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2.1.3推理案例赏析学习目标1.进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系，利用合情推理和演绎推理进行简单的推理.2.掌握两种推理形式的具体格式知识点合情推理与演绎推理思考1合情推理的结论不一定正确，我们为什么还要学习合情推理？答案合情推理是富于创造性的或然推理在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用思考2“演绎推理是由一般到特殊的推理，因此演绎推理所得结论一定正确”，这种说法对吗？答案不对，演绎推理只有在大、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论才一定正确梳理合情推理与演绎推理的比较合情推理演绎推理归纳推理类比推理推理形式由部分到整体，由特殊到一般由特殊到特殊一般到特殊结论不一定正确，有待证明在大、小前提和推理形式都正确的前提下，结论一定正确作用猜测和发现结论，探索和提供证明思路证明数学结论，建立数学体系的重要思维过程联系合情推理的的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的1演绎推理的一般模式是“三段论”的形式()2演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关()3演绎推理是由一般到特殊的推理，归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理()类型一归纳推理的应用例1观察如图所示的“三角数阵”：记第n行的第2个数为an(n2，nN*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为_、_、_、_、_、_；(2)a2_，a3_，a4_，a5_；(3)an1an_.答案(1)6162525166(2)24711(3)n(n2，nN*)反思与感悟对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解跟踪训练1下列四个图形中，阴影三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为_答案an3n1(nN*)解析a1130，a2331，a3932，a42733，由此猜想an3n1(nN*)类型二类比推理的应用例2通过计算可得下列等式：2313312311；3323322321；4333332331；(n1)3n33n23n1.将以上各等式两边分别相加，得(n1)3133(1222n2)3(123n)n，即122232n2n(n1)(2n1)(nN*)类比上述求法，请你求出132333n3的值解2414413612411；3424423622421；4434433632431；(n1)4n44n36n24n1.将以上各式两边分别相加，得(n1)4144(1323n3)6(1222n2)4(12n)n，1323n3n2(n1)2(nN*)反思与感悟(1)解答类比推理的应用题的关键在于弄清原题解题的方法，将所要求值的式子与原题的条件相类比，从而产生解题方法上的迁移(2)解答类比推理的应用问题要先弄清两类对象之间的类比关系及其差别，然后进行推测或证明跟踪训练2已知在RtABC中，ABAC，ADBC于D，有成立那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确，并给出理由考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比解类比ABAC，ADBC，可以猜想在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE平面BCD，则.猜想正确理由如下：如图所示，连结BE，并延长交CD于F，连结AF.ABAC，ABAD，ACADA，AB平面ACD.而AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.，故猜想正确类型三演绎推理的综合应用例3已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆1(ab0)上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值，试对双曲线1(a0，b0)写出类似的性质，并加以证明解类似性质：若M，N是双曲线1(a0，b0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值证明：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则点N的坐标为(m，n)因为点M(m，n)在已知双曲线上，所以n2m2b2，同理y2x2b2.则kPMkPN(定值)故kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值反思与感悟合情推理是提出猜想、提供解题的思路，而演绎推理则是证明猜想、判断猜想的正确性，通过合情推理得到的猜想缺少证明过程，是不完整的，平时解题都是二者的结合跟踪训练3已知an为等差数列，首项a11，公差d0，n1且nN*.求证：lgan1lgan10，an1an1(and)(and)ad21，d0，ana1(n1)d1.lgan0.lgan1lgan1222(lgan)2，即lgan1lgan10(iN*)，有下列不等式成立，x1x22；x1x2x33，类比上述结论，对于n个正数x1，x2，xi，xn，猜想有下述结论：_.答案x1x2xnn2已知f(n)1(nN*)，经计算得f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，则对于任意n(nN*)有不等式_成立答案f(2n1)解析由所给不等式可得：f(4)f(22)1，f(8)f(221)1，f(16)f(231)1，f(32)f(241)1，f(2n1)1.即f(2n1).3类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是_(填序号)答案解析根据空间直线、平面的平行与垂直的判定与性质定理知，正确，错误4如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1A1A2A2A3A7A81，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，OAn，的长度构成数列an，则此数列an的通项公式为an_.考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案(nN*)解析根据OA1A1A2A2A3A7A81和图(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a1OA11，a2OA2，a3OA3，故可归纳推测出an(nN*)5如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e_.答案解析根据“黄金椭圆”的性质是，可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质，设“黄金双曲线”的方程为1，则B(0，b)，F(c,0)，A(a,0)在“黄金双曲线”中，0.又(c，b)，(a，b)，acb20.