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第二讲点、直线、平面之间的位置关系(40分钟70分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.给出下列命题:在空间中,垂直于同一个平面的两个平面平行;设l,m是不同的直线,是一个平面,若l,lm,则m;过一点有且只有一条直线与已知平面垂直;a,b是两条异面直线,P为空间中一点,过点P总可以作一个平面与a,b之一垂直,与另一个平行.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.对于,借助正方体模型可知错误;对于,若l,lm,则m,显然正确;对于,显然过一点必存在一条直线与已知平面垂直,如果过一点能够作两条直线与已知平面垂直,则根据直线与平面垂直的性质定理可知,这两条直线平行,但根据已知这两条直线相交,所以正确;对于,当异面直线a,b垂直时才可以作出满足要求的平面,所以错误.2.如图,透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面四个命题:没有水的部分始终呈棱柱形;水面EFGH所在四边形的面积为定值;棱A1D1始终与水面所在平面平行;当容器倾斜如图所示时,BEBF是定值.其中正确命题的个数是()A.1 B.2C.3 D.4【解析】选C.由题图,显然是正确的,是错误的;对于,因为A1D1BC,BCFG,所以A1D1FG且A1D1平面EFGH,所以A1D1平面EFGH(水面).所以是正确的;对于,因为水是定量的(定体积V),所以SBEFBC=V,即12BEBFBC=V.所以BEBF=2VBC(定值),即是正确的,故选C.3.将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2),则在空间四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是()A.相交且垂直B.相交但不垂直C.异面且垂直D.异面但不垂直【解析】选C.在题图1中的等腰直角三角形ABC中,斜边上的中线AD就是斜边上的高,则ADBC,翻折后如题图2,AD与BC变成异面直线,而原线段BC变成两条线段BD,CD,这两条线段与AD垂直,即ADBD,ADCD,且BDCD=D,故AD平面BCD,所以ADBC.4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1C1的中点,则异面直线AE和CF所成的角的余弦值为()A.32 B.33010C.3010 D.12【解析】选C.如图,设正方体的棱长为a,取线段AB的中点M,连接CM,MF,EF.则MFAE,所以CFM即为所求角或所求角的补角.在CFM中,MF=CM=52a,CF=62a,根据余弦定理可得cos CFM=3010,所以可得异面直线AE与CF所成的角的余弦值为3010.5.如图,已知一个八面体的各条棱长均为1,四边形ABCD为正方形,则下列命题中的假命题是()A.不平行的两条棱所在的直线所成的角是60或90B.四边形AECF是正方形C.点A到平面BCE的距离为64D.该八面体的顶点在同一个球面上【解析】选C.因为八面体的各条棱长均为1,四边形ABCD为正方形,相邻两条棱所在的直线所成的角是60,而AE与CE所成的角为90,A正确;四边形AECF各边长均为1,AC=EF=2,所以四边形AECF是正方形,B正确;DB=2,该八面体的顶点在同一个球面上,D正确;设A到平面BCE的距离为h,由VE-ABCD=2VA-BCE,得131122=21334h,解得h=63,C错误.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知a,b,c为三条不同的直线,且a平面,b平面,=c.给出下列命题:若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交;若a不垂直于c,则a与b一定不垂直;若ab,则必有ac;若ab,ac,则必有.正确的是_.(填序号)【解析】中若c与a,b都不相交,则ca,cb,故ab,这与a与b是异面直线矛盾,正确;中若,bc,则b,ba,这与a与c是否垂直无关,错;中若ab,则a,又=c,所以ac,正确;中当bc时,与可能不垂直,错.答案:7.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是ABC为直角的等腰直角三角形, AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=_时,CF平面B1DF.【解析】因为B1D平面A1ACC1,所以CFB1D,所以为了使CF平面B1DF,只要使CFDF(或CFB1F),设AF=x,则有CD2=DF2+FC2,所以x2-3ax+2a2=0,所以x=a或x=2a.答案:a或2a8.如图所示,在直角梯形ABCD中,BCDC,AEDC,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,下列说法正确的是_(填上所有正确的序号).