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第3章 空间向量与立体几何1空间向量基本定理设e1，e2，e3是空间中的三个不共面的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：vxe1ye2ze3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果vxe1ye2ze3xe1ye2ze3，则xx，yy，zz.2空间向量的坐标运算公式(1)加减法：(x1，y1，z1)(x2，y2，z2)(x1x2，y1y2，z1z2)(2)与实数的乘法：a(x，y，z)(ax，ay，az)(3)数量积：设v(x，y，z)，则|v|.(4)向量的夹角：cos .3空间向量在立体几何中的应用设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为u，则线线平行lmabakb，kR线面平行lauau0 面面平行uvukv，kR线线垂直lmabab0线面垂直lauaku，kR面面垂直uv uv0线线夹角l，m的夹角为，cos 线面夹角l，的夹角为，sin 面面夹角，的夹角为，cos 其中，线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合空间向量与空间位置关系例1如图所示，已知PA平面ABCD，ABCD为矩形，PAAD，M，N分别为AB，PC的中点求证：(1)MN平面PAD；(2)平面PMC平面PDC.证明如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz.设PAADa，ABb.则有，(1)P(0,0，a)，A(0,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，B(b,0,0)M，N分别为AB，PC的中点，M，N.，(0,0，a)，(0，a,0)，.又MN平面PAD，MN平面PAD.(2)由(1)可知：(b，a，a)，(0，a，a)设平面PMC的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则令z1b，则n1(2a，b，b)设平面PDC的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则令z21，则n2(0,1,1)，n1n20bb0，n1n2.平面PMC平面PDC.(1)用向量法证明立体几何中的平行或垂直问题，主要应用直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行或垂直的定理(2)用向量法证明平行或垂直的步骤：建立空间图形与空间向量的关系(通过取基或建立空间直角坐标系的方法)，用空间向量或以坐标形式表示问题中涉及的点、直线和平面；通过向量或坐标，研究向量之间的关系；根据的结论得出立体几何问题的结论(3)在用向量法研究线面平行或垂直时，上述判断方法不唯一，如果要证直线l平面，只需证la，l，其中l是直线l的方向向量，a；如果要证l，只需在平面内选取两个不共线向量m，n，证明即可1.如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O平面GBD.证明：法一：设a，b，c，则ab0，bc0，ac0，()c(ab)，ba， ( )(ab)c，(ba)c(ba)(ab)(ba)cbca(b2a2)(|b|2|a|2)0，.A1OBD.同理可证.A1OOG.又OGBDO，A1O平面GBD.法二：如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2，2,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)，O(1，1,0)，所以(1,1，2)，(2,2,0)， (0,2,1)，则(1,1，2)(2,2,0)0，(1,1，2)(0,2,1)0，所以，.即A1ODB，A1ODG.又DBDGD，故A1O平面GBD.法三：以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)，O(1,1,0)，所以(1,1，2)，(2,2,0)，(0,2,1)设向量n(x，y，z)为平面GBD的一个法向量，则n，n.即n0，n0.所以令x1，则y1，z2，所以n(1，1,2)所以n.即n.所以A1O平面GBD.2.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点(1)用向量法证明平面A1BD平面B1CD1；(2)用向量法证明MN平面A1BD.证明：(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，又，BDB1D1.同理可证A1BD1C，又BDA1BB，B1D1D1CD1，所以平面A1BD平面B1CD1.(2)()().设a，b，c，则(abc)又ba，(abc)(ba)(b2a2cbca)又A1AAD，A1AAB，cb0，ca0.又|b|a|，b2a2.b2a20.0.MNBD.同理可证MNA1B.又A1BBDB，MN平面A1BD.空间向量与空间角例2四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，PAAD2，点M，N分别在棱PD，PC上，且PC平面AMN.(1)求AM与PD所成的角；(2)求二面角PAMN的余弦值；(3)求直线CD与平面AMN所成角的余弦值解建立如图所示的空间直角坐标系A(0,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，D(0，2,0)，(2,2，2)，(0,2，2)设M(x1，y1，z1)，则(x1，y1，z12)(0,2，2)x10，y12，z122.M(0,2，22)PC平面AMN，0.(2,2，2)(0,2，22)042(22)0.M(0,1,1)设N(x2，y2，z2)，t，则(x2，y2，z22)t(2,2，2)x22t，y22t，z22t2.N(2t,2t,22t)，0.(2t,2t,22t)(2,2，2)0.4t4t2(22t)0，t.N.(1)cos，0，AM与PD所成角为90.(2)AB平面PAD，PC平面AMN，分别是平面PAD，平面AMN的法向量(2,0,0)(2,2，2)4，|2，|2，cos，.二面角PAMN的余弦值为.(3)是平面AMN的法向量，CD与平面AMN所成角即为CD与PC所成角的余角(2,0,0)(2,2，2)4，cos，.直线CD与PC所成角的正弦值为，即直线CD与平面AMN所成角的余弦值为.(1)求异面直线所成的角：设两异面直线的方向向量分别为n1，n2，那么这两条异面直线所成的角为n1，n2或n1，n2，cos |cosn1，n2|.(2)求二面角的大小：如图，设平面，的法向量分别为n1，n2.因为两平面的法向量所成的角就等于平面，所成的锐二面角，所以cos |cosn1，n2|.(3)求斜线与平面所成的角：如图，设平面的法向量为n1，斜线OA的方向向量为n2，斜线OA与平面所成的角为，则sin |cosn1，n2|.3.