资源描述
第一讲排列与组合、二项式定理考点一两个计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘对点训练1已知I1,2,3，A，B是集合I的两个非空子集，且A中所有元素的和大于B中所有元素的和，则集合A，B共有()A12对 B15对 C18对 D20对解析依题意，当A，B均有一个元素时，有3对；当B有一个元素，A有两个元素时，有CC28对；当B有一个元素，A有三个元素时，有3对；当B有两个元素，A有三个元素时，有3对；当A，B均有两个元素时，有3对所以共有3833320对，选D.答案D2(2018河北唐山二模)用两个1，一个2，一个0可组成不同四位数的个数是()A18 B16 C12 D9解析根据题意，分3步进行分析：0不能放在千位，可以放在百位、十位和个位，有3种情况，在剩下的3个数位中任选1个，安排2，有3种情况，在最后2个数位安排2个1，有1种情况，则可组成339个不同的四位数，故选D.答案D3.现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是()A120 B140C240 D260解析由题意，先涂A处共有5种涂法，再涂B处有4种涂法，最后涂C处，若C处与A处所涂颜色相同，则C处有1种涂法，D处有4种涂法；若C处与A处所涂颜色不同，则C处有3种涂法，D处有3种涂法，由此可得不同的涂色方法有54(1433)260(种)，故选D.答案D快速审题看到计数问题，想到分类加法计数原理和分步乘法计数原理两个计数原理的应用技巧(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化考点二排列、组合排列与组合的异同点对点训练1马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有()A60种 B20种 C10种 D8种解析根据题意，可分两步完成：第一步，先安排四盏不亮的路灯，只有1种情况；第二步，四盏不亮的路灯排好后，有5个空位，在5个空位中任意选3个，插入三盏亮的路灯，有C10(种)情况故不同的开灯方案共有11010(种)，故选C.答案C2(2018山西四校联考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A72 B120 C144 D168解析依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为AA144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为AAA24，因此满足题意的排法种数为14424120，选B.答案B探究追问(1)若第2题中，“同类节目不相邻”改为“同类节目必须相邻”，则有多少种不同的排法？(2)若第2题中，“同类节目不相邻”改为“相声类节目不排第一个，小品类节目不排最后一个，则有多少种不同的排法？”解析(1)(捆绑法)将歌舞类节目，2个小品类节目分别各自作一个节目与相声类节目排列，共有A种不同排法又歌舞类节目有A种排法，小品类节目有A种排法，所以共有AAA72(种)不同排法(2)分两类：第一类，若第一个节目排歌舞类，由于最后一个不排小品类节目，有AAA216(种)排法；第二类，若第一个节目排小品类节目，则有AAA192(种)排法故共有216192408(种)不同的排法答案(1)72种(2)408种3(2018全国卷)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字填写答案)解析解法一：从2位女生，4位男生中选3人，且至少有1位女生入选的情况有以下2种：2女1男：有CC4种选法；1女2男：有CC12种选法，故至少有1位女生入选的选法有41216种解法二：从2位女生，4位男生中选3人有C20种选法，其中选出的3人都是男生的选法有C4种，所以至少有1位女生入选的选法有20416种答案164(2018北京西城一模)某种产品的加工需要A，B，C，D，E五道工艺，其中A必须在D的前面完成(不一定相邻)，其他工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B与C必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有_种(用数字作答)解析B与C必须相邻，看作一个元素，与剩下三个元素全排列共有A种排法，而B与C的顺序有A种排法，又A必须在D的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有24(种)答案24快速审题(1)看到“在”与“不在”的排列问题，想到特殊优先原则(2)看到相邻问题，想到捆绑法；看到不相邻问题，想到插空法(3)看到“至少”“最多”的问题，想到用直接法或间接法解排列组合综合问题的4个角度考点三二项式定理1通项与二项式系数Tk1Cankbk(k0,1,2，n)，其中C叫做二项式系数2二项式系数的性质(1)CC，CC，CC；(2)CCCC2n；(3)CCCCCC2n1.对点训练1(2018山东枣庄二模)若(x2a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于()A. B. C1 D2解析10展开式的通项公式为Tr1Cx10rrCx102r，令102r4，解得r3，所以x4项的系数为C；令102r6，解得r2，所以x6项的系数为C，所以(x2a)10的展开式中x6的系数为CaC30，解得a2.故选D.答案D2(2018河北邯郸二模)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x3的系数为()A15 B45 C135 D405解析 答案C3(2018福建漳州二模)已知(2x1)10a0a1xa2x2a9x9a10x10，则a2a3a9a10的值为()A20 B0 C1 D20解析令x1，得a0a1a2a9a101，再令x0，得a01，所以a1a2a9a100，又易知a1C21(1)920，所以a2a3a9a1020.