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73组 合第一课时组合与组合数公式及其性质读教材填要点1组合从n个不同的元素中取出m(mn)个不同的元素，不论次序地构成一组，称为一个组合，我们用符号C表示所有不同的组合个数，称C为从n个不同的元素中取m个元素的组合数2组合数有关公式(1)C,0mn.(2)C,0mn.3组合数的性质(1)CC，(2)如果CC，则mk或者mnk，(3)CCC.小问题大思维1“abc”和“acb”是相同的排列还是相同的组合？提示：由于“abc”与“acb”的元素相同，但排列的顺序不同，所以“abc”与“acb”是相同的组合，但不是相同的排列2如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？提示：区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素是否与顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题3“组合”和“组合数”是同一个概念吗？有什么区别？提示：“组合”与“组合数”是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取m(mn)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数.组合的概念例1判断下列问题是排列问题，还是组合问题(1)从1,2,3，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1,2,3，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)从a，b，c，d四名学生中选两名去完成同一份工作，有多少种不同的选法？解(1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题(3)两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题区分排列与组合的方法区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果解出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题1判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)设集合Aa，b，c，d，e，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？解：(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题(3)因为一种分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题组合数公式及其性质应用例2(1)求值：CC；(2)求证：CC.解(1)解得4n5.又因为nN，所以n4或n5.当n4时，原式CC5，当n5时，原式CC16.(2)证明：因为C，C，所以CC.关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用CC进行计算(2)涉及字母的可以用阶乘式C计算(3)计算时应注意利用组合数的性质CC简化运算2(1)计算CCC；(2)计算CCCCCC；(3)解方程：CC；(4)解不等式：CCC.解：(1)原式CC1564 9505 006.(2)原式2(CCC)2(CC)232.(3)CC，x2x5x5或x2x5x516. 解得x1或x5.解得x3或x7.经检验知，原方程的解是x1或x3.(4)原不等式可化为CCC，即CC，.30(m4)(m5)即m29m100，1m10.又m7且mN*，m7或8或9.组合的简单应用例3在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加解(1)C792种不同的选法；(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C36种不同的选法；(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C126种不同的选法；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C3种选法，再从另外的9人中选4人有C种选法共有CC378种不同的选法解简单的组合应用题，只需按照组合的定义，直接列出组合数即可，注意分清元素的总个数及取出元素的个数，必要时，需要分清完成一件事情需要分类还是分步在分类和分步时，注意有无重复或遗漏3现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C45.(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C种方法；第2类，选出的2名是女教师有C种方法根据分类加法计数原理，共有CC15621种不同的选法(3)分步：首先从6名男教师中任选2名，有C种选法，再从4名女教师中任选2名，有C种选法，根据分步乘法计数原理，所以共有CC90种不同的选法.解题高手妙解题化简：AAAA.尝试 巧思由于ACA(n2)，所以原式可变形为(CCCC)A，然后利用组合数性质CCC求解即可妙解原式CACACA(CCC)A(CCCCCC)A(CCCCC)A(CCCC)A(CC)A(C1)A2C2333 298.1以下四个问题，属于组合问题的是()A从3个不同的小球中，取出2个排成一列B老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D从13位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地解析：选C由组合的定义可知，选项C属于组合问题2已知C10，则n的值为()A10B5C3 D4解析：选BC10，n5(n4舍去)3异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是()A20 B9CC DCCCC解析：选B分两类：第一类，在直线a上任取一点，与直线b可确定C个平面；第二类，在直线b上任取一点，与直线a可确定C个平面故可确定CC9个不同的平面4若C，C，C成等差数列，则n_.解析：由已知得2CCC，所以2.整理得n221n980，解得n7或n14.答案：7或145从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则mn_.解析：mC，nA，mn.答案：6已知6C10A，求x的值解：原方程变为(x7)，即x29x220.解得x111，x22(舍去)，所以x的值为11.一、选择题1计算：CCC()A120B240C60 D480解析：选ACCC120.2已知平面内A、B、C、D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为()A3 B4C12 D24解析：选B由于与顺序无关，所以是组合问题，共有C4个3将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A12种 B10种C9种 D8种解析：选A先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有CC12种安排方案4某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是()ACC BCCCC DAA解析：选B按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有CC种抽法二、填空题5若CCC，则n_.解析：CCC，即CCCC，所以n178，即n14.