福建省晋江市养正中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理.doc

2017 2018 年下学期养正中学高二数学 理科 期中考试卷 班 级 姓 名 座 号 分 数 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 设复数 z 满足 则 1 z 等于 1 i A 0 B 1 C D 22 2 已知随机变量 X 服从二项分布 B n p 若 E X 30 D X 20 则 n p 分别等于 A n 45 p B n 45 p C n 90 p D n 90 p 2331323 3 线性回归方程对应的直线 至少经过其样本数据点 ybxa 中的一个点 12 nxyx 若两个变量的线性相关性越强 则相关系数的绝对值越接近于 1 在某项测量中 测量结果 服从正态分布 若 位于区域 内的概 21 N 0 0 1 率为 则 位于区域 内的概率为 0 4 0 20 8 对分类变量 与 的随机变量 K2的观测值 k 来说 k 越小 判断 与 有关系 的把XYXY 握越大 其中真命题的序号为 A B C D 4 九章算术 勾股章有一问题 今有立木 系索其末 委地三尺 引索却行 去本八尺而索 尽 问索长几何 其意思是 现有一竖立着的木柱 在木柱的上端系有绳索 绳索从木柱上 端顺木柱下垂后 堆在地面的部分尚有 3 尺 牵着绳索退行 在离木柱根部 8 尺处时绳索用 尽 现从该绳索上任取一点 该点取自木柱上绳索的概率为 A B C D 5731858 5 已知 若 是真命题 则实数 的取值2 R 0pxxa 2aq pq a 范围是 A B C D 1 3 1 13 6 盒子里共有 个除了颜色外完全相同的球 其中有 个红球 个白球 从盒子中任取 个7433 球 则恰好取到 个红球 个白球的概率为 21 A B C D 4358356 7 已知点 为椭圆 上一点 是椭圆 的两个焦点 nPC 0 12 bayx 21 FC 如 的内切圆的直径为 3 则此椭圆的离心率为 21F A B C D 75554 8 如图所示 在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P 则点 P 恰好取自阴影部分的概率为 A B C D 145167 9 已知直线 与双曲线 的右支有ykx 24xy 两个交点 则 的k 取值范围为 A B C D 5 0 25 1 25 2 5 1 2 10 求 方程 的解 有如下解题思路 设函数 则23logl0 x 3loglfxx 函数 在 上单调递增 且 所以原方程有唯一解 类比上述解题 f0 10f 1 思路 方程 的解集为 514x A B C D 2 3 11 某单位现需要将 先进个人 业务精英 道德模范 新长征突击手 年度优秀员工 5种荣誉分配给3个人 且每个人至少获得一种荣誉 五种荣誉中 道德模 范 与 新长征突击手 不能分给同一个人 则不同的分配方法共有 A 114 种 B 150 种 C 120 种 D 118 种 12 已知 为函数 的导函数 当 是斜率为 k 的直线的倾斜角时 xf xfy 2 0 x 若不等式 恒成立 则 0 k A B C D 4 32 f 6 21sin ff 0 4 62 ff06 二 填空题 每题 4 分 满分 20 分 将答案填在答题纸上 13 在极坐标系中 过点 2 且与极轴平行的直线的极坐标方程是 2 14 二项式 的展开式中所有项的二项式系数之和是 则展开式中的常数项为 1 nx 64 15 某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩 单位 分 服从正态分布 X 210 N 从中抽取一个同学的数学成绩 记该同学的成绩 为事件 记该同学的成绩 901 A 为事件 则在 事件发生的条件下 事件发生的概率 结801 BAB PB 果用分数表示 附 满足 X0 68X 22 0 95PX 33 0 9P 21 16 的 取 值 范 围 是恒 成 立 则 实 数不 等 式对 于 任 意 实 数 aaxx 三 解答题 本大题共 6 题 共 70 分 解答应写出 文 字说明 证明过程或演算步骤 17 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 21 fxaxR 1 当 时 解不等式 a 5fx 2 若 对于 恒成立 求实数 的取值范围 2fx R a 18 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中 过点 P 1 2 的直线 的参数方程为 为参数 以原l tyx231 点 O 为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C 的极坐标方程为 sin4 1 求直线 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程 2 若直线 与曲线 C 相交于 M N 两点 求 的值 l 1 PN 19 如图所示 已知三棱锥 中 底面 是等ABCP 边三 角形 且 分别是2 PAED P 的中点 1 证明 平面 2 若 6 求二 面角 的余弦值 CB 20 伴随着智能手机的深入普及 支付形式日渐多样化 打破了传统支付的局限性和壁垒 