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第2讲排列与组合考纲解读理解排列组合的概念及排列数与组合数公式，并能用其解决一些简单的实际问题(重点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点命题方向. 预测2020年将会考查：有条件限制的排列组合问题；排列组合与其他知识的综合问题. 试题以客观题的形式呈现，难度不大，属中、低档题型.1排列与组合的概念2排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用表示(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用表示3排列数、组合数的公式及性质4常用结论(1)A(nm1)A；AA；AnA.(2)nAAA；AAmA.(3)1！22！33！nn！(n1)！1.(4)CC；CC；CC.(5)kCnC；CCCCC.1概念辨析(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序()(3)从2,4,6,8任取两个数，分别作对数“log”的底数、真数，有多少个不同的对数值？此题属于排列问题()(4)甲、乙、丙、丁四个好朋友相互发微信，共有多少条微信？此题属于组合问题()(5)若组合式CC，则xm成立()答案(1)(2)(3)(4)(5) 2小题热身(1)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言()A1560条 B780条 C1600条 D800条答案A解析由题意，得毕业留言共A1560条(2)从6名男生和2名女生中选出3名，其中至少有1名女生的选法共有_种答案36解析分两类：第1类是有1名女生，共有CC21530种；第2类是有2名女生，共有CC166种由分类加法计数原理得，共有30636种(3)有大小和形状完全相同的3个红色小球和5个白色小球，将它们排成一排，共有_种不同的排列方法答案56解析8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题这样共有C56种排法(4)从6本不同的书中选出4本，分别发给4个同学，已知其中两本书不能发给甲同学，则不同分配方法有_种答案240解析因为其中两本书不能发给甲同学，所以甲只能从剩下的4本中分一本，然后再选3本分给3个同学，故有AA240种题型 排列问题7位同学站成一排：(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(7)甲总在乙的前面的排法有多少种？解(1)其中甲站在中间的位置，共有A720种不同的排法(2)甲、乙只能站在两端的排法共有AA240种(3)7位同学站成一排，共有A种不同的排法；甲排头，共有A种不同的排法；乙排尾，共有A种不同的排法；甲排头且乙排尾，共有A种不同的排法；故共有A2AA3720种不同的排法(4)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A种方法，所以这样的排法一共有AA1440种(5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有：解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A种方法，所以这样的排法一共有AAA960种方法解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素若丙站在排头或排尾有2A种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有(A2A)A960种方法解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A种方法再将其余的5个元素进行全排列共有A种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有AAA960种方法(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有：解法一：(间接法)AAA3600种解法二：(插空法)先将其余五个同学排好有A种方法，此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A种方法，所以一共有：AA3600种(7)甲总在乙的前面则顺序一定，共有2520种结论探究1若将举例说明结论变为“甲、乙、丙三个同学都不能相邻”，则有多少种不同的排法？解先将其余四个同学排好，有A种方法，此时他们隔开了五个空位，再从中选出三个空位安排甲、乙、丙，故共有AA1440种方法结论探究2若甲、乙、丙三位同学不都相邻，则有多少种不同的排法？解7位同学站成一排，共有A种不同的排法；甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有AA720种故共有AAA4320种不同的排法结论探究3(1)若将7人站成两排，前排3人，后排4人，共有多少种不同的排法？(2)若现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加1人，后排加2人，其他人保持相对位置不变，则有多少种不同的加入方法？解(1)站成两排(前3后4)，共有A5040种不同的排法(2)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步乘法计数原理有3456360种方法1求解有限制条件排列问题的主要方法2解决有限制条件排列问题的策略(1)根据特殊元素(位置)优先安排进行分步，即先安排特殊元素或特殊位置(2)根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类提醒：(1)分类要全，以免遗漏(2)插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元素的个数及要注意相邻元素的排列数(3)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确.1一排12个座位坐了4个小组的成员，每个小组有3人，若每个小组的成员全坐在一起，则不同的坐法种数为()AA(A)3 B(A)4AC.D.答案B解析12个座位坐了4个小组的成员，每个小组有3人，操作如下：先分别把第1,2,3,4小组的3个人安排坐在一起，各有A种不同的坐法，再把这4个小组进行全排列，有A种不同的排法，根据分步乘法计数原理得，每个小组的成员全坐在一起共有(A)4A种不同的坐法2(2018青岛模拟)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为_答案60解析2位男生不能连续出场的排法共有N1AA72(种)，女生甲排第一个且2位男生不能连续出场的排法共有N2AA12(种)，所以出场顺序的排法种数为NN1N260.