答案D4(2018浙江卷)二项式8的展开式的常数项是_解析 答案7快速审题(1)看到展开式中求二项式系数或项的系数，想到二项展开式的通项(2)看到二项式的系数和问题，想到用赋值法利用二项式定理求解的3种常用思路(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的(2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值(3)二项展开式的最大项是通过不等式组确定的1(2017全国卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A12种 B18种 C24种 D36种解析第一步：将4项工作分成3组，共有C种分法第二步：将3组工作分配给3名志愿者，共有A种分配方法，故共有CA36种安排方式，故选D.答案D2(2018全国卷)5的展开式中x4的系数为()A10 B20 C40 D80解析5的展开式的通项Tr1C(x2)5r(2x1)r2rCx103r，令103r4，得r2，所以x4的系数为22C40.故选C.答案C3(2017全国卷)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为()A80 B40 C40 D80解析(2xy)5的展开式的通项为Tr1C(2x)5r(y)r(1)r25rCx5ryr.其中x2y3项的系数为(1)322C40，x3y2项的系数为(1)223C80.于是(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为408040.答案C4(2018浙江卷)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数(用数字作答)解析含有数字0的没有重复数字的四位数共有CCAA540个，不含有数字0的没有重复数字的四位数共有CCA720个，故一共可以组成5407201260个没有重复数字的四位数答案12605(2017天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个(用数字作答)解析有一个数字是偶数的四位数有CCA960个没有偶数的四位数有A120个故这样的四位数一共有9601201080个答案10801.排列、组合在高中数学中占有特殊的位置，是高考的必考内容，很少单独命题，主要考查利用排列、组合知识计算古典概型2二项式定理仍以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，题目难度一般，多出现在第910或第1315题的位置上热点课题17分类讨论思想在排列组合中的应用感悟体验1(2018济南二模)某校开设5门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有()A330种 B420种C510种 D600种解析当甲、乙、丙三位同学都只选1门，不同的选法有A60(种)；当甲、乙、丙三位同学有一位选1门，另外两位选2门，不同的选法有CCCC90(种)；当甲、乙、丙三位同学有两位选1门，另一位选2门，不同的选法有CCCC180(种)，共有6090180330(种)答案A2现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张不同取法的种数为()A232 B252 C472 D484解析由题意，不考虑特殊情况，共有C种取法，其中同一种颜色的卡片取3张，有4C种取法，3张卡片中红色卡片取2张有CC种取法，故所求的取法共有C4CCC5601672472种，选C.答案C专题跟踪训练(二十八)一、选择题1(2018惠州市二调)旅游体验师小李受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为()A24 B18 C16 D10解析分两种情况，第一种：若最后去甲景区，则有A种可选的路线；第二种：若不在最后去甲景区，则有CA种可选的路线所以小李可选的旅游路线数为ACA10.故选D.答案D2(2018开封市定位考试)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为()A6 B12 C18 D19解析解法一：在物理、政治、历史中选一科的选法有CC9(种)；在物理、政治、历史中选两科的选法有CC9(种)；物理、政治、历史三科都选的选法有1种，所以学生甲的选考方法共有99119(种)，故选D.解法二：从六科中选考三科的选法只有C种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一科，这种选法只有1种，因此学生甲的选考方法共有C119(种)，故选D.答案D3(2018广西贵港市联考)在6的展开式中，常数项为()A240 B60 C60 D240解析6的展开式中，通项公式为Tr1C(x2)6rr(2)rCx123r，令123r0，得r4，故常数项为T5(2)4C240，故选D.答案D4(2018长郡中学实验班选拔考试)若二项式7的展开式中的各项系数之和为1，则含x2的项的系数为()A560 B560 C280 D280解析取x1，得二项式7的展开式中的各项系数之和为(1a)7，即(1a)71，解得a2.二项式7的展开式的通项为Tr1C(x2)7rrC(2)rx143r.令143r2，得r4.因此，二项式7的展开式中含x2项的系数为C(2)4560，故选A.答案A5将5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有()A150种 B180种 C240种 D540种解析先将5人分成三组，3,1,1或2,2,1，共有CC25(种)分法；再将三组学生分到3所学校有A6(种)分法，故共有256150(种)不同的保送方法故选A.