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习题课-二项式定理的应用A组1.已知(a+b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n等于()A.11B.10C.9D.8解析:只有第5项的二项式系数最大,+1=5.n=8.答案:D2.的展开式中x2y3的系数是()A.-20B.-5C.5D.20解析:由已知,得Tr+1=(-2y)r=(-2)rx5-ryr(0r5,rZ),令r=3,得T4=(-2)3x2y3=-20x2y3.故选A.答案:A3.使(nN+)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4B.5C.6D.7解析:由二项式的通项公式得Tr+1=3n-r,若展开式中含有常数项,则n-r=0,即n=r,所以n最小值为5.答案:B4.设函数f(x)=则当x0时,ff(x)表达式的展开式中常数项为()A.-20B.20C.-15D.15解析:当x0时,f(x)=-0,则ff(x)=.Tr+1=)6-r=(-1)r=(-1)rx3-r.令3-r=0,得r=3,此时T4=(-1)3=-20.答案:A5.已知21010+a(0a11)能被11整除,则实数a的值为.解析:根据题意,由于21010+a=2(11-1)10+a,由于21010+a(0a11)能被11整除,根据二项式定理展开式可知,2(11-1)10被11除的余数为2,从而可知2+a能被11整除,可知a=9.答案:96.若(2x-3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于.解析:在已知等式两边对x求导,得5(2x-3)42=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4,令x=1,得a1+2a2+3a3+4a4+5a5=5(21-3)42=10.答案:107.在(3x-2y)20的展开式中,系数绝对值最大的项为.解析:设系数绝对值最大的项是第r+1项,则所以r(n+2)(nN+,n2).证明因为nN+,且n2,所以3n=(2+1)n展开后至少有4项.(2+1)n=2n+2n-1+2+12n+n2n-1+2n+12n+n2n-1=(n+2)2n-1,故3n(n+2)2n-1(nN+,n2).10.求证:1+2+22+(nN+)能被31整除.证明1+2+22+=-1=32n-1=(31+1)n-1=31n+31n-1+31+-1=31(31n-1+31n-2+),显然31n-1+31n-2+为整数,原式能被31整除.B组1.若(x+y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x+y=1,xy1,即x的取值范围为(1,+).答案:D2.(2016湖北孝感高中高二上学期期中考试)2 0152 015除以8的余数为()A.1B.3C.5D.7解析:2 0152 015=(2 016-1)2 015=2 0162 015+2 0162 014(-1)1+(-1)2 015,倒数两项和为2 0152 016-1,其除以8的余数为7,因此2 0152 015除以8的余数是7.答案:D3.x8=a0+a1(x-1)+a8(x-1)8,则a7=.解析:x8=1+(x-1)8=(x-1)+(x-1)7+(x-1)8,a7=8.答案:84.(2x-1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为.解析:因为(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+a10x10,令x=1,得a0+a1+a2+a10=1,再令x=-1,得310=a0-a1+a2-a3+a10,两式相减,可得a1+a3+a9=.答案:5.设的展开式的常数项为a,则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为.解析:Tr+1=xr-3x2r=x3r-3,令r=1,得a=3,直线y=3x与曲线y=x2的交点坐标为(0,0)和(3,9),直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积S=(3x-x2)dx=.答案:6.导学号43944021设a0,n是大于1的自然数,的展开式为a0+a1x+a2x2+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=.解析:由题意得a1=3,n=3a;a2=4,n2-n=8a2.将n=3a代入n2-n=8a2得9a2-3a=8a2,即a2-3a=0,解得a=3或a=0(舍去).a=3.答案:37.求证:32n+2-8n-9(nN+)能被64整除.分析可将32n+2写成(8+1)n+1的形式,然后利用二项式定理展开,整理可得结果.证明32n+2-8n-9=(8+1)n+1-8n-9=8n+1+8n+82+8+-8n-9=8n+1+8n+82+(n+1)8+1-8n-9=8n+1+8n+82=64(8n-1+8n-2+),所以32n+2-8n-9(nN+)能被64整除.8.导学号43944022已知在二项式(axm+bxn)12中,a0,b0,mn0且2m+n=0.(1)如果在它的展开式中,系数最大的项是常数项,则它是第几项?(2)在(1)的条件下,求的取值范围.解(1)设Tk+1=(axm)12-k(bxn)k=a12-kbkxm(12-k)+nk为常数项,则有m(12-k)+nk=0,即m(12-k)-2mk=0.m0,k=4,它是第5项.(2)第5项是系数最大的项,由得,由得,.
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