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课时分层作业 四十九椭圆的概念及其性质一、选择题(每小题5分,共35分)1.椭圆x2+4y2=1的离心率为()A.B.C.D.【解析】选A.因为椭圆方程化为x2+=1,所以c=,离心率e=.2.设P是椭圆+=1上的点.若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于()A.4B.5C.8D.10【解析】选D.由椭圆的第一定义知|PF1|+|PF2|=2a=10.3.已知动点P(x,y)与两点A1(-2,0),A2(2,0)的连线斜率之积为=-,则点P(x,y)的轨迹方程为()A.+=1(y0)B.+=1(y0)C.+y2=1(y0)D.+=1(y0)【解析】选B.因为=-,整理得+=1.又因为点P不能在x轴上,所以y0.【变式备选】若过椭圆的一个焦点作长轴的垂线,交椭圆于两点P,Q,线段PQ的长度为2,椭圆的一个焦点是(2,0),则椭圆的标准方程是_.【解析】由题意可知,=2,c=2,又因为a2=b2+c2,解得a2=80,b2=20,所求椭圆的标准方程为+=1.答案:+=14.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.【解析】选B.设长轴为2a,短轴为2b,焦距为2c,则2a+2c=22b,即a+c=2b(a+c)2=4b2=4(a2-c2),整理得:5c2+2ac-3a2=0,即5e2+2e-3=0e=或e=-1(舍).5.已知圆C1:x2+2cx+y2=0,圆C2:x2-2cx+y2=0,椭圆C:+=1(ab0),若圆C1,C2都在椭圆内或椭圆上,则椭圆离心率的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选B.由于椭圆上点到焦点的距离最小值为a-c,所以圆C1,C2都在椭圆内等价于2ca,所以0b0)的右焦点F和点A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是()A.B.C.-1,1)D.【解析】选D.由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点F,即F点到P点与A点的距离相等,而|FA|=-c=,|PF|a-c,a+c.于是a-c,a+c.即ac-c2b2ac+c2,所以又e(0,1),故e.6.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为 ()A.2B.3C.6D.8【解析】选C.由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有+=1,解得=3,因为=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以=x0(x0+1)+=x0(x0+1)+3=+x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2,因为-2x02,所以当x0=2时,取得最大值+2+3=6.7.已知椭圆+=1(ab0)上的动点到焦点的距离的最小值为-1.以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切,则椭圆C的方程为()A.+=1B.+=1C.+y2=1D.+=1【解析】选C.由题意知a-c=-1,又b=1,由得a2=2,b2=1,故c2=1,椭圆C的方程为+y2=1.二、填空题(每小题5分,共15分)8.若椭圆的方程为+=1,且此椭圆的焦距为4,则实数a=_.【解析】由题可知c=2.当焦点在x轴上时,10-a-(a-2)=22,解得a=4.当焦点在y轴上时,a-2-(10-a)=22,解得a=8.故实数a=4或8.答案:4或8【变式备选】已知F1,F2是椭圆C:+=1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若PF1F2的面积为9,则b=_.【解析】因为,所以F1PF2=90,所以F1PF2为直角三角形.所以|PF1|2+|PF2|2=(2c)2.又因为|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|,即(2c)2=(2a)2-4|PF1|PF2|,=|PF1|PF2|=9.所以4c2=4a2-49=0,所以4b2=49.所以b=3.答案:39.椭圆的中心在坐标原点O,右顶点A2,上顶点B2,下顶点B1,左右焦点分别为F1, F2(直线B1F2与直线A2B2交于P点),若B1PA2为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为_.【解析】设椭圆的方程为+=1(ab0),B1PA2为钝角可转化为,所夹的角为钝角,则(a,-b)(-c,-b)0,即b2ac,则a2-c20,即e2+e-10,e或e,又0e1,所以eb0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率等于_.【解析】将y=代入椭圆的标准方程,得+=1,所以x=a,故B,C.又因为F(c,0),所以=,=.因为BFC=90,所以=0,所以+=0,即c2-a2+b2=0,将b2=a2-c2代入并化简,得a2=c2,所以e2=,所以e=(负值舍去).答案:1.(5分)椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆C上且直线PA2斜率的取值范围是-2,-1,那么直线PA1斜率的取值范围是 ()A.B.C.D.【解析】选B.利用直线PA2斜率的取值范围确定点P变化范围的边界点,再利用斜率公式计算直线PA1斜率的边界值.由题意可得A1(-2,0),A2(2,0),当PA2的斜率为-2时,直线PA2的方程为y=-2(x-2),代入椭圆方程,消去y化简得19x2-64x +52=0,解得x=2或x=.由点P在椭圆上得点P,此时直线PA1的斜率k=.同理,当直线PA2的斜率为-1时,直线PA2方程为y=-(x-2),代入椭圆方程,消去y化简得7x2-16x+4=0,解得x=2或x=.由点P在椭圆上得点P,此时直线PA1的斜率k=.数形结合可知,直线PA1斜率的取值范围是.【巧思妙解】选B.利用结论“椭圆上任意点P与长轴端点A1,A2的连线斜率的乘积为定值,即=-”因为=-,所以.2.(5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是()A.5B.+C.7+D.6【解析】选D.设圆心为M(0,6),Q(x,y),则=,因为-1y1,所以5,当且仅当y=-时取等号.所以P,Q两点间的最大距离是5+=6.3.(5分)已知椭圆的焦点在x轴上,一个顶点为A(0,-1),其右焦点到直线x-y+2=0的距离为3,则椭圆的方程为_.【解析】据题意知b=1,故可设椭圆方程为+y2=1.设右焦点为(c,0)(c0),它到已知直线的距离为=3,解得c=,所以a2=b2+c2=3,故椭圆的方程为+ y2=1.答案:+y2=14.(12分)已知椭圆+=1内有两点A(1,3),B(3,0),P为椭圆上一点,求|PA|+|PB|的最大值和最小值.【解析】如图,椭圆的右焦点为B,设椭圆的左焦点为D,因为|PA|+|PB|=|PA|+2a-|PD|2a+|AD|=25+5=15,所以所求的最大值是15.此时点P在F点处,又-,所以+2a-=25-5=5,此时点P在E点处.综上所述:所求最大值为15,最小值为5.【变式备选】已知椭圆+=1的左右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,则|+|的最大值为_.【解析】由椭圆的定义可知|+|=4a-4a-=43-=8.答案:85.(13分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.(1)若点C的坐标为,且BF2=,求椭圆的方程.(2)若F1CAB,求椭圆离心率e的值.【解析】(1)因为C,所以+=1.因为B=b2+c2=a2,所以a2=2,所以b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)设焦点F1(-c,0),F2(c,0),C(x,y),因为A,C关于x轴对称,所以A(x,-y),因为B,F2,A三点共线,所以=,即bx-cy-bc=0,因为F1CAB,所以=-1,即xc-by+c2=0,联立方程组,解得所以C因为C在椭圆上,所以+=1,化简得5c2=a2,所以=,故离心率为.
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