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陕西省咸阳市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.与命题“若，则”等价的命题是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】根据原命题与其逆否命题为等价命题，转化求逆否命题即可.【详解】其等价的命题为其逆否命题：若x2-2x-30，则x3.【点睛】本题考查原命题与其逆否命题等价性以及会写逆否命题，考查基本应用能力.2.在等比数列中，若，是方程的两根，则的值为A. 6B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】利用韦达定理和等比数列的通项公式直接求解【详解】在等比数列an中，a2，a9是方程x2-x-6=0的两根，a5a6=a2a9=-6a5a6的值为-6故选：B【点睛】本题考查等比数列中两项积的求法，考查韦达定理和等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3.设xa0，则下列不等式一定成立的是A. x2axaxa2C. x2a2a2ax【答案】B【解析】【分析】直接利用不等式性质：在两边同时乘以一个负数时，不等式改变方向即可判断【详解】xaa2，x2ax，x2axa2 故选：B【点睛】本题主要考查了不等式的性质的简单应用，属于基础试题4.命题“xR,exx”的否定是（ ）A. xR,exxB. xR,exx”的否定是：xR，exx故选：D【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查5.不等式2x+1x-30的解集为A. x|-12x3B. x|-12x3C. x|-12x3D. x|x12或x3【答案】C【解析】【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，进行求解即可【详解】不等式等价为x-30(2x+1)(x-3)0，得-12x3x3，即-12x3，即不等式的解集为x|-12xA=30；正弦定理：asinA=bsinB，可得412=43sinB解得：sinB=32；0BacB. cbaC. abcD. cab【答案】A【解析】【分析】利用分子有理化进行化简，结合不等式的性质进行判断即可【详解】5-3=25+33-1=23+1，7-5=27+5，3+13+525+327+5，即bac，故选：A【点睛】本题主要考查式子的大小比较，利用分子有理化进行化简是解决本题的关键9.已知x，y满足约束条件xy40x2xy20，则zx3y的最小值为A. 0B. 2C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】作出平面区域，平移直线x+3y=0确定最优解，再求解最小值即可【详解】作出x，y满足约束条件x-y+40x2x+y-20所表示的平面区域如图，作出直线x+3y=0，对该直线进行平移，可以发现经过点A（2，0）时Z取得最小值：2；故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：y=2xz,直线的纵截距为z,所以纵截距z最小时，最大.10.在等差数列an中，已知a6+a70，则Sn中最大的是A. S5B. S6C. S7D. S8【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质可判断出a60，a70，从而可得和取最大值时的条件【详解】等差数列an中，a3+a100，a6+a7a3+a100，S11=11(a1+a11)20，a1+a110，a1+a112a60，a60，a70，则当n6时，Sn有最大值故选：B【点睛】本题考查了等差数列的性质与求和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11.如图，在四面体OABC中，M、N分别在棱OA、BC上，且满足OM=2MA，BN=NC，点G是线段MN的中点，用向量OA，OB，OC表示向量OG应为（ ）A. OG=13OA+14OB+14OCB. OG=13OA14OB+14OCC. OG=13OA14OB14OCD. OG=13OA+14OB14OC【答案】A【解析】OG=12OM+12ON=1223OA+1212OB+OC，化简得到OG=13OA+14OB+14OC，故选A.12.设抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|=5，线段MF中点的横坐标为52，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的焦点到准线的距离为A. 4或8B. 2或8C. 2或4D. 4或16【答案】B【解析】【分析】利用抛物线的定义和中点坐标公式和与y圆相切的条件，求出M5P2,4，代入抛物线方程即可求出p【详解】解：抛物线C方程为y2=2px(p0)，焦点Fp2,0，准线方程为x=p2，设Mx,y，由抛物线性质MF=x+p2=5，可得x=5p2，因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为5P2+P22=52，由已知圆半径也为52，据此可知该圆与y轴相切于点0,2，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即M5p2,4，代入抛物线方程得p210p+16=0，所以p=2或p=8，则焦点到准线距离为2或8故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义和性质，其中要注意以焦半径为直径的圆与y轴相切，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a=(2,-1,2)，b=(-4,2，x)，且a/b，则x=_【答案】4【解析】【分析】利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等，列方程求x值【详解】解：a/b，22=2xx=4故答案为：4【点睛】解决向量共线问题，一般利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等找解决的思路14.