不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN平面DEC;不论D折至何位置都有MNAE;不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MNAB.【解析】取AE的中点F,连接MF,NF,则MFDE,NFABCE,从而平面MFN平面DEC,故MN平面DEC,正确;又AEMF,AENF,所以AE平面MFN,从而AEMN,正确;又MN与AB是异面直线,则错误.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)9.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA=PD,BAD=60,E是AD的中点,点Q在侧棱PC上.(1)求证:AD平面PBE.(2)若Q是PC的中点,求证:PA平面BDQ.【解析】(1)由E是AD的中点,PA=PD可得ADPE.又底面ABCD是菱形,BAD=60,所以AB=BD,又E是AD的中点,所以ADBE,又PEBE=E,所以AD平面PBE.(2)连接AC,交BD于点O,连接OQ.因为O是AC的中点,Q是PC的中点,所以OQPA,又PA平面BDQ,OQ平面BDQ,所以PA平面BDQ.10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PABD.(1)求证:PB=PD.(2)若E,F分别为PC,AB的中点,EF平面PCD,求三棱锥D-ACE的体积.【解析】(1)因为底面ABCD是正方形,所以ACBD且O为BD的中点.又PABD,PAAC=A,所以BD平面PAC,由于PO平面PAC,故BDPO.又BO=DO,所以PB=PD.(2)如图,设PD的中点为Q,连接AQ,EQ,EO,因为EQ=12CD=AF,所以AFEQ为平行四边形,所以EFAQ,因为EF平面PCD,所以AQ平面PCD,所以AQPD,又PD的中点为Q,所以AP=AD=2.由AQ平面PCD,可得AQCD,又ADCD,AQAD=A,所以CD平面PAD,所以CDPA,又BDPA,BDCD=D,所以PA平面ABCD.故VD-ACE=VE-ACD=1312PASACD=131221222=26,故三棱锥D-ACE的体积为26.11.如图,四边形ABCD为正方形,EA平面ABCD,EFAB,AB=4,AE=2,EF=1.(1)求证:BCAF.(2)若点M在线段AC上,且满足CM=14CA,求证:EM平面FBC.【解析】(1)因为EFAB,所以EF与AB确定平面EABF,因为EA平面ABCD,所以EABC.由已知得ABBC且EAAB=A,所以BC平面EABF.又AF平面EABF,所以BCAF.(2)如图,过点M作MNBC,垂足为点N,连接FN,则MNAB.因为CM=14AC,所以MN=14AB.又EFAB且EF=14AB,所以EFMN,所以四边形EFNM为平行四边形,所以EMFN.又FN平面FBC,EM平面FBC,所以EM平面FBC.(20分钟20分)1.(10分)已知长方形ABCD中,AB=3,AD=4.现将长方形沿对角线BD折起,使AC=a,得到一个四面体A-BCD,如图所示.(1)试问:在折叠的过程中,直线AB与CD能否垂直?若能,求出相应a的值;若不能,请说明理由.(2)求四面体A-BCD体积的最大值.【解析】(1)直线AB与CD能够垂直.因为ABAD,若ABCD,ADCD=D,则有AB平面ACD,从而ABAC.此时,a=BC2-AB2=16-9=7,即当a=7时,有ABCD.(2)由于BCD面积为定值,所以当点A到平面BCD的距离最大,即当平面ABD平面BCD时,该四面体的体积最大,此时,过点A在平面ABD内作AHBD,垂足为H,则有AH平面BCD,AH就是该四面体的高.在ABD中,AH=ABADBD=125,SBCD=1234=6,此时VA-BCD=13SBCDAH=245,即为该四面体体积的最大值.2.(10分)如图1,在高为2的梯形ABCD中,ABCD,AB=2,CD=5,过A,B分别作AECD,BFCD,垂足分别为E,F.已知DE=1,将梯形ABCD沿AE,BF同侧折起,得空间几何体ADE-BCF,如图2.(1)若AFBD,证明:BDE为直角三角形.(2)在(1)的条件下,若DECF,求三棱锥B-ACD的体积.【解析】(1)由已知得四边形ABEF是正方形,且边长为2,如图,取BE与AF的交点为O,则AFBE,由已知得AFBD,BEBD=B,所以AF平面BDE,又DE平面BDE,所以AFDE,又AEDE,AEAF=A,所以DE平面ABFE,又BE平面ABFE,所以DEBE,所以BDE为直角三角形.(2)如图,取AC中点G,连接OG,DG,则OG12CF,由已知得DE12CF,所以OGDE,则四边形DEOG为平行四边形,所以OEGD,即BEGD,又BE平面ACD,GD平面ACD,所以BE平面ACD,故三棱锥B-ACD的体积VB-ACD=VE-ACD,因为AEDE,AEEF,DEEF=E,所以AE平面CDEF,即AE平面CDE,所以AE为三棱锥A-CDE的高,所以VE-ACD=VA-CDE=13SCDEAE=13SDEFAE,由SDEF=12DEEF=1212=1,得VA-CDE=1312=23,所以三棱锥B-ACD的体积为23.
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