高等数学级数的概念和敛散性.ppt

重 难点 重点 级数的相关概念 由数列知识引出 难点 正确判断级数的敛散性 由实例讲解方法 授课时数 总时数 4学时 学习目标 1 知道级数的相关概念和性质 2 会用比较审敛法和比值审敛法判断正项级数的敛散性 3 会判断交错级数和一般级数的敛散性 1 计算圆的面积 正六边形的面积 正十二边形的面积 正形的面积 一 问题的提出 1 级数的定义 一般项 3 级数的分类 2 级数的部分和 记作 二 级数的概念 上述数列中 1 2 是数项级数 3 4 是函数项级数 4 级数的收敛与发散 解 例1 判别级数 的敛散性 解 例2 判别无穷级数 的敛散性 解 例3 讨论等比级数 的敛散性 收敛 发散 发散 发散 综上知 等比级数 几何级数 注意 可以用 2 来快速判断级数的发散 三 基本性质 结论 级数的每一项同乘一个不为零的常数 敛散 结论 收敛级数可以逐项相加与逐项相减 性不变 1 定义 级数称为正项级数 2 比较审敛法 四 正项级数及其审敛法 使用比较审敛法常用的三个结论 解 例4 判断下列级数的敛散性 解 例4 判断下列级数的敛散性 小结 1 级数的概念 2 级数的部分和 3 级数的收敛与发散 4 级数的基本性质 5 正项级数的概念 6 正项级数的比较审敛法 练习题 3 比较审敛法的极限形式 4 极限审敛法 解 原级数发散 例5 判断下列级数的敛散性 原级数收敛 例5 判断下列级数的敛散性 解 5 比值审敛法 达朗贝尔D Alembert判别法 比值审敛法的优点 不必找参考级数 两点注意 解 例6 判断下列级数的敛散性 解 例6 判断下列级数的敛散性 比值审敛法失效 改用比较审敛法 例6 判断下列级数的敛散性 解 例6 判断下列级数的敛散性 解 故该级数收敛 6 根值审敛法 柯西判别法 定义 正 负项相间的级数称为交错级数 五 交错级数及其审敛法 解 故原级数收敛 例7 判断下列级数的敛散性 解 故原级数收敛 例7 判断下列级数的敛散性 定义1 正 负项任意出现的级数称为任意项级数 定理的作用 任意项级数 正项级数 六 绝对收敛与条件收敛 解 故由定理知原级数绝对收敛 即原级数收敛 例8 判断下列级数的敛散性 解 故由定理知原级数绝对收敛 即原级数收敛 例8 判断下列级数的敛散性 解 级数 故原级数条件收敛 例8 判断下列级数的敛散性 小结 思考题 思考题解答 由比较审敛法知收敛 反之不成立 例如 收敛 发散 练习题 发散 收敛 通过本课题学习 学生应该达到 1 会用比较审敛法和比值审敛法判断正项级数的敛散性 2 会判断交错级数和一般级数的敛散性 一 P120习题8 1 二 P122习题8 2 授课小结 课后练习