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专题4.9 电磁感应中的能量问题1.电磁感应中的能量转化2.求解焦耳热Q的三种方法3. 解电磁感应现象中的能量问题的一般步骤(1)在电磁感应中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路就相当于电源。(2)分析清楚有哪些力做功，就可以知道有哪些形式的能量发生了相互转化。(3)根据能量守恒列方程求解。题型1 电磁感应现象与能量守恒定律的综合【典例1】如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角30的斜面上，导轨电阻不计，间距L0.4 m，导轨所在空间被分成区域和，两区域的边界与斜面的交线为MN。中的匀强磁场方向垂直斜面向下，中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B0.5 T。在区域中，将质量m10.1 kg、电阻R10.1 的金属条ab放在导轨上，ab刚好不下滑。然后，在区域中将质量m20.4 kg，电阻R20.1 的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑。cd在滑动过程中始终处于区域的磁场中，ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取g10 m/s2，问： (1)cd下滑的过程中，ab中的电流方向；(2)ab刚要向上滑动时，cd的速度v多大？(3)从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距离x3.8 m，此过程中ab上产生的热量Q是多少？【答案】(1)由a流向b(2)5 m/s(3)1.3 J【解析】 (1)由右手定则可判断出cd中的电流方向为由d到c，则ab中电流方向为由a流向b。(2)开始放置时ab刚好不下滑，ab所受摩擦力为最大静摩擦力，设其为Fmax，有Fmaxm1gsin 设ab刚要上滑时，cd棒的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律有EBLv综合式，代入数据解得v5 m/s(3)设cd棒运动过程中在电路中产生的总热量为Q总，由能量守恒定律有m2gxsin Q总m2v2又QQ总解得Q1.3 J【跟踪训练】1（2019届云南省玉溪市峨山一中高三9月份考试）如图所示，两根光滑的平行金属导轨位于水平面内，匀强磁场与导轨所在平面垂直，两根金属杆甲和乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨接触良好且保持垂直起初两根杆都静止现突然给甲一个冲量使其获得速度v而开始运动，回路中的电阻不可忽略，那么在以后的运动中，下列说法正确的是()A 甲克服安培力做的功等于系统产生的焦耳热B 甲动能的减少量等于系统产生的焦耳热C 甲机械能的减少量等于乙获得的动能与系统产生的焦耳热之和D 最终两根金属杆都会停止运动【答案】C【解析】给甲一个冲量使其获得速度v而开始运动，回路中产生顺时针方向的感应电流，根据左手定则，甲棒受到向左的安培力而减速，乙棒受到向右的安培力而加速，根据能量守恒定律，故甲棒减小的动能等于系统增加的内能和乙棒增加的动能之和，故A、B、D错误，C正确故选C。2如图所示，在倾角为的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度相等的匀强磁场，方向一个垂直斜面向上，另一个垂直斜面向下，宽度均为L，一个质量为m，边长为L的正方形线框以速度v刚进入上边磁场时，即恰好做匀速直线运动，求：（1）当边刚越过时，线框的加速度多大？