又b2c2a2，c2a2ac，等号两边同除以a2求得e.1归纳推理和类比推理是常用的合情推理从推理形式上看，归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理2从推理形式和所得结论的正确性讲，演绎推理与合情推理存在差异从数学发现与认识事物的过程发挥的作用看，合情推理与演绎推理是相辅相成、相互为用的，合情推理提出猜想、发现结论，为演绎推理确定了目标和方向演绎推理不仅为合情推理提供了前提，而且对合情推理的结果进行“判决”和证明两者的综合运用才能推动人们对事物的认识不断向前发展.一、填空题1给出下列推理：由A，B为两个不同的定点，动点P满足|PAPB|2aAB，得点P的轨迹为双曲线；由a11，an3n1(n2)，求出S1，S2，S3，猜想出数列an的前n项和Sn的表达式；科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇其中是归纳推理的是_(填序号)答案解析是演绎推理，是归纳推理，是类比推理2观察下列各等式：2，2，2，2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为_(填序号)2；2；2；2.答案解析观察分子中26537110(2)8.3如果函数f(x)是奇函数，那么f(0)0.因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)0.这段演绎推理错误的原因是_答案大前提错误解析如果f(x)是奇函数，并且在x0处有定义，那么f(0)0，因此这段三段论推理中大前提是错误的，导致结论也是错误的4设k棱柱有f(k)个对角面，则k1棱柱对角面的个数为f(k1)f(k)_.答案k1解析当k棱柱增加一条侧棱时，这条侧棱和与之不相邻的k2条侧棱可构成k2个对角面，而当增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面所以f(k1)f(k)k21f(k)k1.5在ABC中，不等式成立，在四边形ABCD中，不等式成立，在五边形ABCDE中，不等式成立，猜想在n边形A1A2An中的不等式为_答案(n3，nN*)解析不等式左边和式个数分别为3,4,5，时，不等式右边的数依次为，其分子依次为32,42,52，分母依次为(32)，(42)，(52)，.故当不等式左边和式个数为n时，归纳猜想右边应为(n3，nN*)，故所求不等式为(n3，nN*)6在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图所示的六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图所示的六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图所示的六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图所示的六边形，以后每件首饰都在前一件上按照这种规律增加一定数量的珠宝使其构成更大的六边形，依此推断第六件首饰上应有_颗珠宝，第n件首饰上应有_颗珠宝(结果用n表示，nN*)答案662n2n解析设第n件首饰上所用珠宝数为an颗，据题意可知，a11，a26，a315，a428，a545，即a223，a335，a447，a559，a6611，由此猜测，ann(2n1)2n2n.7将自然数按如下规则排列在平面直角坐标系中：每一个自然数对应一个整点(横、纵坐标均为整数的点)；0在原点，1在(0,1)，2在(1,1)，3在(1,0)，4在(1，1)，5在(0，1)，9在(1,2)，所有自然数按顺序顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上且所有整点上均有自然数，则数字(2n1)2(nN*)的坐标为_答案(n，n1)解析9的坐标为(1,2)，且9(211)2,25的坐标为(2,3)，且25(221)2,49的坐标为(3,4)，且49(231)2，所以(2n1)2的坐标为(n，n1)8观察以下等式：sin230cos290sin30cos90；sin225cos285sin25cos85；sin210cos270sin10cos70.推测出反映一般规律的等式：_.答案sin2cos2(60)sincos(60)解析903060，852560，701060，其一般规律为sin2cos2(60)sincos(60).9从大、小正方形的数量关系上，观察下图，归纳得出关于n(nN*)的结论是_答案1357(2n1)n2解析从大、小正方形的数量关系上，容易发现112，132222，1353332，13574442，135795552，13579116662.观察上述算式的结构特征，我们可以猜想：1357(2n1)n2.10四个小动物换座位，开始是鼠，猴，兔，猫分别坐1,2,3,4号位子，第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，这样交替进行下去，那么2012次互换座位后，小兔的座位对应的是编号_答案3解析通过第1次、第2次、第3次、第4次互换后得到的结果与开始时一样，所以周期为4，又2012能被4整除，所以经过第2012次互换座位后，应为开始时的结果，即小兔的座位对应的是编号3.11已知命题：在平面直角坐标系xOy中，ABC的顶点A(p，0)和C(p,0)，顶点B在椭圆1(mn0，p)上，椭圆的离心率是e，则.将该命题类比到双曲线中，给出一个命题：_.答案在平面直角坐标系xOy中，ABC的顶点A(p,0)和C(p,0)，顶点B在双曲线1(m0，n0，p)上，双曲线的离心率为e，则.解析本题应是并列式类比，把椭圆方程1(mn0)改为1(m0，n0)，把p改为p，把改为.注意到双曲线定义也应成立，从而.二、解答题12定义在实数集R上的函数f(x)，对任意x，yR，有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且f(0)0.求证：f(x)是偶函数解令xy0，则有f(0)f(0)2f(0)f(0)，因为f(0)0，所以f(0)1，令x0，则有f(y)f(y)2f(0)f(y)2f(y)，所以f(y)f(y)，因此，f(x)是偶函数13设a0，且a1，f(x).(1)求值：f(0)f(1)，f(1)f(2)；(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数x都成立的一个等式，并加以证明解(1)f(0)f(1)，f(1)f(2).(2)由(1)归纳得对一切实数x，有f(x)f(1x).证明：f(x)f(1x).三、探究与拓展14对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：233343仿此，若m3的“分裂数”中有一个数是2015，则m_.答案45解析根据分裂特点，设最小数为a1，则ma12m3，a1m2m1.a1为奇数，又4522025，猜想m45.验证45391125，故a11981，满足a1m2m1.15.如图所示，点P为斜三棱柱ABCA1B1C1的侧棱BB1上一点，PMBB1交AA1于点M，PNBB1交CC1于点N.(1)求证：CC1MN；(2)在任意DEF中有余弦定理DE2DF2EF22DFEFcosDFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系，并予以证明(1)证明CC1BB1，CC1PM，CC1PN，又PMPNP，PM，PN平面PMN，CC1平面PMN.又MN平面PMN，CC1MN.(2)解在斜三棱柱ABCA1B1C1中有2cosx，其中x为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角的大小证明如下：CC1平面PMN，xMNP.在PMN中，PM2PN2MN22PNMNcosMNP.PM2CCPN2CCMN2CC2(PNCC1)(MNCC1)cosMNP.PNC1C，MNCC1，PMBB1，2cosx.
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