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第二讲 参数方程复习课学习目标1.梳理知识要点，构建知识网络.2.进一步巩固对参数方程等相关概念的理解和认识.3.能综合应用极坐标、参数方程解决问题1参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数参数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数2常见曲线的参数方程(1)直线过定点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程的标准形式为 (t为参数)(2)圆圆x2y2r2的参数方程为(为参数)；圆(xa)2(yb)2r2的参数方程为(为参数)(3)椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆b2x2a2y2a2b2(ab0)的参数方程为(为参数)(4)双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线b2x2a2y2a2b2(a0，b0)的参数方程为(为参数)(5)抛物线抛物线y22px(p0)的参数方程为(为参数)或(t为参数)类型一参数方程化为普通方程例1把下列参数方程化为普通方程：(1)(为参数)；(2)(t为参数，a，b0)解(1)关于cos ，sin 的方程组变形得22cos2sin21，即5x24xy17y2810.(2)由解得22，得4，1(x0)反思与感悟参数方程化为普通方程的注意事项(1)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，由参数方程化为普通方程时需要考虑x的取值范围，注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定(2)消除参数的常用方法：代入消参法；三角消参法；根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段跟踪训练1判断方程(是参数且(0，)表示的曲线的形状解x2y2224，即x2y24，1.又(0，)，sin 0，xsin 2，当且仅当时等号成立，又ysin 0，曲线为等轴双曲线1在右支位于x轴下方的部分类型二参数方程的应用命题角度1直线参数方程的应用例2已知点P(3,2)平分抛物线y24x的一条弦AB，求弦AB的长解设弦AB所在的直线方程为(t为参数)，代入方程y24x整理，得t2sin24(sin cos )t80.点P(3,2)是弦AB的中点，由参数t的几何意义可知，方程的两个实根t1，t2满足关系t1t20.即sin cos 0.0，.|AB|t1t2|8.反思与感悟应用直线的参数方程求弦长要注意的问题(1)直线的参数方程应为标准形式(2)要注意直线倾斜角的取值范围(3)设直线上两点对应的参数分别为t1，t2.(4)套公式|t1t2|求弦长跟踪训练2直线l过点P0(4,0)，它的参数方程为(t为参数)，直线l与圆x2y27相交于A，B两点(1)求弦长|AB|；(2)过P0作圆的切线，求切线长解将直线l的参数方程代入圆的方程，得227，整理得t24t90.(1)设A和B两点对应的参数分别为t1和t2，由根与系数的关系，得t1t24，t1t29.故|AB|t2t1|2.(2)设圆过P0的切线为P0T，T在圆上，则|P0T|2|P0A|P0B|t1t2|9，切线长|P0T|3.命题角度2曲线参数方程的应用例3在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin2.(1)求曲线C与直线l在该直角坐标系下的普通方程；(2)动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P(1,1)，求|PB|AB|的最小值解(1)由曲线C的参数方程可得(x2)2y21，由直线l的极坐标方程为sin2，可得(sin cos )4，即xy4.(2)方法一设P关于直线l的对称点为Q(a，b)，故所以Q(3,5)，由(1)知曲线C为圆，圆心C(2,0)，半径r1，|PB|AB|QB|AB|QC|1.仅当Q，B，A，C四点共线时，且A在B，C之间时等号成立，故(|PB|AB|)min1.方法二如图，圆心C关于直线l的对称点为D(4,2)，连接PD，交直线l于点B，此时|PB|AB|有最小值，且|PB|AB|PB|BC|1|PB|BD|1|PD|11.反思与感悟(1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值的求法，常常利用对称性以及两点之间线段最短解决(2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题，常常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等跟踪训练3已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值解(1)曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|，则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.类型三极坐标与参数方程例4在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与圆C交于A，B两点，|AB|，求l的斜率解(1)由xcos ，ysin ，可得圆C的极坐标方程为212cos 110.(2)方法一在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程，得212cos 110.于是1212cos ，1211.|AB|12|.由|AB|，得cos2，tan .所以l的斜率为或.