答案：146过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有_对解析：三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C312个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线则共有12336对答案：367对所有满足1mn5的自然数m、n，方程x2Cy21所表示的不同椭圆的个数为_解析：1mn5，C有C，C，C，C，C，C，C，C，C，C共10个其中CC，CC，CC，CC，所以x2Cy21能表示的不同椭圆有6个答案：68不等式Cn5的解集为_解析：由Cn5，得n5，n23n100.解得2n3C.解：(1)原方程等价于m(m1)(m2)6，4m3，m7.(2)由已知得：x8，且xN，C3C，.即，x3(9x)，解得x，x7,8.原不等式的解集为7,810袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球(1)共有多少种不同结果？(2)取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个？(3)取出的3球中至少有2个白球的结果有几个？解：(1)从4个白球，5个黑球中任取3个的所有结果有C84个不同结果(2)设“取出3球中有2个白球，1个黑球”的所有结果组成的集合为A，A所包含的种数为CC.所以共有CC30种不同的结果(3)设“取出3球中至少有2个白球”的所有结果组成集合为B，B包含的结果数是CCC.所以共有CCC34种不同的结果第二课时组合的综合应用有限制条件的组合问题例1某医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？解(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除去外科专家的6名专家中任选4名，有C种选法，所以共有CC90(种)抽调方法(2)“至少”的含义是“不低于”，有两种解答方法：法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：选2名外科专家，共有CC种选法；选3名外科专家，共有CC种选法；选4名外科专家，共有CC种选法；根据分类加法计数原理，共有CCCCCC185(种)抽调方法法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法考虑选取1名外科专家参加，有CC种选法；考虑没有外科专家参加，有C种选法，所以共有CCCC185(种)抽调方法(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答：没有外科专家参加，有C种选法；有1名外科专家参加，有CC种选法有2名外科专家参加，有CC种选法所以共有CCCCC115(种)抽调方法保持例题条件不变，求恰有1名外科专家的抽调方法有多少种？解：恰有1名外科专家指：1名外科专家和5名非外科专家，故有CC4624种不同的抽调方法解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”，其中用直接法求解时，应依据“特殊元素优先安排”的原则，即优先安排特殊元素，再安排其他元素而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大时，不妨从反面问题入手，试一试看是否简单些，特别是涉及“至多”、“至少”等组合问题时更是如此此时正确理解“都不是”、“不都是”、“至多”、“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键1课外活动小组共13人，其中男生8名，女生5名，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生当选；(2)两名队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选解：(1)一名女生，四名男生，故共有CC350(种)选法(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有CC165(种)选法(3)直接法：至少有一名队长当选含有两类情况：只有一名队长当选和两名队长都当选，故共有CCCC825(种)选法间接法：共有CC825(种)选法(4)至多有两名女生当选含有三类情况：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生当选故共有CCCCC966(种)选法(5)分两类：第一类女队长当选：C种；第二类女队长不当选：(CCCCCCC)种故共有CCCCCCCC790(种)选法.几何问题中的组合问题例2平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线(1)经过这9个点，可确定多少条直线？(2)以这9个点为顶点，可确定多少个三角形？(3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？解法一：(直接法)(1)可确定直线CCCC31(条)(2)可确定三角形CCCCC80(个)(3)可确定四边形CCCCC105(个)法二：(间接法)(1)可确定直线CC131(条)(2)可确定三角形CC80(个)(3)可确定四边形CCCC105(个)解答几何组合应用题的思考方法与一般的组合应用题基本一样，只要把图形隐含的条件视为组合应用题的限制条件即可计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数2已知M，N是两个平行平面，在M内取4个点，在N内取5个点，这9个点中再无其他4点共面，则(1)这些点最多能确定几个平面？(2)以这些点为顶点，能作多少个三棱锥？解：法一：直接法：(1)在平面M内取2个点有C种方法，在平面N内取1个点有C种方法，这3个点肯定不共线，可构成CC个平面；在平面M内取1个点，在平面N内取2个点，可构成CC个平面，再有就是M、N这两个平面共有CCCC272个平面；(2)在平面M内取3个点有C种方法，在平面N内取1个点有C种方法，这4个点可构成CC个三棱锥；在平面M内取2个点，在平面N内取2个点；还可以在平面M内取1个点，在平面N内取3个点可构成CCCCCC120个三棱锥法二：排除法：(1)从9个点中任取3个点的方法有C种，其中从平面M内4个点中任取3个点，即C种，从平面N内5个点中任取3个点，即C种，这C及C表示的都仅仅是平面M及平面N.能构成CCC272个平面；(2)从9个点中任取4个点的方法C中去掉从平面M内4个点取4个及从平面N内5个点任取4个点这两类构不成三棱锥(仅是平面M或平面N)的情况能构成CCC120个三棱锥排列与组合的综合应用例3有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表解(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有CCCC种，后排有A种，共(CCCC)A5 400种(2)除去该女生后，先选后排有CA840种(3)先选后排，但先安排该男生有CCA3 360种(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排有A种，共CCA360种解决排列、组合综合问题要遵循两个原则：(1)按事情发生的过程进行分步；(2)按元素的性质进行分类解决时通常从三个途径考虑；以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数3有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内(1)共有几种放法？(2)恰有1个空盒，有几种放法？(3)恰有2个盒子不放球，有几种放法？