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2.5圆锥曲线的共同性质学习目标1.理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题.2.了解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的离心率、焦点、准线等概念.知识点圆锥曲线的共同性质思考圆锥曲线有怎样的共同性质？如何研究圆锥曲线的共同性质？答案如图，过点M作MHl，H为垂足，由圆锥曲线的统一定义可知MM|FMeMH.取过焦点F，且与准线l垂直的直线为x轴，F(O)为坐标原点，建立直角坐标系.设点M的坐标为(x，y)，则OM.设直线l的方程为xp，则MH|xp|.把，代入OMeMH，得e|xp|.两边平方，化简得(1e2)x2y22pe2xp2e20.这就是圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)在直角坐标系中的共同性质.梳理(1)圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线l(F不在定直线l上)的距离之比等于常数e.当0e1时，它表示双曲线；当e1时，它表示抛物线.其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线.(2)椭圆1(ab0)的准线方程为x，1(ab0)的准线方程为y.双曲线1(a0，b0)的准线方程为x，双曲线1(a0，b0)的准线方程为y.1.若平面内动点P到定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比是一个常数e(e0)，则动点P的轨迹是圆锥曲线.()2.双曲线x2y21的准线方程为x.()3.1上的点到左准线的距离是，则该点到右准线的距离是8.()4.点M(x，y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l：x的距离的比是常数，则点M的轨迹为1.()类型一已知准线求圆锥曲线的方程例1双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间的距离为4，且经过点A(2，3)，求双曲线的方程.考点准线题点由准线等条件求曲线方程解(1)若焦点在x轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，由已知得a22c，b2c2a2c22c.代入1，整理得c214c330，c3或c11.a26，b23或a222，b299.双曲线的方程为1或1.(2)若焦点在y轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0).由已知得1.将a22c，b2c22c代入1得，2c213c660，0，b0)，因为抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，由此可得a1.由，得c2.所以b2c2a23，于是双曲线的方程为x21，其渐近线方程为xy0.1.在学习圆锥曲线的统一定义时，应注意与前面学过的椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程、几何性质相联系，以提高自己综合应用知识的能力和解题的灵活性.2.在已知准线方程时，一般转化为的数量关系，结合其他条件求出基本量a，b，c.若是求方程，可由准线的位置来确定标准方程的类型.3.根据圆锥曲线的统一定义，可把圆锥曲线上的点到焦点的距离转化为到对应准线的距离，这是一个非常重要的转化方法，可简化解题过程.一、填空题1.若椭圆的离心率为，准线方程为x8，则椭圆的标准方程为_.考点准线题点由准线等条件求圆锥曲线方程答案1解析由准线方程为x8，可知椭圆的焦点在x轴上.设所求椭圆的标准方程为1(ab0).由题意，得解得所以b2a2c2321616.因此所求椭圆的标准方程为1.2.已知椭圆1上一点P到椭圆的左准线的距离为10，则点P到椭圆的右焦点的距离为_.考点准线题点由准线等条件求圆锥曲线方程答案12解析椭圆1的离心率e.根据椭圆的第二定义，得点P到椭圆的左焦点的距离为10e8.再根据椭圆的第一定义，得点P到椭圆的右焦点的距离为20812.3.如果双曲线1上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是_.考点准线题点准线方程的运用答案解析由题意可知a2，b，c，右准线方程为x，e.设P到y轴的距离为d，则，所以d.4.与双曲线1有共同的渐近线，且其中一条准线的方程为x的双曲线的标准方程为_.考点准线题点由准线等条件求圆锥曲线方程答案1解析由题意，可设所求双曲线的方程为1(0).该双曲线的右准线方程为x，所以4，所以所求双曲线的标准方程为1.5.若双曲线1的一条准线与抛物线y28x的准线重合，则双曲线的离心率为_.