方向如何？（2）当到达与中间位置时，线框又恰好作匀速运动，求线框从开始进入到边到达与中间位置时，产生的热量是多少？【答案】（1），方向平行于斜面向上（2）Q= 【解析】（1）ab边刚越过即作匀速直线运动，表明线框此时受到的合外力为零，即：（2）设线框再作匀速直线运动的速度为，则：，即 从线框越过到线框再作匀速直线运动过程中，设产生的热量为Q，则由能量守恒定律得：题型2 电磁感应现象与动量守恒定律的综合【典例2】如图所示，两根间距为l的光滑金属导轨(不计电阻)，由一段圆弧部分与一段无限长的水平段部分组成，其水平段加有竖直向下方向的匀强磁场，磁感应强度为B，导轨水平段上静止放置一金属棒cd，质量为2m，电阻为2r。另一质量为m，电阻为r的金属棒ab，从圆弧段M处由静止释放下滑至N处进入水平段，棒与导轨始终垂直且接触良好，圆弧段MN半径为R，所对圆心角为60。求： (1)ab棒在N处进入磁场区速度是多大？此时棒中电流是多少？(2)cd棒能达到的最大速度是多大？(3)cd棒由静止到达最大速度过程中，系统所能释放的热量是多少？【答案】(1)(2)(3)mgR【解析】(1)ab棒由M下滑到N过程中机械能守恒，故mgR(1cos 60)mv2解得v。进入磁场区瞬间，回路中电流强度I。(2)ab棒在安培力作用下做减速运动，cd棒在安培力作用下做加速运动，当两棒速度达到相同速度v时，电路中电流为零，安培力为零，cd达到最大速度。运用动量守恒定律得mv(2mm)v解得v。(3)系统释放的热量应等于系统机械能的减少量，故Qmv23mv2，解得QmgR。 【跟踪训练】如图所示，MN、PQ两平行光滑水平导轨分别与半径r0.5 m 的相同竖直半圆导轨在N、Q端平滑连接，M、P端连接定值电阻R，质量M2 kg的cd绝缘杆垂直且静止在水平导轨上，在其右侧至N、Q端的区域内充满竖直向上的匀强磁场。现有质量m1 kg的ab金属杆以初速度v012 m/s水平向右运动，与cd绝缘杆发生正碰后，进入磁场并最终未滑出，cd绝缘杆则恰好能通过半圆导轨最高点，不计除R以外的其他电阻和摩擦，ab金属杆始终与导轨垂直且接触良好，g取10 m/s2，(不考虑cd杆通过半圆导轨最高点以后的运动)求： (1)cd绝缘杆通过半圆导轨最高点时的速度大小v；(2)电阻R产生的焦耳热Q。【答案】(1) m/s(2)2 J【解析】(1)cd绝缘杆通过半圆导轨最高点时，由牛顿第二定律有MgM解得v m/s。(2)发生正碰后cd绝缘杆滑至最高点的过程中，由动能定理有Mg2rMv2Mv，解得碰撞后cd绝缘杆的速度v25 m/s，两杆碰撞过程中动量守恒，有mv0mv1Mv2，解得碰撞后ab金属杆的速度v12 m/s，ab金属杆进入磁场后由能量守恒定律有mvQ，解得Q2 J。高考+模拟综合提升训练1（2018江苏卷）如图所示，竖直放置的形光滑导轨宽为L，矩形匀强磁场、的高和间距均为d，磁感应强度为B质量为m的水平金属杆由静止释放，进入磁场和时的速度相等金属杆在导轨间的电阻为R，与导轨接触良好，其余电阻不计，重力加速度为g金属杆（ ）A 刚进入磁场时加速度方向竖直向下B 穿过磁场的时间大于在两磁场之间的运动时间C 穿过两磁场产生的总热量为4mgdD 释放时距磁场上边界的高度h可能小于【答案】BC【解析】由于金属棒进入两个磁场的速度相等，而穿出磁场后金属杆做加速度为g的加速运动，所以金属能全部转化为焦耳热，所以Q1=mg2d，所以穿过两个磁场过程中产生的热量为4mgd，选项C正确；若金属杆进入磁场做匀速运动，则，得，有前面分析可知金属杆进入磁场的速度大于，根据得金属杆进入磁场的高度应大于，选项D错误。2（2018-2019云南省峨山一中高三第一次月考）如图所示，相距为d的边界水平的匀强磁场，磁感应强度水平向里、大小为B.