2018-2019学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.6.1 垂直关系的判定训练案 北师大版必修2.doc

1.6.1 垂直关系的判定A.基础达标1垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()A垂直B斜交C平行 D不能确定解析：选A.梯形的两腰所在的直线相交，根据线面垂直的判定定理可知选项A正确2下列结论正确的是()A若直线a平面，直线ba，b平面，则B若直线a直线b，a平面，b平面，则C过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直D过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直解析：选B.A选项中满足条件的平面与平面可能垂直，也可能平行或斜交，故A错；C选项中当平面外的直线与平面垂直时，过该直线有无数个平面与已知平面垂直，故C错；过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直，故D错3.如图，已知正方形ABCD所在平面外有一点M，如果MC平面ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是()A平行B垂直相交C垂直异面 D相交但不垂直解析：选C.因为MC平面ABCD，BD平面ABCD，所以MCBD.又BDAC，ACMCC且AC，MC在平面ACM内，所以BD平面ACM.又AM平面ACM，所以BDMA，但BD与MA不相交4长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，CC1，则二面角C1BDC的大小为()A30 B45C60 D90解析：选A.如图，连接AC交BD于O，连接C1O.因为ABAD，所以底面为正方形，所以ACBD.又因为BCCD，所以C1DC1B，O为BD的中点，所以C1OBD.所以C1OC就是二面角C1BDC的平面角则在C1OC中，CC1，CO ，tanC1OC，所以C1OC30.5.如图，BC是RtABC的斜边，过A作ABC所在平面的垂线AP，连接PB，PC，过A作ADBC于点D，连接PD，那么图中直角三角形的个数是()A4 B6C7 D8解析：选D.容易证得PABC，又ADBC，PAADA，所以BC平面PAD，从而图中：ABC，PAB，PAC，PAD，ABD，ACD，PBD，PCD均为直角三角形共有8个6已知PA垂直于ABCD所在平面，若PCBD，则ABCD的形状是_解析：因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.又因为PCBD，PAPCP，所以BD平面PAC，所以BDAC，所以ABCD一定是菱形答案：菱形7如图，已知AB平面BCD，BCCD，则图中互相垂直的平面共有_对解析：因为AB平面BCD，所以平面ABD平面BCD，平面ABC平面BCD，又因为BCCD，ABCD，ABBCB，所以DC平面ABC，所以平面ADC平面ABC.故共有3对答案：38如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么给出下面四个结论：AH平面EFH；AG平面EFH；HF平面AEF；HG平面AEF.其中正确命题的序号是_解析：在这个空间图形中，AHHF，AHHE，HFHEH，所以AH平面EFH.答案：9如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1DB1C1.求证：(1)EF平面ABC.(2)平面A1FD平面BB1C1C.证明：(1)由E，F分别是A1B，A1C的中点知EFBC.因为EF 平面ABC，BC平面ABC.所以EF平面ABC.(2)由三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱知CC1平面A1B1C1.又A1D平面A1B1C1，故CC1A1D.又因为A1DB1C1，CC1B1C1C1，故A1D平面BB1C1C，又A1D平面A1FD，所以平面A1FD平面BB1C1C.10在ABC中，BAC60，P是ABC所在平面外一点，PAPBPC，APBAPC90.(1)求证：PB平面PAC.(2)若H是ABC的重心，求证：PH平面ABC.证明：(1)如图，由题设易得ABAC，因为BAC60，所以ABC为等边三角形，所以ABBC.因为PAPBPC，所以PABPBC，所以BPCAPB90，即PBPC.