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专题二三角函数与平面向量1(2016年山东)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2(1sin A)，则A()A. B. C. D.2已知向量a与b的夹角为，定义ab为a与b的“向量积”，且ab是一个向量，它的长度|ab|a|b|sin .若u(2,0)，uv(1，)，则|u(uv)|()A4 B. C6 D2 3(2017年广东揭阳二模)中国古代数学家赵爽设计的弦图图Z21(1)是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图Z21(2)所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为100，小正方形的面积为4，则图Z21(2)中菱形的一个锐角的正弦值为() (1) (2)图Z21A. B. C. D.4已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的最大值为_5如图Z22，已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_图Z226(2015年新课标)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_7(2017年广东广州一模)在ABC中， ACB60，BC1，ACAB，当ABC的周长最短时，BC的长是_8(2016年山东)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tan Atan B).(1)证明：ab2c；(2)求cos C的最小值9(2017年江西南昌二模)已知函数f(x)2sin xsin.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)锐角三角形ABC的角A，B，C所对边分别是a，b，c，角A的平分线交BC于点D，直线xA 是函数f(x)图象的一条对称轴，ADBD2，求边a.10(2015年安徽)在ABC中，A，AB6，AC3 ，点D在BC边上，ADBD，求AD的长专题二三角函数与平面向量1C解析：因为bc，所以由余弦定理，得a2b2c22bccos A2b22b2cos A2b2(1cos A)又因为a22b2(1sin A)，所以cos Asin A因为cos A0，所以tan A1.因为A(0，)，所以A.故选C.2D解析：由题意得vu(uv)(1，)，则uv(3，)，cosu，uv，则sinu，uv.由定义知，|u(uv)|u|uv|sinu，uv22 2 .故选D.3A解析：设围成弦图的直角三角形的三边长分别为a，b，c，cab，依题意，得c10，a2b2100，(ab)24，解得a8，b6.设小边b所对的角为，则sin ，cos ，sin 22sin cos .4.1解析：方法一，a，b是单位向量，|a|b|1.又ab0，ab.|ab|.|cab|2c22c(ab)2aba2b21.c22c(ab)10.2c(ab)c21.c212|c|ab|cos (是c与ab的夹角)c212 |c|cos 2 |c|.c22 |c|10.图D1111|c|1.|c|的最大值为1.方法二，建立如图D111所示的平面直角坐标系，由题意，知ab，且a与b是单位向量，可设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)cab(x1，y1)|cab|1，(x1)2(y1)21.即点C(x，y)的轨迹是以M(1,1)为圆心，1为半径的圆又|c|，|c|的最大值为|OM|1，即|c|max1.511解析：方法一，如图D112，以射线AB，AD为x轴，y轴的非负半轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t0,1则(t，1)，(0，1)所以(t，1)(0，1)1.因为(1,0)，所以(t，1)(1,0)t1.故的最大值为1.方法二，由图D112知，无论点E在哪个位置，在方向上的投影都是CB1，|11.当E运动到点B时，在方向上的投影最大即为DC1，()max|11.图D1126(，)解析：如图D113，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在BCE中，BC75，E30，BC2，由正弦定理，可得，即，解得BE；平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在BCF中，BBFC75，FCB30，由正弦定理，知，即，解得BF，所以AB的取值范围为(，)图D11371解析：设边AB，BC，AC所对边分别为c，a，b，依题意，有bc，a1，C60，由余弦定理，得c2a2b22abcos C，即c2a22a.化简，得c.而ABC的周长abca2ca.令ta1，则ABC的周长为3t2 ，当3t，即t，a1时，ABC的周长最短8(1)证明：由题意知，2.化简，得2(sin Acos Bsin Bcos A)sin Asin B.因为2sin(AB)2sin(C)2sin C，所以sin Asin B2sin C.由正弦定理，得ab2c.(2)解：由(1)知，c，所以 cos C.当且仅当ab时，等号成立故cos C的最小值为.9解：(1)因为f(x)2sin xsin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin.令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间是(kZ)(2)直线xA是函数f(x)图象的一条对称轴，则2Ak(kZ)A，kZ.由0A，得到A.所以BAD.由正弦定理，得sin B.所以B，C，CDA.所以ACAD2，DC2ADcos.所以aBDDC.10解：如图D114，设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理，得图D114a2b2c22bccos BAC(3 )26223 6cos 1836(36)90.所以a3.又由正弦定理，得sin B.由题设，知0B，所以cos B.在ABD中，因为ADBD，所以ABDBAD.所以ADB2B.故由正弦定理，得AD.
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