质量为m、电阻为R、边长为L的正方形线圈abcd，将线圈在磁场上方高h处由静止释放，已知cd边刚进入磁场时和cd边刚离开磁场时速度相等，不计空气阻力，则()A 在线圈穿过磁场的整个过程中，克服安培力做功为mgdB 若Ld，则线圈穿过磁场的整个过程所用时间为C 若Ld，则线圈的最小速度可能为D 若Ld，则线圈的最小速度可能为【答案】BCD【解析】根据能量守恒研究从cd边刚进入磁场到cd边刚穿出磁场的过程：动能变化为0，重力势能转化为线框产生的热量，则进入磁场的过程中线圈产生的热量Qmgd，cd边刚进入磁场时速度为v0，cd边刚离开磁场时速度也为v0，所以从cd边刚穿出磁场到ab边离开磁场的过程，线框产生的热量与从cd边刚进入磁场到cd边刚穿出磁场的过程产生的热量相等，所以线圈从cd边进入磁场到ab边离开磁场的过程，产生的热量Q2mgd，感应电流做的功为2mgd，故A错误；线圈刚进入磁场时的速度大小，若Ld，线圈将匀速通过磁场，所用时间为，故B正确；若Ld，线框可能先做减速运动，在 ，综上所述，线圈的最小速度为，故D正确。所以BCD正确，A错误。3（2019届四川省成都外国语学校高三开学考试）如图所示，在倾角为30的斜面上固定一电阻不计的光滑平行金属导轨，其间距为L，下端接有阻值为R的电阻，导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向与斜面垂直(图中未画出)。质量为m、长度为L，阻值大小也为R的金属棒ab与固定在斜面上方的劲度系数为k的绝缘弹簧相接，弹簧处于原长并被锁定。现解除锁定的同时使金属棒获得沿斜面向下的速度v0，从开始运动到停止运动的过程中金属棒始终与导轨垂直并保持良好接触，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，在上述过程中()A 开始运动时金属棒与导轨接触点间电压为B 通过电阻R的最大电流一定是C 通过电阻R的总电荷量为D 回路产生的总热量等于【答案】AC【解析】A、开始时金属棒切割磁感线产生的感应电动势：，金属棒与导轨接触点间的电压：，故A正确；B、金属棒开始向下运动时做加速运动，当金属棒的速度最大时感应电流最大，金属棒的最大速度大于v0，最大电流大于，故B错误；C、最终金属棒静止，此时由平衡条件得：，此时弹簧的伸长量：，通过R的总电荷量：，故C正确；D. 由能量守恒定律得：，解得：，故D错误；故选AC。4（2018海南省琼海市高三下高考模拟考试）如图所示,一有限范围的匀强磁场，宽为d,磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个边长为L的正方形导线框，总电阻为R，在拉力作用下，以速度v向右匀速地通过该磁场区域。若dL,则在线框通过磁场的过程中，下述说法正确的是A 感应电流方向先逆时针后顺时针B 感应电流的大小为 C 线框中产生的热量为D 拉力做的总功为【答案】AC【解析】A项：在线框进入磁场过程中，穿过线框磁通量增大 ，由“楞次定律”可得，感应电流的方向为逆时针，在线框出磁场过程中，穿过线框磁通量减小 ，由“楞次定律”可得，感应电流的方向为顺时针，故A正确；B项：在线框进磁场和出磁场过程中有电流产生，电流为，故B错误；C项：在线框进磁场和出磁场过程中有电流产生，电流为，产生的热量，解得，故C正确；D项：由能量守恒可知，拉力所做的功就等于克服安培力所做的功，克服安培力所做的功又等于回路中产生的焦耳热，故D错误。