阶线性微分方程

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,www.,cec,.,edu,.,cn,第二节,一阶线性微分方程,第二节,一阶线性微分方程,4.2.1 分离变量法,4.2.2 一阶线性微分方程,4.2.1 分离变量法,一、引例,二、概念和公式的引出,三、案例,一、引例,死亡年代的测定,遗体死亡之后，体内碳,14,的含量就不断减少，已知碳,14,的衰变速度与当时体内碳,14,的含量成正比，试建立任意,时刻遗体内碳,14,含量应满足的方程。,解,设 时刻遗体内碳,14,的含量为,根据题意有,(,，常数,),等式右端的负号是由于 随时间 的增加而减少。,一阶微分方程,二,、,概念和公式的引出,变量可分离方程,形如,:,的方程称为变量可分离方程，其特点是方程的右端只含 的函数,与只含 的函数的乘积。,这类方程的特点是经过适当的变换，可以将两个不同变量的函数,与微分分离到方程的两端。具体解法如下,:,(1),分离变量得,(2),两边同时积分得,得解,求方程满足初始条件 的特解，可将 代入通解确定 。,研究,三、案例,案例1,第二宇宙速度,地球对物体的引力 与物体的质量 以及物体离地心的距离 间,的关系为 ，这里 是重力加速度，为地球半径。验证,:,如果,物体以 的初速度发射，则永远不会返回地球。,解,由牛顿第二定律 ，其中 ，有,故有,变量分离后为,两边积分,得,因为当 时，代入上式得 得,由此可见，当 很大时，很小，当 时，速度 永,远大于,0,，所以物体永远不会返回地面。,案例,2,物体运动,一物体在力,F,的作用下运动，所受阻力与其运动的速度成正比，应用,若物体的质量,m=5kg，,所受力为,F=49N，,比例系数,k=0.2，,则物体运动,分离变量，得,:,满足以下微分方程,:,牛顿运动定律，有,因,t=0,时，,v=0，,代入以上方程，得,积分，得,:,解出,所以 ，,当,t=5s，,有,案例3,环境污染问题,某水塘原有吨清水,(,不含有害杂质,),，从时间 开始，含有,有害杂质的浊水流入该水塘流入的速度为,2,吨分，在塘中充分,混合,(,不考虑沉淀,),后又以,2,吨分的速度流出水塘问经过多长时,间后塘中有害物质的浓度达到？,解,设在 时刻塘中有害物质的含量为 ，此时塘中有害物质,=,单位时间内有害物质的变化量,的浓度为 ，于是有,=(,单位时间内流进塘内有害物质的量,)-(,单位时间内流出塘的有害物质的量,),即：,上式是可分离变量方程，分离变量并积分得,:,由初始条件 ，得 ，故,塘中有害物质浓度达到 时，应有,(吨),，这时 应满足,由此解得,(分),，即经过,670.6,分钟后，塘中有害物质浓度达到,4%,，,由于 ，塘中有害物质的最终浓度为,5%。,案例4,刑事侦察中死亡时间的鉴定,牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气,温度之差成正比，现将牛顿冷却定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴,定。当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的,37,按照牛顿冷却定律,开始下降，如果两个小时后尸体温度变为,35,，并且假定周围空气的,温度保持,20,不变，试求出尸体温度随时间的变化规律。又如果尸体,发现时的温度是,30,，时间是下午,4,点整，那么谋杀是何时发生的？,解,设尸体的温度为 ，其冷却速度为 ，根据题意，,即得微分方程模型,其中 是常数，分离变量并求解得,:,代入初值条件 ，求得 。于是得该初值问题的解为,为求出 值，根据两小时后尸体温度为,35,这一条件，有,求得 ，于是温度函数为,将 代入式,(6-21),求解，有 ，即得 （小时）。,于是，可以判定谋杀发生在下午,4,点尸体被发现前的 小时，,即8,小时,24,分钟，所以谋杀是在上午,7点36,分发生的。,4.2.2,一阶线性微分方程,一、引例,二、概念和公式的引出,三、案例,一、引例,电路问题,一个,RL,串联回路中有电源 （单位：伏），电阻,10,欧姆，电感,0.5,亨利和初始电流,6,安培，求在任何时刻,t,电路,中的电流。,解,这里 ，由回路电流定律，得,二、概念和公式的引出,一阶线性微分方程,形如,的方程称为一阶线性微分方程。其特点是对于未知函数 及,线性,线性,其导数是一次方程。如果 ，方程,(6-2),称为,齐次的,；如,果 ，方程,(6-2),称为,非齐次的,。,下面介绍用,“,拉格朗日常数变易法,”,求一阶线性非齐次微分方程通解的步骤,:,第一步 写出对应的齐次方程，并用分离变量法求出通解,第二步 将齐次方程中的 换成未知函数 ，即令,第三步 将所令能解代入非齐次方程，得通解,三、案例,案例1,案例的求解,解,可知引例中的方程是线性的,根据拉格朗日常数变异法求解得,得到,:,当 时,，于是,在任何时刻 的电流是,案例2,解,一个,RC,回路中有电源,(,单位是伏,),电阻,100,欧姆,电容,0.01,法拉。电容上没有初始电量。求在任何时刻,电路中的电流。,我们先求电量。这里 于是由方程有,此方程是线性的,由拉格朗日常数变异法得,于是,当 时,因此,得,再由方程 得,