又PBPA，PAPCP，所以PB平面PAC.(2)取BC的中点D，因为PBPC，所以PDBC.同理可得ADBC，PDADD，所以BC平面PAD.因为AD是ABC的边BC上的中线，所以ABC的重心H在AD上，所以BCPH，同理可得ABPH.又ABBCB，所以PH平面ABC.B.能力提升1.如图，已知四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，则图中所有互相垂直的平面共有()A8对 B7对C6对 D5对解析：选B.由PA平面ABCD可得平面PAB平面ABCD，平面PAD平面ABCD，平面PAC平面ABCD.又ABCD为正方形，CDAD，因为PACD，PAADA，所以CD平面PAD，所以平面PCD平面PAD，平面PAB平面PAD.同理可得，平面PBC平面PAB，平面PAC平面PBD.共7对2.如图，在三棱锥PABC中，已知PCBC，PCAC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()A平面EFG平面PBCB平面EFG平面ABCCBPC是直线EF与直线PC所成的角DFEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角解析：选D.由已知PCBC，PCAC，又ACBCC，所以PC平面ABC.又FGPC，所以FG平面ABC.又FG平面EFG，所以平面EFG平面ABC，故B正确因为FGPC，GEBC，所以平面EFG平面PBC.故A正确由异面直线所成角的定义知C正确故选D.3已知点O为三棱锥PABC的顶点P在平面ABC内的投影，若PAPBPC，则O为ABC的_心；若PABC，PBAC，则O为ABC的_心；若P到三边AB，BC，CA的距离都相等且点O在ABC的内部，则O为ABC的_心解析：连接OA，OB，OC，由PAPBPC，所以OAOBOC，O是ABC的外心若PABC，又PO平面ABC，所以BCPO.所以BC平面PAO.所以BCAO.同理ACOB.所以O是ABC的垂心若P到AB，BC边的距离相等，则易知O到AB，BC边的距离也相等，从而可判定O是ABC的内心答案：外垂内4.如图正方体ABCDA1B1C1D1，点P在面对角线BC1上运动，则下列四个命题：三棱锥AD1PC的体积不变；A1P面ACD1；DPBC1；面PDB1面ACD1.其中正确的命题的序号是_(写出所有你认为正确结论的序号)解析：对于，容易证明AD1BC1，从而BC1平面AD1C，故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥AD1PC的体积不变，正确；对于，连接A1B，A1C1，容易证明A1C1AC且相等，由知，AD1BC1，所以BA1C1平面ACD1，从而由线面平行的定义可得，正确；对于，由于DC平面BCC1B1，所以DCBC1，若DPBC1，则DC与DP重合，与条件矛盾，错误；对于，连接DB1，容易证明DB1平面ACD1，从而由面面垂直的判定定理知，正确答案：5已知RtABC，斜边BC，点A，AO，O为垂足，ABO30，ACO45，求二面角ABCO的大小解：如图，在平面内，过O作ODBC，垂足为D，连接AD.因为AO，BC，所以AOBC.又因为AOODO，所以BC平面AOD.而AD平面AOD，所以ADBC.所以ADO是二面角ABCO的平面角由AO，OB，OC，知AOOB，AOOC.又ABO30，ACO45，所以设AOa，则ACa，AB2a.在RtABC中，BAC90，所以BCa，所以ADa.在RtAOD中，sinADO.所以ADO60，即二面角ABCO的大小是60.6(选做题)如图，在直角梯形ABCD中，BADADC90，ABCD，PD平面ABCD，ABADa，PDa.(1)求证：平面PAB平面PAD；(2)设M为PB的中点，当CD2AB时，求证：DMMC.证明：(1)因为BAD90，所以ABAD.又PD平面ABCD，AB平面ABCD，所以PDAB.因为PDADD，所以AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)连接BD，因为BAD90，ABADa，所以BDa，所以PDBD，BDA45.又M为PB的中点，所以DMPB.取CD的中点为N，连接BN，则DNAB，且DNAB，所以BNAD，故BNCD，因为CD2AB，ABAD，所以CNBN，即CBN45，所以CBD90CBBD.PD平面ABCDPDBC，因为PDBDD，所以BC平面PBD.因为DM平面PBD，所以BCDM.由，因为PBBCB，所以DM平面PBC.而CM平面PBC，所以DMMC.