5（2019届江苏省苏州市高三期初调研测试）如图所示，两根足够长的光滑金属导轨竖直放置，相距L，导轨上端连接着阻值为R的定值电阻，质量为m的金属杆ab与导轨垂直并接触良好，金属杆和导轨的电阻不计整个装置处于与导轨平面垂直的磁感应强度为B的匀强磁场中金属杆由静止释放，下落高度h后开始做匀速运动，已知重力加速度为g求：(1)金属杆做匀速运动的速度大小v；(2)下落高度h的过程中，通过金属杆中的电量q；(3)下落高度h的过程中，电阻R上产生的热量Q【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）根据法拉第定磁感应定律根据欧姆定律（2）下降高度h的过程中，通过金属杆的电量根据欧姆定律有根据法拉第电磁感应定律，则下降高度h的过程中的磁通量变化，且代入得（3）下降高度h的过程中，根据能量守恒定律得整理得6（2019届江苏省四星级高中部分学校高三上第一次调研联考）如图所示，有一倾斜的光滑平行金属导轨，导轨平面与水平面的夹角为 ，导轨间距为L，接在两导轨间的电阻为R，在导轨的中间矩形区域内存在垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一直量为m、有效电阻为r的导体棒从距磁场上边缘d处释放，整个运动过程中，导体棒与导轨接触良好，且始终保持与导轨垂直。不计导轨的电阻，重力加速度为g。(1) 求导体棒刚进入磁场时的速度 ；(2) 求导体棒通过磁场过程中，通过电阻R的电荷量q;(3)若导体棒刚离开磁场时的加速度为0，求异体棒通过磁场的过程中回路中产生的焦耳热Q。【答案】(1) (2) (3) 【解析】(1)导体棒从静止下滑距离d的过程中有： 解得：；(2)由法拉第电磁感应定律得： 解得：；解得：7（2019届浙江省嘉兴市高三普通高校招生选考科目教学测试）如图所示，竖直面内有一圆形小线圈，与绝缘均匀带正电圆环同心放置。带电圆环的带电量为Q，绕圆心作圆周运动，其角速度随时间t的变化关系如图乙所示(图中0、t1、t2为已知量)。线圈通过绝缘导线连接两根竖直的间距为l的光滑平行金属长导轨，两导轨间的矩形区域内存在垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁场的上下边界间距为h，磁感应强度大小恒为B。“工”字形构架由绝缘杆固连间距为H(Hh)的水平金属棒AB、CD组成，并与导轨紧密接触。初始时锁定“工”字形构架，使AB棒位于磁场内的上边沿，t1时刻解除锁定，t2时刻开始运动。已知“工”字形构架的质量为m，AB棒和CD棒离开磁场下边沿时的速度大小均为v，金属棒AB、CD和圆形线圈的电阻均为R，其余电阻不计，不考虑线圈的自感。求：(1)0-t1时间内，带电圆环的等效电流；(2)t1-t2时间内，圆形线圈磁通量变化率的大小，并判断带电圆环圆周运动方向(顺时针还是逆时针方向?)；(3)从0时刻到CD棒离开磁场的全过程AB棒上产生的焦耳热。【答案】(1)；(2) ，带电圆环圆周运动方向为逆时针方向；(3) 【解析】(1)由电流的定义式可知，；(2) t1-t2时间内， “工”字形构架处于平衡状态，由平衡条件可知，解得：由欧姆定律可知， 解得： 由AB棒处于平衡可知，AB棒中的电流方向由A到B，小圆形线圈中的电流方向为逆时针方向，由“楞次定律”中的增反减同可知，带电圆环圆周运动方向为逆时针方向；(3)由功能关系可知， 由电路特点可知， 由以上两式解得：8（2019届浙江省温州九校高三上学期10月第一次联考）如图所示，两条相互平行的光滑金属导轨，相距l=0.2m，左侧轨道的倾斜角=30，右侧轨道为圆弧线，轨道端点间接有电阻R=1.5，轨道中间部分水平，在MP、NQ间有宽度为d=0.8m，方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B随时间变化如图乙所示。一质量为m=10g、导轨间电阻为r=1.0的导体棒a从t=0时刻无初速释放，初始位置与水平轨道间的高度差H=0.8 m。另一与a棒完全相同的导体棒b静置于磁场外的水平轨道上，靠近磁场左边界PM。a棒下滑后平滑进入水平轨道（转角处无机械能损失），并与b棒发生碰撞而粘合在一起，此后作为一个整体运动。