方法二把代入(x6)2y225，得t2(12cos )t110，设A，B对应的参数为t1，t2，所以t1t212cos ，t1t211.则|AB|t1t2|，所以cos2，所以tan .所以l的斜率为或.反思与感悟(1)极坐标与参数方程综合是高考的重点、热点(2)解决此类问题一般可以转化为直角坐标下求解当然也可以转化为极坐标下求解，关键是根据题目特点合理转化跟踪训练4在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为3cos2sin12.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，M为曲线C与y轴负半轴的交点，求四边形OMAB的面积解(1)由得所以22(cos t)2(sin t)21，所以曲线C的普通方程为1.在3cos 2sin 12中，由cos x，sin y，得3x2y120，所以直线l的直角坐标方程为3x2y120.(2)由(1)可得M(0，2)，联立方程易得A(4,0)，B(2,3)，所以四边形OMAB的面积为4(32)64.1曲线(为参数)的焦点坐标为()A(3,0) B(0，3)C(6,0) D(0，6)答案D解析曲线(为参数)的普通方程为1，这是焦点在y轴上的椭圆，c2a2b262，所以焦点坐标为(0，6)2椭圆的参数方程为(00，解得2b2.二、填空题7点(3,0)到直线(t为参数)的距离为_答案1解析直线的普通方程为x2y0，点(3,0)到直线的距离为d1.8已知P为椭圆4x2y24上的点，O为原点，则|OP|的取值范围是_答案1,2解析由4x2y24，得x21.令(为参数)，则|OP|2x2y2cos24sin213sin2.0sin21，113sin24，1|OP|2.9在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线(R)垂直，则直线的极坐标方程为_答案2sin1(或2cos1、cossin1)解析由题意可知在平面直角坐标系中，直线的斜率是，所求直线过点(1,0)，且斜率是，所以直线方程为y(x1)，化成极坐标方程为sin (cos 1)，化简得2sin1.10已知直线l的极坐标方程为2sin，点A的极坐标为，则点A到直线l的距离为_答案解析2sin，2(sin cos )，即sin cos 1，直线l的直角坐标方程为yx1，即xy10.点A的直角坐标为(2，2)，点A到直线l的距离d.三、解答题11已知x，y满足(x1)2(y2)24，求S3xy的最值解由(x1)2(y2)24可知，曲线表示以(1，2)为圆心，2为半径的圆令x12cos ，y22sin ，则S3xy3(12cos )(22sin )56cos 2sin 52sin()(其中tan 3)，所以，当sin()1时，S取得最大值52；当sin()1时，S取得最小值52.12已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数)(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围解(1)直线l的普通方程为2xy2a0，圆C的普通方程为x2y216.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心(0,0)到直线l的距离d4，解得2a2.即实数a的取值范围为2，213在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数，且00)，求点P到直线l距离的最大值解(1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cos ，4sin )，坐标原点为O(0,0)，设P的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式，得x(04cos )2cos ，y(04sin )2sin ，所以点P的坐标为(2cos ，2sin )，因此点P的轨迹的参数方程为(为参数，且02)，消去参数，得点P轨迹的直角坐标方程为x2y24.(2)由直角坐标与极坐标关系，得直线l的直角坐标方程为xy10.又点P的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0,0)到直线xy10的距离为，所以点P到直线l距离的最大值为2.四、探究与拓展14已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin24cos0(0,02)，则直线l与曲线C的公共点的极径_.答案解析直线l的普通方程为yx1，曲线C的直角坐标方程为y24x，联立两方程解得所以公共点为(1,2)，所以公共点的极径为.15设飞机以v150m/s的速度水平匀速飞行，若在飞行高度h588m处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度)(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标解(1)如图所示，A为投弹点，坐标为(0,588)，B为目标，坐标为(x0,0)记炸弹飞行的时间为t，在A点t0.设M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t，炸弹初速度v0150 m/s，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得(g9.8 m/s2)，即所以炸弹离开飞机后的轨迹方程为(0t2)(2)炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程y0，即5884.9t0，解得t02 s.将t02代入x150t中，得x0300 m.即飞机在离目标300 m(水平距离)处投弹才能命中目标
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