解：(1)44256(种)(2)先从4个小球中取2个放在一起，有C种不同的取法，再把取出的两个小球与另外2个小球看作三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A种不同的放法根据分步乘法计数原理，不同的放法共有CA144(种)(3)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法；第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C种，再放到2个小盒中有A种放法，共有CA种放法；第二类，2个盒子中各放2个小球有CC种放法，故恰有2个盒子不放球的方法共有CACC84(种)解题高手多解题用0到9这10个数字组成没有重复数字的五位数，其中含3个奇数与2个偶数的五位数有多少个？解法一：直接法把从5个偶数中任取2个分为两类：(1)不含0的：由3个奇数和2个偶数组成的五位数，可分两步进行：第1步，选出3奇2偶的数字，方法有CC种；第2步，对选出的5个数字全排列有A种方法故所有适合条件的五位数有CCA个(2)含有0的：这时0只能排在除首位(万位)以外的四个位置中的一个，有A种排法；再从2,4,6,8中任取一个，有C种取法，从5个奇数数字中任取3个，有C种取法，再把取出的4个数全排列有A种方法，故有ACCA种排法根据分类加法计数原理，共有CCAACCA11 040个符合要求的数法二：间接法如果对0不限制，共有CCA种，其中0居首位的有CCA种故共有CCACCA11 040个符合条件的数1甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有()A36种B48种C96种 D192种解析：选C完成这件事情可用分步计数原理，有CCC96种2某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有()A140种 B120种C35种 D34种解析：选D若选1男3女有CC4种；若选2男2女有CC18种；若选3男1女有CC12种，所以共有4181234种不同的选法3某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A30种 B35种C42种 D48种解析：选A法一：选修1门A类，2门B类课程的选法有CC种；选修2门A类，1门B类的课程的选法有CC种故选法共有CCCC181230(种)法二：从7门选修课中选修3门的选法有C种，其中3门课都为A类的选法有C种，都为B类的选法有C种，故选法共有CCC30(种)47名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动若每天安排3人，则不同的安排方案共有_种(用数字作答)解析：第1步，从7名志愿者中选出3人在周六参加社区公益活动，有C种不同的选法；第2步，从余下的4人中选出3人在周日参加社区公益活动，有C种不同的选法根据分步乘法计数原理，共有CC140种不同的安排方案答案：1405从4台甲型和5台乙型电视机中任选3台，其中至少有甲型和乙型电视各一台，则不同的取法有_种解析：分为两类：第一类，选出的3台电视机有2台甲型1台乙型有CC种选法；第二类，选出的3台电视机有1台甲型2台乙型有CC种选法；根据分类加法计数原理共有CCCC70种答案：706某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选法？解：分三类：第一类，选出的4名钳工中无“多面手”，此时选法有CC75(种)；第二类，选的4名钳工中有1名“多面手”，此时选法为CCC100(种)；第三类，选的4名钳工中有2名“多面手”，此时选法为CCC10(种)由分类加法计数原理，得不同的选法共有7510010185(种)一、选择题1某班共有10名任课教师，其中4名男教师，6名女教师教师节这天要表彰一位男教师和一位女教师，不同的表彰方法有()A12种B30种C15种 D24种解析：选D分两步：第一步先选女教师，有C种选法；第二步选男教师，有C种选法，共有CC24种选法2以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体有()A6个 B12个C18个 D30个解析：选B从6个顶点中任取4个有C15种取法，其中四点共面的有3个，所以满足题意的四面体有15312个3将5名同学分成甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同分组方案的种数为()A180 B120C80 D60解析：选C由题意可得不同的组合方案种数为CCACC80.4某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有()A140种 B120种C35种 D34种解析：选D从7人中选4人，共有C35种选法，4人全是男生的选法有C1种故4人中既有男生又有女生的选法种数为35134.二、填空题5从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有_种解析：5人中选4人则有C种，周五一人有C种，周六两人则有C，周日则有C种，故共有CCC60(种)答案：6065名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有_种解析：当入选的3名队员为2名老队员1名新队员时，有CCA12种排法；当入选的3名队员为2名新队员1名老队员时，有CCA36种排法故共有123648种排法答案：487将0,1,2,3,4,5这六个数字，每次取三个不同的数字，把其中最大的数字放在百位上排成三位数，这样的三位数有_个解析：先选取三个不同的数有C种方法，然后将其中最大的数放在百位上，另外两个不同的数放在十位或个位上，有A种排法故共有CA40(个)三位数答案：408某公司为员工制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览如果M，N为必选城市，并且在浏览过程中必须按先M后N的次序经过M，N两城市(M，N两城市可以不相邻)，则不同的游览线路种数是_解析：先M后N的次序和先N后M的次序各占总数的.通过分析，我们可以得到不同的游览线路种数为CCA600.答案：600三、解答题93名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务，(1)若每辆车上都需要人但最多安排男女各一名，有多少种安排方法？(2)若男女各包2辆车，有多少种安排方法？解：(1)先将3名男同志安排到车上有A种方法，在未安排男同志的那辆车安排女同志有C种方法，还有2个女同志有A种安排方法，故共有ACA432(种)安排方法(2)男同志分2组有C种方法，女同志分2组有C种方法，将4组安排到4辆车上有A种方法，故共有CCA216(种)安排方法10有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解：法一：(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C种方法；0可在后两位，有C种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有CCC22个(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数C22A个(3)0和1都不取，有不同的三位数C23A个综上所述，共有不同的三位数：CCC22C22AC23A432(个)法二：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C23A个，其中0在百位的有C22A个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C23AC22A432(个)
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