答案A6(2018广州一模)(x1)6的展开式的常数项为()A54 B56 C58 D60解析(x1)6的展开式的常数项就是6的展开式的常数项与x1项的系数之和.6的展开式的通项Tr1C(2x2)6rr(1)r26rCx123r，令123r0得r4，所以常数项是(1)422C60，令123r1得r，不符合题意，所以6的展开式的x1项是不存在的，故选D.答案D7(2018广东肇庆三模)(x2y)7的展开式中，系数最大的项是()A68y7 B112x3y4C672x2y5 D1344x2y5解析设第r1项的系数最大，又rZ，r5.系数最大的项为T6Cx225y5672x2y5.故选C.答案C8(2018衡水一模)已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数为()A24 B28 C36 D48解析按红红之间有蓝、无蓝这两类来分情况研究(1)当红红之间有蓝时，则有AA24种情况；(2)当红红之间无蓝时，则有CACC24种情况因此这五个人排成一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，共有242448种排法故选D.答案D9(2018广东珠海模拟)将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有()A480种 B360种 C240种 D120种解析根据题意，将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则必须有2个小球放入1个盒子，其余的小球各单独放入一个盒子，分2步进行分析：先将5个小球分成4组，有C10种分法；将分好的4组全排列，放入4个盒子，有A24种情况，则不同放法有1024240种故选C.答案C10(2018甘肃二诊)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有()A18种 B24种 C36种 D48种解析若甲、乙抢到的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AA12(种)；若甲、乙抢到的是一个6元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AA12(种)；若甲、乙抢到的是一个8元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AC6(种)；若甲、乙抢到的是两个6元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A6(种)，根据分类加法计数原理可得，共有36种情况，故选C.答案C11.(2018合肥市三模)某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5块区域，如图所示社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的)所选花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数为()A96 B114 C168 D240解析首先在a中种植，有4种不同方法，其次在b中种植，有3种不同方法，再次在c中种植，若c与b同色，则d有3种不同方法，若c与b不同色，c有2种不同方法，d有2种不同方法，最后在e中种植，有2种不同方法，所以不同的种植方法共有4313243222168(种)，故选C.答案C12(2018郑州市第二次质量预测)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为()A72 B120 C192 D240解析若将数字“124467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数，若末位数字为2，因为含有2个4，所以偶数有60(个)；若末位数字为6，同理偶数有60(个)；若末位数字为4，因为有两个相同数字4，所以偶数有54321120(个)综上可知，不同的偶数共有6060120240(个)答案D二、填空题13(2018海南省五校二模)从数字0,1,2,3,4中任意取出3个不重复的数字组成三位数，则组成的三位数中是3的倍数的有_个解析若取出的3个数字中包含0，则由数字0,1,2或0,2,4组成的三位数满足题意，共组成8个三位数；若取出的3个数字中不包含0，则由数字1,2,3或2,3,4组成的三位数满足题意，组成的三位数共有2A12(个)综上可知，共有20个三位数满足题意答案2014(2018东北三省四市二模)现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，若甲、乙分得的电影票连号，则共有_种不同的分法(用数字作答)解析电影票号码相邻只有4种情况，则甲、乙2人在这4种情况中选一种，共C种选法，将2张连号的票分给甲、乙，共有A种分法；其余3张票分给其他3个人，共有A种分法，根据分步乘法计数原理，可得共有CAA48(种)分法答案4815(2018湖北黄冈期末)设(1ax)2018a0a1xa2x2a2018x2018，若a12a23a32018a20182018a(a0)，则实数a_.解析已知(1ax)2018a0a1xa2x2a2018x2018，两边同时对x求导，得2018(1ax)2017(a)a12a2x3a3x22018a2018x2017，令x1得，2018a(1a)2017a12a23a32018a20182018a，又a0，所以(1a)20171，即1a1，故a2.答案216设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动，质点落在点(3,0)(允许重复过此点)处，则质点不同的运动方法共有_种(用数字作答)解析解法一：在x轴上，标出A(1,0)，B(2,0)，C(3,0)，D(4,0)，E(1,0)，依题意知，跳动4次后，只有在B点或D点可跳到C点，画出树状图，可得结果为5.OEOABCAOABCBABCCBCDC解法二：将向右跳一次记为1，向左跳一次记为1，需要其和为3，那么应为4个1,1个1，质点不同的运动方法共有C5种答案5
展开阅读全文