2018-2019学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.2 基本不等式（一）导学案 新人教B版选修4-5.docx

1.2基本不等式(一)1.理解并掌握定理1、定理2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.2.能运用平均值不等式(两个正数的)解决某些实际问题.自学导引1.定理1(重要不等式)：对于任意实数a，b，a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立.2.定理2(基本不等式)：如果a，b是正数，那么，当且仅当ab时，等号成立.3.我们常把叫做正数a，b的算术平均值，把叫做正数a，b的几何平均值，所以基本不等式又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.4.关于用不等式求函数最大、最小值(1)若x0、y0，且xyp(定值)，则当xy时，xy有最小值2.(2)若x0、y0，且xys(定值)，则当xy时，xy有最大值.基础自测1.设0a1，0b1，且ab，下列各式中值最大的是() A.a2b2 B.abC.2ab D.2解析0a1，0b2，a2a，b2b，a2b22ab，且ab0，b0，所以2，即ab2，当且仅当即a，b2时取“”，所以ab的最小值为2.答案C3.若正数a，b满足abab3，则ab的取值范围是_.解析a0，b0，abab323，()2230，3或1(舍去)，ab9.答案9，)知识点1不等式证明【例1】 求证：a7 (其中a3).证明a(a3)3，由基本不等式，得a(a3)32 3237.当且仅当a3，即a5时取等号. 反思感悟：在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.1.若a，bR，且ab1，求证：9.证明方法一：1119.方法二：529.知识点2最值问题【例2】 设x，yR且3，求2xy的最小值.解方法一：2xy3(2xy)(2xy).当且仅当，即x，y时，等号成立，2xy的最小值为.方法二：设，则x，y2xy，当且仅当mn，即x，y时，取得最小值.反思感悟：利用基本不等式求最值，关键是对式子恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用.注意一定要求出使“”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值.2.已知x0，b0且ab，2，乙公司的平均成本比较低.3.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧砌砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.试问：(1)仓库底面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则有Sxy，由题意得：40x245y20xy3 200.(1)由基本不等式，得3 200220xy120 20xy12020S，S6160，即(16)(10)0.160，100，从而S100.S的最大允许值是100 m2.(2)S取最大值的条件是40x90y，又xy100，由此解得x15.正面铁栅的长度应设计为15米.课堂小结1.两个不等式：a2b22ab与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.如(3)2(2)22(3)(2)是成立的，而2是不成立的.2.两个不等式：a2b22ab与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，取号”这句话的含义要有正确的理解.当ab取等号，其含义是ab；仅当ab取等号，其含义是ab.综合上述两条，ab是的充要条件.3.与基本不等式有关的两个常用不等式：(1)2 (a、b同号)；(2) (a0，b0).随堂演练1.设实数x，y，满足x2y21，当xyc0时，c的最大值是() A. B.C.2 D.2解析方法一：设xcos ，ysin ，当xyc0时，cxy(cos sin )sin，当sin1时，cmax.方法二：c2(xy)22(x2y2)2c，cmax.答案A2.若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是()A.62 B.72C.64 D.74解析先判断a，b的符号，再将已知的式子转化为关于a，b的方程，最后根据基本不等式求解.由题意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4ab，所以3a4bab，故1.所以ab(ab)77274，当且仅当时取等号，故选D.答案D3.已知x0，y0，且1，求xy的最小值_.解析x0，y0，1，xy(xy)1061016，当且仅当时，上式等号成立.又1，x4，y12时，(xy)min16.答案164.x，y，zR，x2y3z0，的最小值是_.解析由x2y3z0，得y，将其代入，得3，当且仅当x3z时取“”.答案3基础达标1.若a，bR，且ab1，则的最大值为()A.B.C.D.2答案C2.若a，bR，且ab2，则的最小值为()A.1 B.2C. D.4答案B3.下列命题：x最小值是2；的最小值是2；的最小值是2；23x的最小值是2.其中正确命题的个数是()A.1 B.2C.3 D.4解析当x0时，23x22224，当x0，b0，ab20，当且仅当ab时，取等号.2 0，当且仅当，即ab时取等号.，得(ab)224，当且仅当ab时，取等号.综合提高7.函数ylog2 (x1)的最小值为()A.3 B.3C.4 D.4解析x1，x10，ylog2log2log2(26)log283.答案B8.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A.80元 B.120元C.160元 D.240元解析设底面矩形的一条边长是x m，总造价是y元，把y与x的函数关系式表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值.由题意知，体积V4 m3，高h1 m，所以底面积S4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，又设总造价是y元，则y204108020160，当且仅当2x，即x2时取得等号.答案C9.设a，b0，ab5，则的最大值为_.解析将进行平方，为使用基本不等式创造条件，从而求得最值.令t，则t2a1b32929a1b313ab13518，当且仅当a1b3时取等号，此时a，b.tmax3.答案310.对于c0，当非零实数a，b满足4a22abb2c0且使|2ab|最大时，的最小值为_.解析利用均值不等式找到|2ab|取得最大值时等号成立的条件，从而可以用字母c表示a，b，再求的最小值.由题意知，c4a22abb2(2ab)26ab，(2ab)2c6ab.若|2ab|最大，则ab0.当a0，b0时，(2ab)2c6abc32abc3，(2ab)2c(2ab)2，(2ab)24c，|2ab|2，当且仅当b2a，即时取等号.此时0.当a0，b0时，(2ab)2c6abc3(2a)(b)c3，(2ab)24c，|2ab|2，即2ab2.当且仅当b2a，即时取等号.此时411，当，即c4时等号成立.综上可知，当c4，a1，b2时，1.答案111.若a0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由.解(1)由，得ab2，且当ab时等号成立.故a3b324，且当ab时等号成立.所以a3b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6.12.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速率v(千米/时)之间的函数关系为y(v0).(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？解(1)依题意，y11.1(千辆/时)(2)由条件得10，整理得v289v1 6000，即(v25)(v64)0，解得25v64.答当v40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.