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第6讲正弦定理和余弦定理1.正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆的半径，则2.在ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况3.三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)(2)SbcsinAacsinBabsinC.(3)Sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)1.概念辨析(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立()(2)在ABC中，若sinAsinB，则AB.()(3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素()(4)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形()答案(1)(2)(3)(4) 2.小题热身(1)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，c2，cosA，则b()A. B. C2 D3答案D解析由余弦定理得5b242b2，解得b3或b(舍去)，故选D.(2)已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则该三角形的形状是()A.直角三角形 B等腰三角形C.等边三角形 D钝角三角形答案A解析因为，由正弦定理得，所以sin2Asin2B.由，可知ab，所以AB.又A，B(0，)，所以2A1802B，即AB90，所以C90，于是ABC是直角三角形(3)在ABC中，a3，b2，cosC，则ABC的面积为_答案4解析cosC，0C，sinC，SABCabsinC324.(4)在ABC中，a4，b5，c6，则_.答案1解析因为a4，b5，c6，所以cosA，所以1.题型 利用正、余弦定理解三角形角度1用正弦定理解三角形1.(1)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sinB，C，则b_；(2)(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C60，b，c3，则A_.答案(1)1(2)75解析(1)因为sinB且B(0，)，所以B或B，又C，所以B，ABC，又a，由正弦定理得，即，解得b1.(2) 如图，由正弦定理，得，sinB.又cb，B45，A180604575.角度2用余弦定理解三角形2.(1)在ABC中，若b1，c，A，则cos5B()A. B.C.或1 D或0(2)在ABC中，AB3，BC，AC4，则边AC上的高为()A. B. C. D3答案(1)A(2)B解析(1)因为b1，c，A，所以由余弦定理得a2b2c22bccosA13211，所以a1.由ab1，得BA，所以cos5Bcoscos.(2)由题意得cosA，sinA，边AC上的高hABsinA.角度3综合利用正、余弦定理解三角形3.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosCc2b.(1)求角A的大小；(2)若c，角B的平分线BD，求a.解(1)2acosCc2b，由正弦定理得2sinAcosCsinC2sinB,2sinAcosCsinC2sin(AC)2sinAcosC2cosAsinC，sinC2cosAsinC，sinC0，cosA，又A(0，)，A.(2)在ABD中，由正弦定理得，sinADB.又ADB(0，)，A，ADB，ABC，ACB，ACAB，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosA()2()22cos6，a.用正弦、余弦定理解三角形的基本题型及解题方法(1)已知两角和一边用三角形内角和定理求第三个角用正弦定理求另外两条边(2)已知两边及其中一边所对的角用正弦定理(适用于优先求角的题)以知a，b，A解三角形为例：a根据正弦定理，经讨论求B；b求出B后，由ABC180，求出C；c再根据正弦定理，求出边c.用余弦定理(适用于优先求边的题)以知a，b，A解三角形为例：列出以边c为元的一元二次方程c2(2bcosA)c(b2a2)0，根据一元二次方程的解法，求边c，然后应用正弦定理或余弦定理，求出B，C.(3)已知两边和它们的夹角用余弦定理求第三边用余弦定理的变形或正弦定理求另外两角(4)已知三边可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由ABC180，求出第三个角.1.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ab，A2B，则cosB等于()A. B. C. D.答案C解析因为ab，A2B，所以由正弦定理可得，所以，所以cosB.2.(2018和平区模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2b2bc，且sinC2sinB，则角A的大小为_答案解析由sinC2sinB得c2b.a2b2bc2b2，即a27b2.则cosA.又A(0，)A.3如图，在ABC中，B45，D是BC边上一点，AD5，AC7，DC3，则AB_.答案解析在ACD中，由余弦定理可得cosC，则sinC.在ABC中，由正弦定理可得，则AB.题型 利用正、余弦定理判定三角形的形状1.(2018武汉调研)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA，则ABC为()A.钝角三角形 B直角三角形C.锐角三角形 D等边三角形答案A解析因为cosA，所以cbcosA，由正弦定理得sinCsinBcosA，又ABC，所以sinCsin(AB)所以sinAcosBcosAsinBsinBcosA，所以sinAcosB0，所以cosB0，B为钝角，所以ABC是钝角三角形.2.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，(bca)(bca)3bc，则ABC的形状为()A.直角三角形 B等腰非等边三角形C.等边三角形 D钝角三角形答案C解析，bc.又(bca)(bca)3bc，b2c2a2bc，cosA.A(0，)，A，ABC是等边三角形条件探究1把举例说明2中ABC满足的条件改为“acosAbcosB”，判断ABC的形状解因为acosAbcosB，所以sinAcosAsinBcosB，所以sin2Asin2B，又因为02A2，02B2，0AB，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC是等腰三角形或直角三角形条件探究2把举例说明2中ABC满足的条件改为“cos2”，判断ABC的形状解因为cos2，所以(1cosB)，在ABC中，由余弦定理得.化简得2aca2c2b22a(ac)，则c2a2b2，所以ABC为直角三角形.1.应用余弦定理判断三角形形状的方法在ABC中，c是最大的边若c20)，则cosC0，所以C是钝角，ABC是钝角三角形.2.设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosCccosBasinA，则ABC的形状为()A.锐角三角形 B直角三角形C.钝角三角形 D不确定答案B解析根据正弦定理，由bcosCccosBasinA得sinBcosCsinCcosBsin2A，即sin(BC)sin2A，又因为ABC，所以sin(BC)sinA，所以sinA1，由0A，得A.所以ABC是直角三角形.题型 与三角形面积有关的问题(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC1，a3，求ABC的周长解(1)由题设得acsinB，即csinB.由正弦定理得sinCsinB.故sinBsinC.(2)由题设及(1)得cosBcosCsinBsinC，即cos(BC).所以BC，故A.由题意得bcsinA，a3，所以bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.故ABC的周长为3.1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键2已知三角形的面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解.(2018洛阳三模)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinB(cb)sinCasinA.(1)求角A的大小；(2)若sinBsinC，且ABC的面积为2，求a.解(1)由bsinB(cb)sinCasinA及正弦定理得b2(cb)ca2，即b2c2bca2，所以cosA，所以A.(2)由正弦定理，可得b，c，所以SABCbcsinAsinA2.又sinBsinC，sinA，a22，解得a4. 高频考点用正弦、余弦定理进行边、角之间的转化考点分析在综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三角形有关的问题时，常利用边、角之间的转化与化归的方法解决典例1(2018枣庄二模)已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a2b2c2)(acosBbcosA)abc，若ab2，则c的取值范围为()A(0,2) B1,2)C. D(1,2答案B解析由正、余弦定理，得2cosC(sinAcosBsinBcosA)sinC.即2cosCsin(AB)sinC.所以2cosCsinCsinC，因为sinC0，所以cosC.又C(0，)，所以C.因为c2a2b22abcosC(ab)23ab，且(ab)24ab，所以ab1.所以c21，即c1，又cab2.所以1c2.典例2(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosBacosCccosA，则B_.答案解析解法一：由2bcosBacosCccosA及正弦定理，得2sinBcosBsinAcosCsinCcosA.2sinBcosBsin(AC)又ABC，ACB.2sinBcosBsin(B)sinB.又sinB0，cosB.B.在ABC中，acosCccosAb，条件等式变为2bcosBb，cosB.又0B0，故cosB，0B，B.(2)由b2，B及余弦定理可得aca2c24，由基本不等式可得aca2c242ac4，ac4，而且仅当ac2时，SABCacsinB取得最大值4，故ABC的面积的最大值为.
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