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长安一中2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集是实数集,集合,则图中阴影部分所表示的集合是 （ ）AB C D 2.下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ）在复平面内，复数对应的点位于第二象限 复数的虚部是-2 复数是纯虚数 A. B. C. D. 3设,则（ ）AB CD4已知向量a(1，)，b(1，2)且ab，则等于()A1 B0 C. D. 5.在中，角A、所对的边分别是、，若，则等于（ ）A B 6将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）A.18 B.24 C.30 D.367. 若下框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是( ) A. B. C. D. 正视图侧视图俯视图53438.若某几何体的三视图(单位：)如图所示，则该几何体的体积等于( )A. B. C. D. 9.下列说法中，正确的是（ ）A命题“若，则”的逆命题是真命题B命题“存在”的否定是：“任意” C命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题D“”是“函数是偶函数”的充分不必要条件10右图是函数yAsin(x)(，)图像的一部分为了得到这个函数的图像，只要将ysin x(xR)的图像上所有的点 ( ).向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.11.已知定义在上的函数对任意都满足，且当时，则函数的零点个数为( ) A2 B3 C.4 D512.定义在上的函数满足：则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为，则函数的定义域是_14.已知，则的展开式中的常数项为 .15.函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中则得最小值为 .16已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围是 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第1721题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. （本小题共12分）设数列 9， （1）求证：是等比数列；(2)若数列满足,求数列的前项和；18.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，且分别是的中点.（）求证：平面；（）求锐二面角的余弦值. 19.某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取名学生的笔试成绩（被抽取学生的成绩均不低于分,且不高于分），按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.（1） 请先求出、的值，再在答题纸上补全频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，第4组中有名学生被考官A面试，求的分布列和数学期望.组号分组频数频率第1组50.050第2组第3组30第4组200.200第5组100.10020.（本小题共12分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点.（）求该椭圆的方程；（）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.21. （本小题共12分）已知函数（）求在点处的切线方程；（）若存在，满足成立，求的取值范围；（）当时，恒成立，求的取值范围.选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.作答时请写清题号22(本小题满分10分)选修44：极坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为 (t为参数)曲线C2: ，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点P的极坐标为()(I)求曲线C2的极坐标方程；()若C1与C2相交于M、N两点，求的值.23(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知(I)当m=0时，求不等式的解集；()对于任意实数，不等式成立，求m的取值范围2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学试题（理科）答案一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.CCABB CDBBA BA二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 14. 15. 2 16.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第1721题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.（本小题共12分）解：（1）依题意，故， 当 又 整理得：，故是等比数列， （2）由（1）知，且， 18. （本小题满分12分）（）连结，是等腰直角三角形斜边的中点，.又三棱柱为直三棱柱，面面，面，. 设，则.，. 又， 平面.（）以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系如图，设，则，.由（）知，平面，可取平面的法向量.设平面的法向量为，由可取. 设锐二面角的大小为，则.所求锐二面角的余弦值为. 19. （本小题共12分）【解】：（1）由第1组的数据可得，第2组的频率=，第2组的频数为=人, 第3组的频率为=, 频率分布直方图如右: （2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:人, 6分第4组:人, 7分第5组:人, 8分所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.（3）由题意知变量的可能取值是0，1，2该变量符合超几何分布，012P分布列是20. （本小题共12分）解：（）抛物线的焦点为，准线方程为， 又椭圆截抛物线的准线所得弦长为， 得上交点为， 由代入得，解得或（舍去），从而 该椭圆的方程为该椭圆的方程为（） 倾斜角为的直线过点， 直线的方程为，即，由（）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，则得 ，解得，即，又满足，故点在抛物线上.所以抛物线上存在一点，使得与关于直线对称.21. （本小题共12分）解：() 在处的切线方程为： 即 () 即 令 时， ，时， 在上减，在上增 又时， 的最大值在区间端点处取到. 在上最大值为，故的取值范围是：. （）由已知得时恒成立，设 由()知，当且仅当时等号成立，故从而当即时，为增函数，又于是当时， 即 时符合题意。 由可得，从而当时，故当时，为减函数，又，于是当时， 即故，不符合题意.综上可得的取值范围为
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