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43.3三次函数的性质：单调区间和极值读教材填要点1三次函数的性质：单调区间和极值设F(x)ax3bx2cxd(a0)，则F(x)3ax22bxc是二次函数(1)函数F(x)没有零点，F(x)在(，)上不变号，则：若a0，则F(x)恒正，F(x)在(，)上递增；若a0，则F(x)恒负，F(x)在(，)上递减(2)函数F(x)有一个零点xw，则：若a0，则F(x)在(，w)(w，)上恒正，F(x)在(，)上递增；若a0，则F(x)在(，w)(w，)上恒负，F(x)在(，)上递减(3)函数F(x)有两个零点，xu和xv，设uv，则：若a0，则F(x)在(，u)和(v，)上为正，在(u，v)上为负；对应地，F(x)在(，u)上递增，在(u，v)上递减，在(v，)上递增可见F(x)在xu处取极大值，在xv处取极小值若a0，则F(x)在(，u)和(v，)上为负，在(u，v)上为正；对应地，F(x)在(，u)上递减，在(u，v)上递增，在(v，)上递减可见F(x)在xu处取极小值，在xv处取极大值2求函数yf(x)在a，b上的最值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值小问题大思维1根据三次函数的性质能否画出其图象草图？提示：根据三次函数的单调性、极值，可以画出2在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在a，b上一定存在最值和极值吗？在区间(a，b)上呢？提示：一定有最值，但不一定有极值如果函数f(x)在a，b上是单调的，此时f(x)在a，b上无极值；如果f(x)在a，b上不是单调函数，则f(x)在a，b上有极值当f(x)在(a，b)上为单调函数时，它既没有最值也没有极值三次函数性质的确定与应用 设函数f(x)x36x5，xR.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)a有三个不同实根，求实数a的取值范围；(3)已知当x(1，)时，f(x)k(x1)恒成立，求实数k的取值范围自主解答(1)f(x)3x26，令f(x)0，解得x1，x2，当x或x时，f(x)0；当x时，f(x)0.f(x)的单调递增区间为(，)和(，)；f(x)的单调递减区间为(，)当x时，f(x)有极大值54；当x时，f(x)有极小值54.(2)由(1)知，函数yf(x)的图象大致形状如图所示，当54a54时，直线ya与yf(x)的图象有三个不同交点，即方程f(x)a有三个不同的解实数a的取值范围是(54，54)(3)f(x)k(x1)，即(x1)(x2x5)k(x1)x1，kx2x5在(1，)上恒成立令g(x)x2x5，g(x)在(1，)上是增函数，g(x)g(1)3.k的取值范围是(，31求三次函数的单调区间与极值的问题，求导后转化为一元二次方程及一元二次不等式的求解问题去解决2解决不等式恒成立问题，大多可用函数的观点来审视，用函数的有关性质来处理，而导数是研究函数性质的有力工具，因而常将不等式f(x)g(x)(f(x)0(F(x)f(x)g(x)恒成立，求c的取值范围解：(1)f(x)3x22axb.由题意，得即解得(2)由(1)知f(x)3x23x63(x2)(x1)令f(x)0，得x2或x1.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表所示：x3(3，2)2(2,1)1(1,2)2f(x)00f(x)c极大值c10极小值c2cf(x)在3,2上的最小值为c.即.即c的取值范围为.求函数的最值 求下列各函数的最值(1)f(x)x42x23，x3,2；(2)f(x)x33x26x2，x1,1自主解答(1)f(x)4x34x，令f(x)4x(x1)(x1)0，得x1或x0或x1.当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：x3(3，1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2f(x)000f(x)60极大值4极小值3极大值45当x3时，f(x)取最小值60；当x1或x1时，f(x)取最大值4.(2)f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23，f(x)在1,1内恒大于0，f(x)在1,1上为增函数故x1时，f(x)最小值12；x1时，f(x)最大值2.即f(x)的最小值为12，最大值为2.求函数最值的4个步骤注意求函数最值时不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较2已知函数f(x)x3ax2bxc，曲线yf(x)在点x1处的切线为l：3xy10，若x时，yf(x)有极值(1)求a，b，c的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值解：(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.