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31数系的扩充复数的概念及代数表示法问题1：方程2x23x10.试求方程的整数解？方程的实数解？提示：方程的整数解为1，方程的实数解为1和.问题2：方程x210在实数范围内有解吗？提示：没有解问题3：若有一个新数i满足i21，试想方程x210有解吗？提示：有解，xi.问题4：实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作abi，这一新数集形式如何表示？提示：Cabi|a，bR 1虚数单位i我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：(1)i21.(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立2复数的概念形如abi(a，bR)的数叫做复数全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.3复数的代数形式复数通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.复数的分类问题1：复数zabi(a，bR)，当b0时，z是什么数？提示：当b0时，za为实数问题2：复数zabi(a，bR)，当a0时，z是什么数？提示：当ab0时，z0为实数；当a0，b0，zbi为纯虚数1复数zabi2两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等1注意复数的代数形式zabi中a，bR这一条件，否则a，b就不一定是复数的实部与虚部2复数集是实数集的扩充，两个实数可以比较大小，但若两个复数不全为实数，则不能比较大小在复数集里， 一般没有大小之分，但却有相等与不相等之分复数的概念例1实数m为何值时，复数z(m22m3)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？思路点拨分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断精解详析(1)要使z是实数，m需满足m22m30，且有意义，即m10，解得m3.(2)要使z是虚数，m需满足m22m30，且有意义，即m10，解得m1且m3.(3)要使z是纯虚数，m需满足0，且m22m30，解得m0或m2.一点通zabi(a，bR)是复数的基本定义，由a，b的取值来确定z是实数、虚数、纯虚数还是零在解题时，关键是确定复数的实部和虚部1若复数z(x21)(x1)i为纯虚数，则实数x的值为_解析：z(x21)(x1)i是纯虚数，x1.答案：12已知复数2，i,0i,5i8，i(1)，i2，其中纯虚数的个数为_解析：0i0，i21，纯虚数有i，i.答案：23当实数m为何值时，复数z(m22m)i为(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：(1)当即m2时，复数z是实数；(2)当m22m0，即m0.且m2时，复数z是虚数；(3)当即m3时，复数z是纯虚数复数相等的充要条件例2已知M1，(m22m)(m2m2)i，P1,1,4i，若MPP，求实数m的值思路点拨因为MPP，所以MP，从而可建立关于m的关系式，进而求得m的值精解详析M1，(m22m)(m2m2)i，P1,1,4i，且MPP.MP，即(m22m)(m2m2)i1，或(m22m)(m2m2)i4i.或m1或m2.一点通(1)一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小(2)复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带(3)必须在代数形式下确定实部、虚部后才可应用4当关于x的方程x2(12i)x3mi0有实根，则实数m_.解析：设实根为x0，则xx02x0i3mi0.即xx03m(2x01)i0.m.答案：5已知2x1(y1)ixy(xy)i，求实数x、y的值解：x，y为实数，2x1，y1，xy，xy均为实数，由复数相等的定义，知6已知m是实数，n是纯虚数，且2mn4(3m)i，求m，n的值解：设nbi(bR且b0)由2mn4(3m)i得2mbi4(3m)i，m的值为2，n的值为i.复数概念的综合应用例3若不等式m2(m23m)i(m24m3)i10成立，求实数m的值思路点拨.精解详析m2(m23m)i2x2(y21)i，(x，yR)，8已知复数zk23k(k25k6)i(kR)，且z0，求实数k.解：z0，zR.k25k60.k2或k3.但当k3时，z0不符合题意k2时，z20(a，bR).一、填空题1下列命题中，若aR，则(a1)i是纯虚数；若a，bR且ab，则aibi；若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则实数x1；两个虚数不能比较大小其中正确的命题是_解析：若a1，则(a1)i0，错；复数中的虚数只能说相等或不相等，不能比较大小错；中x1则x23x20，x1不适合，错；是正确的答案：2若43aa2ia24ai，则实数a的值为_解析：由复数相等的充要条件可知解得a4.答案：43复数(a2a2)(|a1|1)i(aR)是纯虚数，则a的取值为_解析：复数(a2a2)(|a1|1)i是纯虚数，解之得a1.答案：14已知M1,2，(a23a1)(a25a6)i，N1,3，MN3，则实数a_.解析：MN3，(a23a1)(a25a6)i3，即解之得a1.答案：15已知z14a1(2a23a)i，z22a(a2a)i，其中aR，z1z2，则a的值为_解析：z1z2，即故a0.答案：0二、解答题6已知复数(2k23k2)(k2k)i，实部小于零，虚部大于零，求实数k的取值范围解：由题意得即即解得k0或1k2.7求适合方程xy(x2y2)i25i的实数x，y的值解：由复数相等的条件可知：解得或或或8设复数zlg(m22m14)(m24m3)i，试求实数m的值，使(1)z是实数；(2)z是纯虚数解：(1)z为实数，虚部m24m30，则m1或m3.而当m1时，m22m1412140.当m3时z为实数(2)z为纯虚数，实部lg(m22m14)0，且m24m30，即解得m5.当m5时z为纯虚数
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