2019年高中数学 第1章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.3 充分条件和必要条件讲义（含解析）湘教版选修2-1.doc

11.3充分条件和必要条件读教材填要点充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题“若p，则q”和“若q，则p”都是真命题推出关系pqp qpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件p是q的充分必要条件，p和q称为互相等价小问题大思维1如果p是q的充分条件，则p是唯一的吗？提示：不唯一，如x3是x0的充分条件，x5，x10等都是x0的充分条件2若“xA”是“xB”的充要条件，则A与B的关系怎样？提示：AB.3p是q的充要条件，q是s的充要条件，p是s的充要条件吗？提示：是p是q的充要条件，pq.又q是s的充要条件，qs.故ps，即p是s的充要条件充分条件、必要条件的理解 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件：(1)若x1，则x24x30；(2)若f(x)x，则f(x)在(，)上为增函数；(3)若x为无理数，则x2为无理数；(4)若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等自主解答(1)当x1时，x24x31430，因此命题是真命题，即pq，故p是q的充分条件(2)易知函数f(x)x在(，)上是增函数，因此命题是真命题，即pq，故p是q的充分条件(3)当x时，x2()22不是无理数，因此命题是假命题，即p q，故p不是q的充分条件(4)两条垂直于x轴的直线平行，但是斜率都不存在，因此命题是假命题，即pq，故p不是q的充分条件p是q的充分条件是由命题“若p，则q”为真来定义的，因此理解时也需回归定义，从相应命题入手，若命题“若p，则q”为真，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若命题“若p，则q”为假，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？(1)若b2ac，则a，b，c成等比数列；(2)若有且只有一个实数，使ab，则ab；(3)若l，则直线l与平面所成角大小为0；(4)若函数f(x)ax(a0且a1)，则f(x)是单调增函数解：命题(2)(3)是真命题，命题(1)(4)是假命题，所以命题(2)(3)中的q是p的必要条件充分条件与必要条件的判断 (1)(2017天津高考)设xR，则“2x0”是“|x1|1”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)(2017北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn0”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(3)如果x，y是实数，那么“xy”是“cos xcos y”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件自主解答(1)由2x0，得x2，由|x1|1，得0x2.0x2x2，x2/ 0x2，故“2x0”是“|x1|1”的必要而不充分条件(2)mn，mnnn|n|2.当0，n0时，mn0.反之，由mn|m|n|cosm，n0cosm，n0m，n，当m，n时，m，n不共线故“存在负数，使得mn”是“mn0”的充分而不必要条件(3)命题“若xy，则cos xcos y”等价于命题“若cos xcos y，则xy”，这个命题是假命题，故xycos xcos y；命题“若cos xcos y，则xy”等价于命题“若xy，则cos xcos y”，这个命题是真命题，故cos xcos yxy.故“xy”是“cos xcos y”的必要不充分条件答案(1)B(2)A(3)C充要条件的判断方法(1)定义法：分清条件p和结论q：分清哪个是条件，哪个是结论；找推式：判断“pq”及“qp”的真假；下结论：根据定义下结论(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的、又便于判断真假的命题(3)集合法：写出集合Ax|p(x)及Bx|q(x)，利用集合之间的包含关系加以判断用集合法判断时，要尽可能用Venn图、数轴、直角坐标平面等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度2在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“ab”是“sin Asin B”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析：由正弦定理，得，故absin Asin B，选A.答案：A3指出下列各组命题中，p是q的什么条件(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；(2)p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0.解：(1)四边形的对角线相等 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，p是q的既不充分也不必要条件(2)(x1)2(y2)20x1且y2(x1)(y2)0，而(x1)(y2)0 (x1)2(y2)20，p是q的充分不必要条件充要条件的证明 求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.自主解答充分性：(由ac0推证方程有一正根和一负根)ac0.