当x1时，切线l的斜率为3，可得2ab0， 当x时，yf(x)有极值，则f0，可得4a3b40， 由，解得a2，b4.由于切点的横坐标为1，所以f(1)4.所以1abc4，得c5.(2)由(1)可得f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，解得x12，x2.当x变化时，f(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：x3(3，2)21f(x)00f(x)8134所以yf(x)在3,1上的最大值为13，最小值为.已知函数的最值求参数已知函数f(x)ax36ax2b在1,2上有最大值3，最小值29，求a，b的值自主解答依题意，显然a0.因为f(x)3ax212ax3ax(x4)，x1,2，所以令f(x)0，解得x10，x24(舍去)(1)若a0，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7ab极大值b16ab由上表知，当x0时，f(x)取得最大值，所以f(0)b3.又f(2)16a3，f(1)7a3，故f(1)f(2)，所以当x2时，f(x)取得最小值即16a329，a2.(2)若af(1)所以当x2时，f(x)取得最大值即16a293，a2.综上所述，所求a，b的值为或由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而求出参数的值，这也是方程思想的应用3已知函数f(x)2x36x2a在2,2上有最小值37，求a的值，并求f(x)在2,2上的最大值解：f(x)6x212x6x(x2)，由f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x2(2,0)0(0,2)2f(x)00f(x)40a极大值a8a当x2时，f(x)min40a37，得a3.当x0时，f(x)最大值是3.设f(x)(x33x)，讨论关于x的方程f(x)m0的解的个数情况巧思判断三次函数f(x)的单调性并求得极值，画出其草图，将方程解的个数转化为两个函数图象的交点个数问题妙解f(x)(3x23)(x1)(x1)，令f(x)0得x1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况列表如下：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值画出f(x)(x33x)的草图，如图所示：方程f(x)m0的解的情况如下：(1)当m或m时，方程f(x)m0有一个解；(2)当m或m时，方程f(x)m0有两个解；(3)当m时，方程f(x)m0有三个解1函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图，|x1|x2|，则有()Aa0，b0，c0，d0Ba0，b0，c0，d0Ca0，b0，c0，d0Da0，b0，c0，d0解析：由f(x)图象可得f(0)d0.f(x)3ax22bxc，由题意知，f(x)的图象如图a0，c0，0b0.答案：C2函数y2x33x212x5在2,1上的最大值、最小值分别是()A12，8B1，8C12，15 D5，16解析：y6x26x12，由y0x1或x2(舍去)x2时，y1；x1时，y12；x1时，y8. ymax12，ymin8.故选A.答案：A3函数f(x)x33x(|x|1)()A有最大值，但无最小值 B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值 D既无最大值，也无最小值解析：f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f(x)0，所以f(x)在(1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值答案：D4已知函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_解析：f(x)3x26ax3(a2)，因为函数f(x)既有极大值又有极小值，所以方程f(x)0有两个不等根，36a2433(a2)0，解得a1或a2.答案：(，1)(2，)5若函数f(x)x33xa在区间0,3上的最大值、最小值分别为m，n，则mn_.解析：f(x)3x23，当x1或x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0.f(x)在0,1上单调递减，在1,3上单调递增f(x)minf(1)13a2an.又f(0)a，f(3)18a，f(0)f(3)f(x)maxf(3)18am，mn18a(2a)20.答案：206已知a为实数，f(x)(x24)(xa)(1)求导数f(x)；(2)若f(1)0，求f(x)在 2,2上的最大值和最小值；(3)若f(x)在(x，2和2，)上都是递增的，求a的取值范围解：(1)f(x)x3ax24x4a，则f(x)3x22ax4.