如图所示，在矩形ABCD中，AB4，AD3，沿对角线AC折起，使D在平面ABC上的射影E恰好落在AB上，求这时二面角BACD的余弦值解：如图所示，作DGAC于G，BHAC于H.在RtADC中，AC5，cosDAC.在RtAGD中，AGADcosDAC3，DG .同理，cosBCA，CH，BH.()0，()()330.又|，cos，.因此所求二面角的余弦值为.4.如图，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱(1)求证：BD平面ACC1A1；(2)二面角C1BDC的大小为60，求异面直线BC1与AC所成角的余弦值解：(1)证明：建立空间直角坐标系Dxyz，如图设ADa，DD1b，则有D(0,0,0)，A(a，0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，C1(0，a，b)，(a，a,0)，(a，a,0)，(0,0，b)，0，0.BDAC，BDCC1.又AC，CC1平面ACC1A1，且ACCC1C，BD平面ACC1A1.(2)设BD与AC相交于点O，连接C1O，则点O的坐标为，.0，BDC1O.又BDCO，C1OC是二面角C1BDC的平面角，C1OC60，tanC1OC，ba.(a，a,0)，(a,0，b)，cos，.异面直线BC1与AC所成角的余弦值为.(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知l，且l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为，则m()A8B5C5D8解析：l，直线l的方向向量与平面的法向量垂直220，m8.答案：A2在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，若BCD是正三角形，且E为其中心，则的化简结果为()A B2C0D2解析：如图，F是BC的中点，E是DF的三等分点，.，则0.答案：C3在以下命题中，不正确的个数为()|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；若ab，则存在唯一的实数，使ab；对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则P，A，B，C四点共面；若a，b，c为空间的一组基，则ab，bc，ca构成空间的另一组基； |(ab)c|a|b|c|.A2B3C4D5解析：|a|b|ab|a与b的夹角为，故是充分不必要条件，故不正确；b需为非零向量，故不正确；因为2211，由共面向量定理知，不正确；由基的定义知正确；由向量的数量积的性质知，不正确答案：C4直三棱柱ABCA1B1C1中，若a，b，c，则()AabcBabcCabcDabc解析：()bac.答案：D5已知四面体ABCD的各边长都是a，点E，F分别为BC，AD的中点，则的值是()Aa2B.a2C.a2D.a2解析：由已知得ABCD为正四面体，因为()，所以()()(a2cos 60a2cos 60)a2.答案：C6已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与SD所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设A(1,0,0)，则B(0,1,0)，D(0，1,0)，AB，SD，SO1，S(0,0,1)，E，1，(0，1，1)cos， ，AE与SD所成角的余弦值为.答案：C7在平行六面体ABCDABCD中，若x2y3z，则xyz等于()A1B.C.D.解析：如图，所以x1,2y1，3z1，所以x1，y，z，因此xyz1.答案：B8.如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC，ABAC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为()A.B.C.D.解析：以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1ABAC2，则(0,2,1)，Q(1,1,0)，P(1,0,2)，(0，1,2)，所以0，所以QP与AM所成角为.答案：D9如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.B.C.D.解析：以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，(2,0,1)，(2,2,0)，且为平面BB1D1D的一个法向量cos，.BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.答案：D10已知(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为()A.B.C.D.解析：Q在OP上，可设Q(x，x,2x)，则(1x，2x,32x)， (2x,1x,22x)6x216x10，x时，取得最小值，这时Q.答案：C11.如图，在四面体PABC中，PC平面ABC，ABBCCAPC，那么二面角BAPC的余弦值为()A.B.C.D.解析：如图，作BDAP于点D，作CEAP于点E.设AB1，则易得CE，EP，PAPB，可以求得BD，ED.，2222222，cos，.故二面角BAPC的余弦值为.答案：C12.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1底面ABC，且底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，则平面AB1O1与平面BC1O间的距离为()A.B.C.D.解析：如图，连接OO1，根据题意，OO1底面ABC，则以O为原点，分别以OB，OC，OO1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系AO1OC1，OBO1B1，AO1O1B1O1，OC1OBO，平面AB1O1平面BC1O.平面AB1O1与平面BC1O间的距离即为O1到平面BC1O的距离O(0，0,0)，B(，0,0)，C1(0,1,2)，O1(0,0,2)，(，0,0)，(0,1,2)，(0,0,2)，设n(x，y，z)为平面BC1O的法向量，则n0，x0.又n0，y2z0，可取n(0,2，1)点O1到平面BC1O的距离记为d，则d.平面AB1O1与平面BC1O间的距离为.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13若空间三点A(1,5，2)，B(2,4,1)，C(p,3，q)共线，则pq_.解析：由已知得(1，1,3)，(p1，2，q2)，因为，所以，所以p3，q4，故pq7.答案：714.已知空间四边形OABC，如图所示，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且3，现用基向量，表示向量，并设xyz，则x，y，z的和为_解析： ，x，y，z.xyz.答案：15已知空间三点O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,1)，在直线OA上有一点H满足BHOA，则点H的坐标为_解析：由(1,1,0)，且点H在直线OA上，可设H(，0)，则(，1，1)又BHOA，0，即(，1，1)(1,1,0)0，即10，解得，H.