导体棒始终与导轨垂直并接触良好，轨道的电阻和电感不计。求：（1）导体棒进入磁场前，流过R的电流大小；（2）导体棒刚进入磁场瞬间受到的安培力大小；（3）导体棒最终静止的位置离PM的距离；（4）全过程电阻R上产生的焦耳热。【答案】（1）0.1A（2）0.04N（3）0.4m（4）0.042J【解析】(1)由法拉第电磁感应定律可知： 由闭合电路欧姆定律有：；(2)a棒滑到底端时的速度为，由动能定理有： 与b发生完全非弹性碰撞后的速度为 由动量守恒定律有： (3)导体棒直到静止，由动量定理有： 其中 s为导体棒在水平轨道上滑过的路程由以上各式解得s=2m，因此导体梆停在距离PM为0.4m处；(4)滑入磁场前有： 碰后有： 由以上各式解得： 9（2019届河南省滑县第一学期高三第二次联考）如图所示,半径为R的圆形导轨固定在水平面内,其圆心为O,ab为一条直径,b点处口。一根长度大于2R质量为m且质量分布均匀的直导体棒PQ置于圆导轨上的a点,且与ab直径垂直装置的俯视图如图所示整个装置位于一匀强磁场中磁感应强度的大小为B,方向竖直向下。T=0时刻,直导体棒在水平外力作用下以速度t匀速向右运动,在运动过程中始终与圆形导轨保持良好接触,并始终与ab垂直。设导体棒与导轨之间的动摩擦因数为,导体棒单位长度的电阻为,圆形导轨的电阻忽略不计。重力加速度大小为g。求(1)t时刻通过圆导轨的电流方向和大小(方向答“顺时针”或“逆时针”)(2)t时刻外力的功率和导体棒从a到b运动过程中外力的最大功率【答案】(1)通过圆导轨的方向为逆时针方向。 （2） ，【解析】(1)根据题意，设t时刻运动的位置如图所示，金属杆与圆导轨的交点分别为c、d，由右手定则可知，导体棒中感应电流的方向是从d端流向c端，电流只流经圆导轨的左侧部分，因此通过圆导轨的方向为逆时针方向。设t时刻导体棒切割磁感线的有效长度为L此时，导体棒接入电路的电阻为 感应电动势 E=BLv 由闭合回路欧姆定律，通过导轨的电流大小 求得 (2) 导体棒运动t时间，水平向右移动的距离为：时刻导体棒切割磁感线的有效长度为L：则或解得L与t的函数关系为 由（1）问知时刻导体棒切割磁感线产生的感应电流： 故时刻导体棒的安培力F由左手定则可知方向水平向左，大小为： 对式由数学知识可知，当，即时，外力的功率最大： 10（2019江苏省高级中学高三开学初学情检测）如图所示，线圈工件加工车间的传送带不停地水平传送长为L，质量为m，电阻为R的正方形线圈，在传送带的左端线圈无初速地放在以恒定速度v匀速运动的传送带上，经过一段时间，达到与传送带相同的速度v后，线圈与传送带始终相对静止，并通过一磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁场，已知当一个线圈刚好开始匀速度运动时，下一个线圈恰好放在传送带上，线圈匀速运动时，每两个线圈间保持距离L不变，匀强磁场的宽度为3L，求： (1)每个线圈通过磁场区域产生的热量Q。(2)在某个线圈加速的过程中，该线圈通过的距离S1和在这段时间里传送带通过的距离S2之比。(3)传送带每传送一个线圈，电动机多消耗的电能E（不考虑电动机自身的能耗）【答案】(1) (2) S1:S2=1:2 (3)E=mv2+2B2L3v/R【解析】(1)线圈匀速通过磁场，产生的感应电动势为E=BLv，则每个线圈通过磁场区域产生的热量为(2)对于线圈：做匀加速运动，则有S1=vt/2对于传送带做匀速直线运动，则有S2=vt故S1：S2=1：2 (3)线圈与传送带的相对位移大小为线圈获得动能EK=mv2/2=fS1传送带上的热量损失Q/=f(S2-S1）=mv2/2 送带每传送一个线圈，电动机多消耗的电能为E=EK+Q+Q/=mv2+2B2L3v/R
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