(2)由f(1)0，得a，此时有f(x)(x24)，f(x)3x2x4.由f(x)0，得x或x1.又f，f(1)，f(2)0，f(2)0.f(x)在2,2上的最大值为，最小值为.(3)f(x)3x22ax4的图象为开口向上且过(0，4)的抛物线，由条件得f(2)0，f(2)0.即2a2，即a的取值范围是2,2一、选择题1函数yf(x)在a，b上()A极大值一定比极小值大B极大值一定是最大值C最大值一定是极大值D最大值一定大于极小值解析：由最值与极值的概念可知，D选项正确答案：D2若函数f(x)x33x29xk在区间4,4上的最大值为10，则其最小值为()A10 B71C15 D22解析：f(x)3x26x93(x3)(x1)由f(x)0，得x3或x1.又f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20.由f(x)maxk510，得k5，f(x)mink7671.答案：B3已知函数f(x)2x3ax236x24在x2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A(2,3) B(3，)C(2，) D(，3)解析：f(x)6x22ax36，由题意得f(2)244a360.a15.f(x)6x230x366(x2)(x3)，易知在(3，)上是递增的答案：B4若x2与x4是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点，则有()Aa2，b4 Ba3，b24Ca1，b3 Da2，b4解析：f(x)3x22axb，依题意有2和4是方程3x22axb0的两个根，所以有24，24，解得a3，b24.答案：B二、填空题5已知yx3bx2(b2)x3在R上不是单调增函数，则b的取值范围为_解析：若yx22bxb20恒成立，则4b24(b2)0，1b2.由题意可知b1或b2.答案：(，1)(2，)6函数f(x)x23x4在0,2上的最小值是_解析：f(x)x22x3，令f(x)0，得x1(x3舍去)，又f(0)4，f(1)，f(2)，故f(x)在0,2上的最小值是f(1).答案：7已知函数f(x)x33mx2nxm2在x1时有极值0，则mn_.解析：f(x)3x26mxn，由已知可得或当时，f(x)3x26x33(x1)20恒成立与x1是极值点矛盾，当时，f(x)3x212x93(x1)(x3)，显然x1是极值点，符合题意，mn11.答案：118已知函数f(x)x22x3在区间a,2上的最大值为，则a_.解析：f(x)2x2，令f(x)0，得x1，函数在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减若a1，则最大值为f(a)a22a3，解得a；若a1，则最大值为f(1)1234.综上知，a.答案：三、解答题9已知函数f(x)x3ax2bx5，曲线yf(x)在点P(1，f(1)处的切线方程为y 3x1.(1)求a，b的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值解：(1)依题意可知点P(1，f(1)为切点，代入切线方程y3x1可得，f(1)3114，f(1)1ab54，即ab2，又由f(x)x3ax2bx5得，又f(x)3x22axb，而由切线y3x1的斜率可知f(1)3，32ab3，即2ab0，由解得a2，b4.(2)由(1)知f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4(3x2)(x2)，令f(x)0，得x或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x3(3，2)21f(x)00f(x)8极大值极小值4f(x)的极大值为f(2)13，极小值为f，又f(3)8，f(1)4，f(x)在3,1上的最大值为13.10设函数f(x)x3ax2x1，aR.(1)若x1时，函数f(x)取得极值，求函数f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若函数f(x)在区间内不单调，求实数a的取值范围解：(1)f(x)3x22ax1，由f(1)0，得a2，f(x)x32x2x1，当x1时，y3，即切点为(1，3)，kf(x0)3x4x01，令x01，得k8，切线方程为8xy50.(2)f(x)在区间内不单调，即f(x)0在有解，3x22ax10,2ax3x21，x，2a3x，令h(x)3x，则h(x)3，由h(x)0，得x；由h(x)0，得x1，所以h(x)在上单调递减，在上单调递增，h(1)h(x)h，即h(x)(4，2，42a2，即2a，而当a时，f(x)3x22x1(x1)20，不符合题意舍去，综上，a的取值范围为(2，)
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