有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系 某调研机构随机抽取了50人 对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计 如下表 1 若以 年龄55岁为分界点 由以上统计数据完成下面的 列联表 并判断是否有2 的把握认为 使用手机支付 与人的年龄有关 9 2 若从年龄在 内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查 记选中的 65 7 4人中 使用手机支付 的人数为 求随机变量 的分布列 求随机变量 的数学期望 参考数据如下 02kKP 0 05 0 010 0 001 3 841 6 635 10 828 参考格式 其中 22 dbcabn dcban 21 已知点 过点 作与 轴平行的直线 点 为动点 在直线 上的投影 1 0 A1 0Dx1lBM1l 且满足 BM 1 求动点 的轨迹 的方程 C 2 已知点 为曲线 上的一点 且曲线 在点 处的切线为 若 与直线 相交于点PCP2l1l 试探究在 轴上是否存在点 使得以 为直径的圆恒过点 若存在 求出点QyNPQN 的坐标 若不存在 说明理由 N 22 已知函数 xfln 1 若函数 试研究函数 的极值情况 0 2 2 axafg xg 2 记函数 在区间 内的零点为 记 若xefxF 10 min xef 在区间 内有两个不等实根 证明 Rnxm 1 21x 021 2017 2018 年 下 学 期 养 正 中 学 高 二 数 学 理 科 期 中 考 试 卷 答 案 1 5 C C DA C 6 10 B C C D D 11 12 A B 13 1514 14 答案 15 sin2 2795 3 16 17 1 1 2 或 1a 32 1 时 不等式为 等价于a 5x 或 或 215xt 1 2x 2 15x 解得 或 或 x 3 不等式的解集是 3x 2 由绝对值的三角不等式得 2121xaxax 对于 恒成立 fx xR 解得 或 实数 的取值范围为 21a 12a3 a3 2 18 1 由已知得 消去 得 化为一般方程为 即 曲线 得 即 整理得 即 19 1 连接 因为 底面 是等边三角形 PDACPB B 又因为 是 的中点 所以 又因为 所以 平面ABD DPC AB CE 2 因为 由 1 可知 而 2 P3 P6 所以 D 以 为原点 以 的方向为 轴正方向建立空间直角坐标系 如图所示 Bx 则 由题得平面 的一 0 1 A 0 3 C 3 PABP 个法向量为 m 设平面 的一个法向量为 所以 即BP zyxn 0nPCB 03zyx 令 得 所以 1 z1 3yx1 3 所以 由题意知二面角 为锐角 所以二面角5 cos nmBA 的余弦值为 CPBA 20 1 列联表如下 2 的观测值 2K635 24 9153401 78 5 k 所以有 的把握认为 使用手机支付 与人的年龄有关 9 2 由题意 可知 所有可能取值有 0 1 2 3 509 0 2453 CP 251 4253425 CP 13 25413254 2514 所以 的分布列是 56213025109 E 21 1 设 由题得 又 yxM xB A 1 yxM 由 得 即 ABB 0 AB 轨迹 的方程为 y4 2 2 C42 2 设点 由 得 直线 0 nN 0 xP21xxy1 021 02xykxl 的方程为 令 可得 点的坐标为2l 24 00 xy y002xx Q 1 0 x 4 220nxNQP 0241 20 nx 要使方程 对 恒成立 则必有 解得 Rx 0 021n1n 即在 轴上存在点 使得以 为直径的圆恒过点 其坐标为 yNPQN 0 22 1 由题意 得 故 1ln xf 1ln 2 xaxg 故 令 得aaxg22 0 gx 1 当 时 0 21 a 或 xxg axxg120 所以 在 处取极大值 在 处取极小值 ln4 a agln1 当 时 恒成立 所以不存在极值 2a1 x 当 时 或 axg10 2 20 xax 所以 在 处取极大值 在 处取极小值 xga ln ln4 1 g 综上 当 时 在 处取极大值 在 处取极小值20 x2l4x 当 时 不存在极值 时 在 处取极大值 在aln1 a gaal 处取极小值 2 xln4 a 2 定义域为 xeFl 0 x 而 故 即 在区间 内单调递增x1 2 F x 2 1 又 0 1 eln e 且 在区间 内的图象连续不断 xF2 故根据零点存在性定理 有 在区间 内有且仅有唯一零点 xF 2 1 所以存在 使得 1 0 x 000 xef 且当 时 xef 当 时 0 x 所以 0 1ln xexm 当 时 01 l 由 得 单调递增 ln xm 当 时 0 x xe 由 得 单调递减 1 xm 若 在区间 内有两个不等实根 n 21 x21 则 1 020 xx 要证 即证 102x 又 而 在区间 内单调递减 010 x m 故可证 12 又由 1x 即证 10m 即 1021lnxex 记 其中0 0 xh 0 h 记 则 te te 当 时 1 0 t t 当 时 故 0 et1 max 而 故 而 t et120 所以 210 xe 因此 1ln 0022 eexhx 即 单调递增 故当 时 x1 0 h 即 故 得证 1021lnxex 021x