统计概率问题求解.(教师备选)(2018长春模拟)为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图239(单位：厘米)，设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米图239(1)列出22列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？(2)为了改良玉米品种，现采用分层抽样的方法从抗倒伏的玉米中抽出5株，再从这5株玉米中选取2株进行杂交试验，则选取的植株均为矮茎的概率是多少？附： P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)根据统计数据得22列联表如下：抗倒伏易倒伏总计矮茎15419高茎101626总计252045所以K27.2876.635，因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关(2)按照分层抽样的方法抽到的高茎玉米有2株，设为A，B，抽到的矮茎玉米有3株，设为a，b，c，从这5株玉米中取出2株的取法有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种，其中均为矮茎的选取方法有ab，ac，bc，共3种，因此选取的植株均为矮茎的概率是.对点即时训练(2018湘中名校联考)某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图2310所示，该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x(单位：盒，100x200)表示这个开学季内的市场需求量，y(单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润图2310(1)根据频率分布直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数、平均数和中位数；(2)将y表示为x的函数；(3)根据频率分布直方图估计利润y不少于4 800元的概率解(1)由频率分布直方图知，这个开学季内市场需求量x的众数估计值是150.需求量为100,120)的频率为0.005200.1，需求量为120,140)的频率为0.01200.2，需求量为140,160)的频率为0.015200.3，需求量为160,180)的频率为0.012 5200.25，需求量为180,200的频率为0.007 5200.15.则平均数1100.11300.21500.31700.251900.15153.根据频率分布直方图及中位数的概念，设这个开学季内市场需求量x的中位数为140a，则(0.005 00.010 0)200.015 0a(0.012 50.007 5)200.015 0(20a)，解得a.所以中位数为140153.(2)因为每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元，所以当100x160时，y50x30(160x)80x4 800，当160x200时，y160508 000，所以y(xN)(3)因为利润不少于4 800元，所以80x4 8004 800，解得x120.所以由(1)知利润不少于4 800元的概率P10.10.9.1(2016全国卷)如图2311是某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ，B点表示四月的平均最低气温约为5 .下面叙述不正确的是()图2311A各月的平均最低气温都在0 以上B七月的平均温差比一月的平均温差大C三月和十一月的平均最高气温基本相同D平均最高气温高于20 的月份有5个D对于选项A，由图易知各月的平均最低气温都在0 以上，A正确；对于选项B，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；对于选项C，三月和十一月的平均最高气温均为10 ，所以C正确；对于选项D，平均最高气温高于20 的月份有七月、八月，共2个月份，故D错误2(2018全国卷)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图2312：图2312图2312则下面结论中不正确的是()A新农村建设后，种植收入减少B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C新农村建设后，养殖收入增加了一倍D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半A设新农村建设前经济收入的总量为x，则新农村建设后经济收入的总量为2x.建设前种植收入为0.6x，建设后种植收入为0.74x，故A不正确；建设前其他收入为0.04x，建设后其他收入为0.1x，故B正确；建设前养殖收入为0.3x，建设后养殖收入为0.6x，故C正确；建设后养殖收入与第三产业收入的总和占建设后经济收入总量的58%，故D正确3(2018全国卷)如图2313是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图图2313为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，17)建立模型：30.413.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，7)建立模型：9917.5t.(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由解(1)利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为30.413.519226.1(亿元)利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为9917.59256.5(亿元)(2)利用模型得到的预测值更可靠理由如下：(i)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y30.413.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型9917.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠()从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠(以上给出了2种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可)4(2018全国卷)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表(1)在如图2314中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；图2314(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)解(1)(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.20.110.12.60.120.050.48，因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为1(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.48.该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为2(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.35.