答案：16.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，ACB90，侧棱AA12，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.则A1B与平面ABD所成角的正弦值为_解析：以C为坐标原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，CC1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示设CACBa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，A1(a,0,2)，D(0,0,1)，E，G，(0，a,1)点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，平面ABD，0，解得a2.，(2，2,2)，平面ABD，为平面ABD的一个法向量又cos，A1B与平面ABD所成角的正弦值为.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知向量a(1，3,2)，b(2,1,1)，点A(3，1,4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得b？(O为原点)解：(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab|5.(2)t(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)若b，则b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t，因此存在点E，使得b，此时E点坐标为.18(本小题满分12分)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABADAA11，BAD60，BAA1DAA145.(1)求|；(2)求证：BD平面ACC1A1.解：(1)|2()22222()11122，|.(2)证明：，()0，BDAA1，又BDAC，AA1ACA，所以BD平面ACC1A1.19(本小题满分12分)如图，已知点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，PDA60.(1)求DP与CC1所成角的大小；(2)求DP与平面AA1D1D所成角的大小解：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz.则(1,0,0)，(0,0,1)连接BD，B1D1.在平面BB1D1D中，延长DP交B1D1于H.设(m，m,1)(m0)，由已知，60，由|cos，可得2m.解得m，所以.(1)因为cos，所以，45.即DP与CC1所成的角为45.(2)平面AA1D1D的一个法向量是(0,1,0)因为cos，所以，60，可得DP与平面AA1D1D所成的角为30.20(本小题满分12分)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论解：设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1.如图所示，以，为单位正交基底建立空间直角坐标系(1)依题意，得B(1,0,0)，E，A(0,0,0)，D(0,1,0)，所以，(0,1,0)在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为AD平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量，设直线BE和平面ABB1A1所成的角为，则sin .即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.(2)依题意，得A1(0,0,1)，(1,0,1)，.设n(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n0，n0，得所以xz，yz.取z2，得n(2,1,2)设F是棱C1D1上的点，连接B1F，则F(t,1,1)(0t1)，又B1(1,0,1)，所以(t1,1,0)而B1F平面A1BE，于是B1F平面A1BEn0(t1,1,0)(2,1,2)02(t1)10tF为C1D1的中点这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F平面A1BE.21(本小题满分12分)(2017全国卷)如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，ABBD.(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值解：(1)证明：由题设可得，ABDCBD，从而ADDC.又ACD是直角三角形，所以ADC90.取AC的中点O，连接DO，BO，则DOAC，DOAO.又因为ABC是正三角形，所以BOAC.所以DOB为二面角DACB的平面角在RtAOB中，BO2AO2AB2.又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90.所以平面ACD平面ABC.(2)由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(1,0,0)，B(0，0)，C(1,0,0)，D(0,0,1)由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E.故(1,0,1)，(2,0,0)，.设n(x1，y1，z1)是平面DAE的法向量，则即可取n.设m(x2，y2，z2)是平面AEC的法向量，则即可取m(0，1，)则cosn，m.由图知二面角DAEC为锐角，所以二面角DAEC的余弦值为.22.(本小题满分12分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置，OD.(1)证明：DH平面ABCD；(2)求二面角BDAC的正弦值解：(1)证明：由已知得ACBD，ADCD.又由AECF，得，故ACEF.因此EFHD，从而EFDH.由AB5，AC6，得DOBO4.由EFAC，得.所以OH1，DHDH3.于是DH2OH2321210DO2，故DHOH.又DHEF，而OHEFH，所以DH平面ABCD.(2)如图，以H为坐标原点， 的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Hxyz，则H(0,0,0)，A(3，1,0)，B(0，5,0)，C(3，1,0)，D(0,0,3)，故(3，4,0)，(6,0,0)，(3,1,3)设m(x1，y1，z1)是平面ABD的法向量，则即所以可取m(4,3，5)设n(x2，y2，z2)是平面ACD的法向量，则即所以可取n(0，3,1)于是cosm，n.故sinm，n.因此二面角BDAC的正弦值是.
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