考点准线题点准线方程的运用答案解析y28x的准线方程为x2，因此，双曲线的一条准线方程为x2，则2.又a28，c4.e.6.已知椭圆的一个焦点坐标为F1(0，2)，对应的准线方程为y，且离心率e满足，e，成等比数列，则此椭圆的方程为_.考点准线题点由准线等条件求圆锥曲线方程答案x21解析，e，成等比数列，e2，则e.设P(x，y)是椭圆上任意一点，根据椭圆的定义，得，化简得9x2y29，即x21.7.已知双曲线1，F为其右焦点，A(4,1)为平面上一点，P为双曲线上任意一点，则PAPF的最小值为_.考点共同性质题点运用圆锥曲线统一定义求最值答案解析设P到右准线的距离为PQ.因为e，所以PFPQ，即PAPFPAPQ.而PAPQ的最小值为点A到右准线的距离，即44，故PAPF的最小值为.8.已知A(1,0)，B(1,0)，点C(x，y)满足：，则ACBC_.考点共同性质题点共同性质的运用答案4解析点C到B(1,0)的距离与它到直线x4的距离之比为，点C的轨迹是椭圆，且，4，a2，c1.点A恰好是椭圆的另一个焦点，ACBC2a4.9.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为1(ab0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2d1，则椭圆C的离心率为_.考点共同性质题点共同性质的运用答案解析依题意，d2c.又BFa，所以d1.由已知可得，所以c2ab，即6c4a2(a2c2)，整理可得a23c2，所以离心率e.10.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且2，则椭圆C的离心率为_.考点共同性质题点共同性质的运用答案解析设椭圆C的焦点在x轴上，如图所示，B(0，b)，F(c,0)，D(xD，yD)，则BFa.作DD1y轴于点D1，则由2，得，所以DD1OF，即xD.由圆锥曲线的统一定义，得FDea.又由2，得a2a，整理得，即e2，所以e(舍去)或e.二、解答题11.已知椭圆1，P为椭圆上的一点，F1，F2为左、右两个焦点，若PF1PF221，求点P的坐标.考点共同性质题点共同性质的运用解设点P的坐标为(x，y).椭圆1，a5，b4，c3.e，准线方程为x.由圆锥曲线的统一定义知，PF1ed1x5，PF2ed25x.PF1PF221，21，解得x，代入椭圆的方程，得y.点P的坐标为或.12.已知A，B为椭圆1上的两点，F2是椭圆的右焦点，若AF2BF2a，AB的中点M到椭圆的左准线的距离为，试确定该椭圆的方程.考点准线题点由准线等条件求圆锥曲线方程解由椭圆的方程，可得ba，则ca，e，两准线间的距离为a.设A，B两点到右准线的距离分别是dA，dB，则，AF2BF2(dAdB)a，dAdB2a，则AB的中点M到椭圆右准线的距离为a，于是点M到左准线的距离为aa，解得a1，故椭圆的方程为x21.13.设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e，点F2到右准线l的距离为.(1)求a，b的值；(2)设M，N是l上的两个动点，0，证明：当|取最小值时，0.考点共同性质题点共同性质的运用(1)解因为e，F2到l的距离dc，所以由题设得解得c，a2.由b2a2c22，得b.故a2，b.(2)证明由c，a2得F1(，0)，F2(，0)，l的方程为x2，故可设M(2，y1)，N(2，y2).由0知(2，y1)(2，y2)0，得y1y26，所以y1y20，y2.|y1y2|y1|2，当且仅当y1时，上式取等号，此时y2y1，所以，(2，0)(，y1)(，y2)(0，y1y2)0.三、探究与拓展14.已知双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF14PF2，则此双曲线离心率e的最大值为_.考点共同性质题点共同性质的运用答案解析设P点坐标为P(x0，y0)，由圆锥曲线的统一定义得e，把PF14PF2代入则有x04，整理得3x0.x0a，e，离心率e的最大值为.15.已知椭圆1上不同的三点A(x1，y1)，B，C(x2，y2)与焦点F(4,0)的距离成等差数列.(1)求证：x1x28；(2)若线段AC的垂直平分线与x轴交于点T，求直线BT的斜率.考点共同性质题点共同性质的运用(1)证明由已知得a5，b3，c4，e.因为AFaex15x1，CFaex25x2，BF54，且AFCF2BF，所以，即x1x28.(2)解因为A(x1，y1)，C(x2，y2)在椭圆上，所以1，1，由得yy(x1x2)(x1x2)(x1x2)(y1y2).又因为线段AC的中点为，所以线段AC的垂直平分线的方程为y(x4).又因为点T在x轴上，则设点T的坐标为(x0,0)，代入得x04，所以x04.所以直线BT的斜率k.故直线BT的斜率为.
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