若一元二次不等式ax2-2x+20的解集是(-12,13)，则a的值是_【答案】-6【解析】【分析】根据一元二次不等式和对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a的值【详解】一元二次不等式ax2-2x+20的解集是(-12,13)，则-12和13是一元二次方程ax2-2x+2=0的实数根，-12+13=1a，解得a=-6故答案为：-6【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题15.已知两个正实数x，y满足2x+1y=1，且恒有x+2ym，则实数m的取值范围是_【答案】,8【解析】【分析】先用基本不等式求出x+2y的最小值，然后解一元二次不等式得到结果【详解】解：x0，y0，2x+1y=1，x+2y=x+2y2x+1y=2+2+4yx+xy4+24yxxy=8，当且仅当x=4，y=2时，取等号，x+2ym恒成立等价于8m，故答案为：,8【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，属基础题16.当双曲线M：x2my2m2+4=1的离心率取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为_【答案】y=2x【解析】【分析】求出双曲线离心率的表达式，求解最小值，求出m，即可求得双曲线渐近线方程【详解】解：双曲线M：x2my2m2+4=1，显然m0，双曲线的离心率e=m2+m+4m=m+4m+12m4m+1=5，当且仅当m=2时取等号，此时双曲线M：x22y28=1，则渐近线方程为：y=2x故答案为：y=2x【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法，考查基本不等式的应用，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知an为等差数列，且a3=-6，S6=-30(1)求an的通项公式；(2)若等比数列bn满足b1=8，b2=a1+a2+a3，求bn的前n项和公式【答案】（1）an=2n-12；（2）Tn=2-2(-3)n.【解析】【分析】(1)设等差数列的公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则an的通项公式可求；(2)求出b2，进一步得到公比，再由等比数列的前n项和公式求解【详解】(1)an为等差数列，设公差为d，由已知可得6a1+15d=-30a1+2d=-6，解得a1=-10，d=2an=a1+(n-1)d=2n-12；(2)由b1=8，b2=a1+a2+a3=-10-8-6=-24，等比数列bn的公比q=b2b1=-3，bn的前n项和公式Tn=b1(1-qn)1-q=81-(-3)n1-(-3)=2-2(-3)n【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的前n项和，是中档题18.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinC1-cosA=3c1求角A的大小；2若b+c=10，SABC=43，求a的值【答案】()A=3；（）213.【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得：sinAsinC1-cosA=3sinC，结合sinC0，利用两角和的正弦函数公式可求sin(A+3)=32，结合范围A+3(3,43)，可求A的值利用三角形的面积公式可求bc=16，进而根据余弦定理即可解得a的值【详解】由正弦定理可得：sinAsinC1-cosA=3sinC，sinC0，sinA=3(1-cosA)，sinA+3cosA=2sin(A+3)=3，可得：sin(A+3)=32，A+3(3,43)，A+3=23，可得：A=3，)SABC=43=12bcsinA=34bc，可得：bc=16，b+c=10，a=b2+c2-2bccos3=(b+c)2-2bc-bc=213【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19.直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，ABAC，AB=AC=2，AA1=4，M是侧棱CC1上一点，设MC=h，用空间向量知识解答下列问题1若h=1，证明：BMA1C；2若h=2，求直线BA1与平面ABM所成的角的正弦值【答案】（1）见解析；（2）105【解析】【分析】1以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积为0即可证明BMA1C. 2当h=2时，求平面ABM的法向量，利用向量法求出直线BA1与平面ABM所成的角的正弦值【详解】证明： 