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第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式考纲解读1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式(重点、难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题预测2020年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值范围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等命题时常将不等式与函数的单调性相结合试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1两个实数比较大小的依据 2不等式的基本性质 3必记结论(1)ab，ab0.(2)a0bb0,0c.(4)0axb或axb0b0，m0，则(bm0)；0)4一元二次函数的三种形式(1)一般式：yax2bxc(a0)(2)顶点式：ya2(a0)(3)两根式：ya(xx1)(xx2)(a0)5三个二次之间的关系1概念辨析(1)abac2bc2.()(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()答案(1)(2)(3)(4) 2小题热身(1)设集合Mx|x23x40，Nx|0x5，则MN等于()A(0,4 B0,4)C1,0) D(1,0答案B解析因为Mx|1x4，Nx|0x5，所以MN0,4)(2)已知a，b，c满足cba，且acac Bc(ba)0Ccb20答案A解析因为cba，且ac0，c0.b的符号不确定，ba0，据此判断A成立，B，C，D不一定成立(3)设M2a(a2)，N(a1)(a3)，则有()AMN BMN CM0，故MN.(4)已知函数f(x)ax2ax1，若对任意实数x，恒有f(x)0，则实数a的取值范围是_答案4,0解析当a0时，f(x)10成立，当a0时，若对xR，f(x)0，须有解得4a0.综上知，实数a的取值范围是4,0题型 不等式性质的应用1若ab0，cd0，则一定有()A. B. C. D.答案D解析解法一：.故选D.解法二：依题意取a2，b1，c2，d1，代入验证得A，B，C均错误，只有D正确故选D.2已知等比数列an中，a10，q0，前n项和为Sn，则与的大小关系为_答案解析当q1时，3，5，所以0且q1时，0，所以.综上可知.3已知二次函数yf(x)的图象过原点，且1f(1)2,3f(1)4，求f(2)的取值范围解由题意知f(x)ax2bx，则f(2)4a2b，由f(1)ab，f(1)ab，设存在实数x，y，使得4a2bx(ab)y(ab)，即4a2b(xy)a(xy)b，所以解得所以f(2)4a2b(ab)3(ab)又3ab4,33(ab)6，所以6(ab)3(ab)10，即f(2)的取值范围是6,101判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断2比较两个数(式)大小的两种方法3求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径如举例说明3. 1若0，给出下列不等式：0；ab；ln a2ln b2.其中正确的不等式是()A B C D答案C解析因为0，所以ba|a|，所以|a|b0，ln a2b，可推出ab，显然有00，且a7，则()A77aa7aa7D77aa与7aa7的大小不确定答案C解析显然77aa0,7aa70，因为7a7a7a.当a7时，01,7a1，当0a1,7a0，7a1.综上知77aa7aa7.3若13，42，则|的取值范围是_答案(3,3)解析42，0|4，4|0.3|3.题型 不等式的解法1函数f(x)的定义域是()A(，1)(3，) B(1,3)C(，2)(2，) D(1,2)(2,3)答案D解析由题意得即解得1x0时，原不等式化为(x1)0，解得x或x1.当a1，即a2时，解得1x；当1，即a2时，解得x1满足题意；当a2，解得x1.综上所述，当a0时，不等式的解集为x|x1；当a0时，不等式的解集为x；当2a0时，不等式的解集为x；当a2时，不等式的解集为1；当a2时，不等式的解集为x.条件探究把举例说明2中的不等式改为“ax2(a1)x10，aR”，如何解答？解若a0，原不等式等价于x11.若a0，解得x1.若a0，原不等式等价于(x1)0.当a1时，1，(x1)1时，1，解(x1)0得x1；当0a1，解(x1)0得1x.综上所述，当a1；当0a1时，解集为x.1解一元二次不等式的四个步骤2分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解(1)0(0(0)；如巩固迁移2.(2)0(0)3.解含参数的一元二次不等式的一般步骤 1关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a()A. B. C. D.答案A解析由条件知x1，x2为方程x22ax8a20的两根，则x1x22a，x1x28a2.故(x2x1)2(x1x2)24x1x2(2a)24(8a2)36a2152，得a，故选A.2不等式1的解集为_答案x解析将原不等式移项通分得0，等价于解得x或x5.原不等式的解集为x.题型 二次不等式中的任意性与存在性角度1任意性与存在性1(1)若关于x的不等式x2axa0的解集为(，)，求实数a的取值范围；(2)若关于x的不等式x2axa3的解集不是空集，求实数a的取值范围解(1)设f(x)x2axa，则关于x的不等式x2axa0的解集为(，)f(x)0在(，)上恒成立f(x)min0，即f(x)min0，解得4a0(或用0)(2)设f(x)x2axa，则关于x的不等式x2axa3的解集不是空集f(x)3在(，)上能成立f(x)min3，即f(x)min3，解得a6或a2.角度2给定区间上的任意性问题2(1)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_(2)设函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围答案(1)(2)见解析解析(1)要满足f(x)x2mx10对于任意xm，m1恒成立，只需即解得m0.(2)要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)，即7m60，所以m，所以0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)，即m60，所以m6，所以m0，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m0在区间1,5上有解，则a的取值范围是_答案解析由a280，知方程x2ax20恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x2ax20必有一正根、一负根于是不等式在区间1,5上有解的充要条件是f(5)0，解得a，故a的取值范围为.2函数f(x)x2ax3.(1)当xR时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a4,6时，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围解(1)当xR时，x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，实数a的取值范围是6,2(2)当x2,2时，设g(x)x2ax3a0，分如下三种情况讨论(如图所示)：如图1，当g(x)的图象恒在x轴上方且满足条件时，有a24(3a)0，即6a2.如图2，g(x)的图象与x轴有交点，但当x2，)时，g(x)0，即即可得解得a.如图3，g(x)的图象与x轴有交点，但当x(，2时，g(x)0.即即可得7a6.综上，实数a的取值范围是7,2(3)令h(a)xax23.当a4,6时，h(a)0恒成立只需即解得x3或x3.实数x的取值范围是(，33，)
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