估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.480.35)36547.45(m3)5(2017全国卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得i9.97，s0.212，18.439， (xi)(i8.5)2.78，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i1,2，16.(1)求(xi，i)(i1,2，16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3s，3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查(i)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？()在(3s，3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差(精确到0.01)附：样本(xi，yi)(i1,2，n)的相关系数r，0.09.解(1)由样本数据得(xi，i)(i1,2，16)的相关系数r0.18.由于|r|0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(2)(i)由于9.97，s0.212，因此由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(3s，3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查()剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为(169.979.22)10.02，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.160.2122169.9721 591.134，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为(1 591.1349.2221510.022)0.008，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.09.一、概率与统计中的数学文化【例1】(1)分层抽样是先将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法在九章算术第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人应各付多少税额？则下列说法错误的有()甲应付51钱；乙应付32钱；丙应付16钱；三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少A0个B1个C2个D3个 (2)九章算术“勾股”章有一道“引葭赴岸”的问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何？”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一株类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐(如图1所示)，问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为()图1A. B. C. D.思路点拨(1)先根据题意抓住古代数学问题的核心“欲以钱多少衰出之”“要按照各人带钱多少的比例进行交税”，显然这是一个分层抽样问题，然后求出抽样比，则每人应付的税额等于各自持有的钱数与抽样比的乘积，最后逐个判断即可(2)先根据题意判断所求事件的概型属性连续型，且与葭的长度相关，故所求事件的概型为与长度相关的几何概型；再根据已知条件列方程求出水深和葭长，代入几何概型的概率计算公式求解即可解析(1)依题意知，抽样比为.由分层抽样知识可知，甲应付56051(钱)，故正确；乙应付35032(钱)，故不正确；丙应付18016(钱)，故正确；显然513216，则三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少，故正确综上，只有不正确，故选B.(2)根据题意标出相应数据，如图所示设水深为x尺，则由题意知葭长(x1)尺，故由勾股定理得(x1)2x252，解得x12，即水深12尺所以葭长13尺而所求事件的概型为与长度相关的几何概型，故所求概率P，故选B.答案(1)B(2)B体会领悟本例题中两个小题以九章算术中的问题为背景考查分层抽样和几何概型，题目注重对古代数学文化知识的挖掘，以能力立意为主，考查了考生的数据分析、数学建模、数学运算三大核心素养和数学应用意识，体现了考试大纲对考生的基本要求.二、概率与统计和其它知识交汇创新预测1：概率与其它知识的交汇【例2】在5,5上随机取一个实数t，则事件“直线l：xyt0与曲线C：x2y22x30有公共点”发生的概率为()A. B. C. D.思路点拨首先明确所求事件的概型属性连续型，所求事件的概型属于与长度相关的几何概型；然后确定曲线的属性圆；再根据“直线l和曲线C有公共点”这一条件求出实数t的取值范围；最后分别求出两个区间的长度，代入几何概型的概率计算公式求解解析法一：(代数法)由直线l的方程得y(xt)，代入曲线C的方程得x222x30，整理得4x2(2t6)x(t29)0.由题意，直线l和曲线C有公共点，所以(2t6)244(t29)0，整理得t22t150，即(t5)(t3)0，解得5t3.所以所求事件的概率P，故选C.法二：(几何法)曲线C的方程可转化为(x1)2y24，故曲线C为以C(1,0)为圆心，2为半径的圆由“直线l：xyt0与曲线C：x2y22x30有公共点”可得圆心C到直线l的距离不大于圆的半径，即2，解得5t3.所以所求事件的概率P，故选C.答案C预测2：创新命题情景中的概率与统计【例3】某市创业园区新引进一家生产环保产品的公司，已知该公司每售出1件某环保产品得到的利润为3 000元，未售出的产品每件亏损1 000元根据统计资料，该种环保产品的市场需求量的频率分布直方图如图2所示，其中a，b，c成等差数列，a，b，ac成等比数列已知该产品的月产量为160件，用x(单位：个，100x200)表示该市一月内的市场需求量，y(单位：元)表示该公司生产该产品的月利润图2(1)求a，b，c的值；(2)将y表示为x的函数；(3)根据频率分布直方图估计月利润y不少于40万元的概率解(1)由频率分布直方图可得，组距为20.所以(a0.007 5b0.012 5c)201，所以abc0.030 0.因为a，b，c成等差数列，所以ac2b.由解得b0.010 0.又a，b，ac成等比数列，即a，b,2b成等比数列，所以公比q2，故a0.005 0.故c2ba20.010 00.005 00.015 0.(2)因为公司每售出1件该产品获利3 000元，未售出的产品每件亏损1 000元，所以当x100,160时，y3 000x1 000(160x)4 000x160 000；当x(160,200时，y1603 000480 000.所以y(3)由月利润不少于40万元，得4 000x160 000400 000，所以x140.由频率分布直方图知x140的频率为(0.005 00.010 0)200.3，所以x140的频率为10.30.7，即月利润不少于40万元的概率为0.7.体会领悟解决概率与统计和其它知识的交汇问题，可利用数形结合思想，函数与方程思想以及转化与化归思想.三、规范答题概率与统计满分心得（1）写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全.如第（1）问中，写出当且仅当最高气温低于25 得分，第（2）问中若最高气温不低于25，若最高气温位于区间20，25），若最高气温低于20 才能得满分.（2）写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第（1）问应写明频率为0.6，第（2）问应写出Y的所有可能值为900，300，100.
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