1直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，ABAC，AB=AC=2，AA1=4，M是侧棱CC1上一点，设MC=h，h=1，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，B(2,0，0)，M(0,2，1)，A1(0,0，4)，C(0,2，0)，BM=(2,2，1)，A1C=(0,2，4)，BMA1C=0+44=0，BMA1C.2当h=2时，M(0,2，2)，BA1=(2,0，4)，AB=(2,0，0)，AM=(0,2，2)，设平面ABM的法向量n=(x,y，z)，则nAB=2x=0nAM=2y+2z=0，取y=1，得n=(0,1，1)，设直线BA1与平面ABM所成的角为，则sin=BA1nBA1n=4202=105直线BA1与平面ABM所成的角的正弦值为105【点睛】本题考查利用向量的方法证明线线垂直，考查向量法解决线面角问题，考查运算求解能力，属于基础题20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)过点(3,22)，(2,-1)，直线l：x-my+1=0与椭圆C交于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点1求椭圆C的标准方程；2已知点A(-94,0)，且A、M、N三点不共线，证明：MAN是锐角【答案】（1）x24+y22=1；（2）见解析【解析】【分析】1将题干中两点坐标代入椭圆C的方程，求出a和b的值，即可得出椭圆C的标准方程； 2将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用向量数量积的坐标运算并代入韦达定理计算AMAN0，并结合A、M、N三点不共线，可证明出MAN是锐角【详解】解： 1将点3,22、2,1的坐标代入椭圆C的方程得3a2+12b2=12a2+1b2=1，解得a2=4b2=2，所以，椭圆C的标准方程为x24+y22=1；2将直线l的方程与椭圆C的方程联立xmy+1=0x24+y22=1，消去x并化简得m2+2y22my3=0，0恒成立，由韦达定理得y1+y2=2mm2+2，y1y2=3m2+2AM=x1+94,y1=my1+54,y1，同理可得AN=my2+54,y2所以，AMAN=my1+54my2+54+y1y2=m2+1y1y2+54my1+y2+2516=3m2+1m2+25m22m2+2+2516=17m2+216m2+20由于A、M、N三点不共线，因此，MAN是锐角【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查向量数量积的坐标运算，属于中档题21.如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点(1)求证：AF/平面BCE；(2)求二面角C-BE-D的余弦值的大小【答案】（1）见解析（2）64【解析】【分析】（1）设AD=DE=2AB=2a，以AC，AB所在的直线分别作为x轴、轴，以过点A在平面ACD内和AC垂直的直线作为y轴，建立如图所示的坐标系，利用向量法证明AF=12BE+BC，即证AF平面BCE.(2)利用向量法求二面角C-BE-D的余弦值的大小【详解】设AD=DE=2AB=2a，以AC，AB所在的直线分别作为x轴、轴，以过点A在平面ACD内和AC垂直的直线作为y轴，建立如图所示的坐标系，A0,0,0，C2a,0,0，B0,0,a，Da,3a,0，Ea,3a,2aF为CD的中点，F32a,3aa,0（1）证明AF=32a,32a,0，BE=a,3a,a，BC=2a,0,-a，AF=12BE+BC，AF平面BCE，AF平面BCE（2）设平面BCE的一个法向量m=x,y,z，则mBE=0mBC=0，即x+3y+z=02x-z=0，不妨令x=1可得m=1,-3,2设平面BDE的一个法向量n=x,y,z，则nBE=0nBD=0，即x+3y+z=0x+3y-z=0，令x=3可得n=3,-1,0于是，cosm,n=mnmn=64故二面角C-BE-D的余弦值为64【点睛】（1）本题主要考查空间位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.（2）二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量m,n；再代入公式cos=mnmn（其中m,n分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）22.已知抛物线E：x2=2px(p0)的焦点为F，A(2,y0)是抛物线E上一点，且|AF|=21求抛物线E的标准方程；2设点B是抛物线E上异于点A的任意一点，直线AB与直线y=x-3交于点P，过点P作x轴的垂线交抛物线E于点M，设直线BM的方程为y=kx+b，k，b均为实数，请用k的代数式表示b，并说明直线BM过定点【答案】（1）x2=4y；（2）见解析【解析】【分析】1利用抛物线的定义与性质求p的值，即可写出抛物线方程； 2设点Bx1,y1，Mx2,y2，由直线BM的方程和抛物线方程联立，消去y，利用根与系数的关系和A，P，B三点共线，化简整理可得BM的方程，从而求出直线BM所过的定点【详解】解： 1根据题意知，4=2py0，因为AF=2，所以y0+p2=2，联立解得y0=1，p=2；所以抛物线E的标准方程为x2=4y；2设Bx1,y1，Mx2,y2；又直线BM的方程为y=kx+b，代入x2=4y，得x24kx4b=0；由根与系数的关系，得x1+x2=4k，x1x2=4b；由MPx轴及点P在直线y=x3上，得Px2,x23，则由A，P，B三点共线，得x24x22=kx1+b1x12，整理，得k1x1x22k4x1+b+1x22b6=0；将代入上式并整理，得2x12k+b3=0，由点B的任意性，得2k+b3=0，即b=32k， 所以y=kx+32k=kx2+3；即直线BM恒过定点2,3【点睛】本题考查抛物线的性质和直线与抛物线的位置关系，以及直线过定点问题，是中档题
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