题型 组合问题1将12个相同的小球放入编号分别为1,2,3,4的四个桶中，要求每个桶中放入球的数量不得少于该桶的编号，则分配方案有()A10种 B12种 C14种 D16种答案A解析解法一：根据题意，先在编号为2,3,4的3个桶中分别放入1,2,3个小球，编号为1的桶里不放球，再将剩下的6个小球放入四个桶里，每个桶里至少一个，将6个球排成一排，中间有5个空，插入3块挡板分为四堆放入四个桶中即可，共C10种方法解法二：先在编号为1,2,3,4的四个桶中分别放入与编号相同的球数，剩余2个球，把2个球放入同一个桶中有4种方法，2个球放入不同的桶中有C6种方法，所以分配方案有4610种2在AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共mn1个点，现任取其中3个点为顶点作三角形，可作的三角形的个数为()ACCCC BCCCCCCCCCCC DCCCC答案C解析作出的三角形可以分成两类，一类是含有O点的，另一类是不含O点的含有O点的，则在OA，OB上各取1个点，共有CC个；不含有O点的，则在OA上取一点，OB上取两点，或者在OA上取两点，OB上取一点，共有CCCC个所以可作的三角形个数为CCCCCC，故选C.3从一架钢琴挑出的10个音键中，分别选择3个，4个，5个，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为_(用数字作答)答案968解析依题意共有8类不同的和声，当有k(k3,4,5,6,7,8,9,10)个键同时按下时，有C种不同的和声，则和声总数为CCCC210CCC102411045968.1组合问题的常见题型及解题思路(1)常见题型：一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题等(2)解题思路：分清问题是否为组合问题；对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”，一般是先整体分类，然后局部分步，将复杂问题通过两个原理化归为简单问题见举例说明2.2两类带有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的题型：若“含有”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含有”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题目要重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解见举例说明3.1若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同取法的种数是()A60 B63 C65 D66答案D解析因为1,2,3，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使取出的4个不同的数的和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故有CCCC66种不同的取法2(2019豫南九校联考)某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有()A72种 B36种 C24种 D18种答案B解析2名内科医生，每村一名，有2种方法；3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有：则分1名外科医生、2名护士和2名外科医生、1名护士，若甲村有1名外科医生、2名护士，则有CC9(种)，其余的分到乙村；若甲村有2名外科医生、1名护士，则有CC9(种)，其余的分到乙村；则总的分配方案有2(99)36(种)题型 排列组合的综合应用角度1排列组合的简单应用1(1)某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是()A18 B24 C36 D42(2)(2019开封模拟)某班主任准备请2016届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰隔一人，那么不同的发言顺序共有_种(用数字作答)答案(1)D(2)1080解析(1)由题设可分两类：一类是甲地有1名女生，先考虑甲地，有CC种选法，再考虑乙、丙两地，有A种选法，共有CCA36(种)选法；另一类是甲地有2名女生，则甲地有C种选法，乙、丙两地有A种选法，共有CA6(种)选法由分类加法计数原理可得，不同的选派方法共有36642(种)，应选D.(2)若甲、乙同时参加，有CCCAA120种，若甲、乙有一人参与，有CCA960种，从而总共的发言顺序有1080种角度2分组分配问题2(1)将6名同学平均分成三组，每组两人，则不同的分组方法的种数为()A60 B30 C15 D10(2)在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a，b，c三家酒店选择一家，且这三家都至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有()A96种 B124种 C130种 D150种答案(1)C(2)D解析(1)平均分成三组的方法种数为15.(2)五个参会国要在a，b，c三家酒店选择一家，且这三家都至少有一个参会国入住，可以把5个参会国分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2.当按照1、1、3来分时，共有CA60(种)；当按照1、2、2来分时，共有A90(种)，根据分类加法计数原理知共有6090150(种)，故选D.1解决简单的排列与组合综合问题的思路(1)根据附加条件将要完成事件先分类(2)对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列(3)由分类加法计数原理计算总数2分组、分配问题的求解策略(1)对不同元素的分配问题对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数见举例说明2(2)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数(2)对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”.1某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有()A36种 B24种 C22种 D20种答案B解析根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，有AA12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，有CAA12种推荐方法所以共有24种推荐方法，故选B.2某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每个部门安排两人，则不同的安排方案种数为()A60 B40 C120 D240答案A解析由题意得，先将4名大学生平均分为两组，共有3(种)不同的分法，再将两组安排在其中的两个部门，共有3A60(种)不同的安排方法故选A.
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