方程一定有两不等实根设为x1，x2，则x1x20，方程的两根异号即方程ax2bxc0有一正根和一负根必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac0)方程ax2bxc0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x20，即ac0.综上可知：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是acy，求证：0.证明：(1)必要性：由，得0，即y，得yx0.(2)充分性：由xy0及xy，得，即.综上所述，0.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路已知p：2x10，q：x22x1m20(m0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围巧思先求不等式的解集，然后根据充分条件以及必要条件的意义，将命题间的关系转化为集合间的关系即可求解妙解p：2x10.q：x22x1m20x(1m)x(1m)0(m0)1mx1m(m0) q是p的充分不必要条件，即x|1mx1mx|2x10故有或解得m3.又m0，所以实数m的取值范围为(0,31“x1”是“x22x10”的()A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分又不必要条件解析：因为x22x10有两个相等的实数根，为x1，所以“x1”是“x22x10”的充要条件答案：A2设集合AxR|x20，BxR|x0，CxR|x(x2)0，则“xAB”是“xC”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件解析：ABxR|x0或x2，CxR|x0或x2，ABC，xAB是xC的充分必要条件答案：C3设a，b是实数，则“ab0”是“ab0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件解析：特值法：当a10，b1时，ab0，ab0，故ab0ab0；当a2，b1时，ab0，但ab0，所以ab0 ab0.故“ab0”是“ab0”的既不充分又不必要条件答案：D4“a和b都是偶数”是“ab是偶数”的_条件解析：a和b都是偶数ab是偶数；ab是偶数 a和b都是偶数答案：充分不必要5设，为平面，m，n，l为直线，则对于下列条件：，l，ml；m，；，m；n，n，m.其中为m的充分条件的是_(将你认为正确的所有序号都填上)解析：由线面垂直的判定定理可知，为m的充分条件答案：6如果p：x(x3)0是q：2x3m的充分不必要条件，求实数m的取值范围解：p：x(x3)0，即0x3，q：2x3m，则x1”是“|x|1”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件解析：x1|x|1，而|x|1x1或x1”是“|x|1”的充分而不必要条件答案：A2设a，b为实数，则“0ab1”是“b”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件解析：一方面，若0ab1，则当a0时，0b，b不成立；另一方面，若b，则当a0时，ab1，0ab1不成立，故选D.答案：D3方程“ax22x10至少有一个正实根”的充要条件是()A1a1Ca1D1a0解析：a0时，方程ax22x10有一正根，排除A、D两项；a1时，方程化为x22x10，即(x1)20，x10.答案：C4使|x|x成立的一个必要不充分条件是()Ax0Bx2xClog2(x1)0D2x1解析：|x|xx0，选项A是充要条件选项C，D均不符合题意对于选项B，由x2x得x(x1)0，x0或x1.故选项B是使|x|x成立的必要不充分条件答案：B二、填空题5如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的_条件解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A/ B.又因否命题为真，所以逆命题为真，即BA，所以A是B的必要不充分条件答案：必要不充分6条件p：1xa，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是_解析：p：x1，若p是q的充分不必要条件，则pq，但qp，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a2且y3”是“xy5”的充要条件；b24ac0是一元二次不等式ax2bxc2且y3时，xy5成立，反之不一定，如x0，y6.所以“x2且y3”是“xy5”的充分不必要条件；不等式解集为R的充要条件是a0且b24ac0，y0.所以“lg xlg y0”成立，xy1必成立，反之不然因此“xy1”是“lg xlg y0”的必要不充分条件综上可知，真命题是.答案：8已知“1k0，解得1k1，所以1b2” 是“ab”的必要条件；(3)直线l1：axy3，l2：xbyc0，则“ab1”是l1l2的必要条件；(4)条件p：b0，条件q：函数f(x)ax2bxc是偶函数，则q是p的充分条件解：(1) m，(反例：m可能与平行)，“”不是“m”的充分条件(2)aba2b2，(反例：02但02b2”不是“ab”的必要条件(3)l1l2，l1的斜率为a，l2的斜率存在且与l1的斜率相等a，ab1.即“l1l2”ab1，“ab1”是“l1l2”的必要条件(4)f(x)ax2bxc为偶函数，由f(x)f(x)得b0.q是p的充分条件10是否存在实数p，使4xp0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由解：由x2x20，解得x2或x2或x1，由4xp0得B.当BA时，即1，即p4.此时x0，所以p的取值范围为4，)