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课时跟踪训练(六) 组合的综合应用 (时间45分钟)题型对点练(时间20分钟)题组一有限制条件的组合问题1现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张不同取法的种数为()A232 B252 C472 D484解析若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有CCC64种不同的取法，若2张同色，则有CCCC144种不同的取法；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有CCCC192种，剩余2张同色，则有CCC72种不同的取法，所以共有6414419272472种不同的取法答案C2某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机，从中选购5台，且至少有品牌机和兼容机各2台，则不同的选购方法有()A1050种 B700种 C350种 D200种解析分两类：从6台不同的品牌机中选3台和从5台不同的兼容机中选2台；从6台不同的品牌机中选2台和从5台不同的兼容机中选3台所以有CCCC350种不同的选购方法答案C3某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有()A56种 B68种 C74种 D92种解析根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有CC种，有一个“多面手”的选派方法有CCC种，有两个“多面手”的选派方法有CC种，即共有20601292种不同的选派方法答案D题组二分组(分配)问题4将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1人，最多2人，则不同的分配方案有()A30种 B90种 C180种 D270种解析先将5名教师分成3组，有15种分法，再将3组分配到3个不同班级有A6种分法，故共有15690种方案答案B5从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_(用数字作答)解析分三类：选1名骨科医生，则有C(CCCCCC)360(种)；选2名骨科医生，则有C(CCCC)210(种)；选3名骨科医生，则有CCC20(种)，骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是36021020590.答案5906某中学实习的5名大学毕业生需到A，B，C，D 4个班级当辅导员，每班至少一名辅导员，且A班必须有两名辅导员，则不同的分配方法有多少种？解第一步，把5名大学毕业生分成人数为2,1,1,1的四份，有C种分法；第二步，把分好的四份分配给A，B，C，D 4个班级，有A种分法根据分步乘法计数原理，可得总共的分配方法种数为CA60种题组三排列、组合的综合应用7从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()A300 B216 C180 D162解析分两类情况：一类不含0，有CA72个数，一类含0，有CCCA108个数共有72108180个数故选C.答案C8两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A10种 B15种 C20种 D30种解析分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C6种情况；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C12种情形所有可能出现的情形种数为261220.答案C9有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内(1)共有几种放法？(2)恰有2个盒子不放球，有几种放法？解(1)44256(种)(2)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法：第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C种，再放到2个小盒中有A种放法，共有CA种放法；第二类，2个盒子中各放2个小球有CC种放法，故恰有2个盒子不放球的方法共有CACC84种放法综合提升练(时间25分钟)一、选择题1市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是()A48 B54 C72 D84解析根据题意，先将3名乘客进行全排列，有A6(种)排法，排好后，有4个空档，再将1个空位和余下的两个连续的空位插入4个空档中，有A12(种)方法，根据分步乘法计数原理，共有61272(种)候车方式选C.答案C2房间里有5个电灯，分别由5个开关控制，至少开一个灯用以照明，则不同的开灯方法种数为()A32 B31 C25 D10解析因为开灯照明只与开灯的多少有关，而与开灯的先后顺序无关，这是一个组合问题开1个灯有C种方法，开2个灯有C种方法5个灯全开有C种方法，根据分类加法计数原理，不同的开灯方法有CCC31(种)答案B3已知一组曲线yax3bx1，其中a为2,4,6,8中的任意一个，b为1,3,5,7中的任意一个现从这些曲线中任取两条，它们在x1处的切线相互平行的组数为()A9 B10 C12 D14解析yax2b，曲线在x1处切线的斜率kab.切线相互平行，则需它们的斜率相等，因此按照在x1处切线的斜率的可能取值可分为5类完成第一类：ab5，则a2，b3；a4，b1.故可构成两条曲线，有C组第二类：ab7，则a2，b5；a4，b3；a6，b1.可构成三条曲线，有C组第三类：ab9，则a2，b7；a4，b5；a6，b3；a8，b1.可构成四条曲线，有C组第四类：ab11，则a4，b7；a6，b5；a8，b3.可构成三条曲线，有C组第五类：ab13，则a6，b7；a8，b5.可构成两条曲线，有C组故共有CCCCC14(组)所以选D.答案D二、填空题4从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是_解析从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字进行排列，然后在得到的排列中去掉首数字为0的即满足题意，因此共有CCAA336648个不同的三位数答案485有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取1只测试，直到4只次品全测出为止，则最后1只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有_种解析解法一：设想有五个位置，先从6只正品中任选1只，放在前四个位置的任一个位置上，有CC种方法；再把4只次品在剩下的四个位置上任意排列，有A种排法故不同的情形种数为CCA576.解法二：设想有五个位置，先从4只次品中任选1只，放在第五个位置上，有C种方法；再从6只正品中任选1只，和剩下的3只次品一起在前四个位置上任意排列，有CA种方法故不同的情形种数为CCA576.答案576三、解答题6在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加；(5)甲、乙、丙三人至少1人参加解(1)C792(种)不同的选法(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C36(种)不同的选法(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C126(种)不同的选法(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C3(种)选法，再从另外的9人中选4人有C种选法，共有CC378(种)不同的选法(5)解法一：(直接法)可分为三类：第一类，甲、乙、丙中有1人参加，共有CC种，第二类，甲、乙、丙中有2人参加，共有CC种；第三类，甲、乙、丙3人均参加，共有CC种共有CCCCCC666(种)不同的选法解法二：(间接法)12人中任意选5人共有C种，甲、乙、丙三人都不参加的有C种，所以，共有CC666(种)不同的选法7现有5位同学准备一起做一项游戏，他们的身高各不相同现在要从他们5个人当中选出若干人组成A，B两个小组，每个小组都至少有1人，并且要求B组中最矮的那个同学的身高要比A组中最高的那个同学还要高则不同的选法共有多少种？解给5位同学按身高的不同由矮到高分别编号为1,2,3,4,5，组成集合M1,2,3,4,5若小组A中最高者为1，则能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是2,3,4,5的非空子集，这样的子集有CCCC24115(个)，所以不同的选法有15种；若A中最高者为2，则这样的小组A有2个：2，1,2，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是3,4,5的非空子集，这样的子集(小组B)有2317(个)，所以不同的选法有2714(种)；若A中最高者为3，则这样的小组A有4个：3，1,3，2,3，1,2,3，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是4,5的非空子集，这样的子集(小组B)有2213(个)，所以不同的选法有4312(种)；若A中最高者为4，则这样的小组A有8个：4，1,4，2,4，3,4，1,2,4)，1,3,4，2,3,4，1,2,3,4，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B只有51个，所以不同的选法有8种综上，所有不同的选法有151412849(种).
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